Przeczytaj

Twierdzenie, które przypisuje się Talesowi zostało sformułowane na potrzeby rozwiązania konkretnych problemów praktycznych – słynnych zadań Talesa.

Wysokość piramidy

Jednym z tych zadań było zmierzenie wysokości piramidy egipskiej na podstawie jej cienia. Metoda przedstawiona w przykładzie może być stosowana do mierzenia wysokości innych obiektów, takich jak, budynki, drzewa, słupy itp.

Przykład 1

Cień tyczki i piramidy pokrywają się. Zmierzone odległości przedstawione są na rysunku. Wyznaczymy wysokość piramidy.

R1EUWBjrczg56

Ilustracja przedstawia piramidę, której podstawą jest kwadrat o boku 230 metry. Wysokość bryły wynosi H. Piramida rzuca cień o długości 225 metrów. Na piramidę naniesiono dwa prostokątne trójkąty pomocnicze o wspólnym wierzchołku. Pierwszy, większy trójkąt ma pionową przyprostokątną H, poziomą przyprostokątną o długości 340 metrów. Bok ten to połowa boku podstawy, czyli 115 metrów oraz cała długość cienia, czyli 225 metrów. Przekątna to odcinek łączący wierzchołek piramidy z końcem jej cienia. Drugi trójkąt znajduje się przy końcu cienia piramidy, a jego podstawa i przeciwprostokątna pokrywają się z t podstawą i przeciwprostokątną dużego trójkąta. W małym trójkącie podstawa ma długość 7 metrów, pionowa przyprostokątna ma długość 3 metry, a między nimi oznaczono kąt prosty.

Rozwiązanie

Z twierdzenia Talesa: $\frac{H}{115 + 225} = \frac{3}{7}$ , więc $H = \frac{3 \cdot 340}{7} = 145, 71$ . Zatem wysokość piramidy jest równa około $146$ metrów.

Odległość okrętu od brzegu

Talesowi przypisuje się również rozwiązanie zadania wyznaczenia odległości okrętu od miejsca na brzegu. Metoda przedstawiona w przykładzie może być stosowana do mierzenia odległości innych obiektów, a także mierzenia szerokości rzeki, ulicy itp.

RCtDwTe1RKdH9

Ilustracja przedstawia rzekę z płynącą na niej łódką. Łódka znajduje się w lewej części rysunku w punkcie A, z którego poprowadzono pionowy odcinek poza rzekę do punktu C. Odcinek A C ma długość x. W prawej części pod rzeką znajduje się drugi pionowy odcinek B D, w którym punkt D leży nad B. Odcinek B D ma długość pięćdziesiąt. Końce pionowych odcinków połączono dwoma przecinającymi się odcinkami A B i C D. Odcinki te przecinają się w punkcie E, który dzieli poziomy odcinek C D na dwa krótsze: C E o długości 200 i odcinek E D o długości 80

Okręt jest w punkcie $A$ . Tales wstawił tyczkę w punkcie $C$ , następnie wzdłuż brzegu, pod kątem prostym do linii $A C$ przeszedł pewną odległość i wstawił tyczkę w punkcie $E$ . Dalej szedł wzdłuż brzegu do punktu $D$ , gdzie wstawił kolejną tyczkę. Skręcił pod kątem prostym i szedł do momentu (punkt $B$ ) aż, tyczka w punkcie $E$ i okręt były w linii wzroku. Kąty proste gwarantują równoległość odcinków $A C$ i $B D$ .

Przykład 2

Korzystając z danych przedstawionych na rysunku, obliczymy odległość okrętu (punkt $A$ ) od punktu $C$ .

Rozwiązanie

Z uogólnienia twierdzenia Talesa wynika, że:

$\frac{x}{200} = \frac{50}{80}$ , więc $x = \frac{200 \cdot 50}{80} = 125$ .

Zatem odległość okrętu (punkt $A$ ) od punktu $C$ wynosi $125$ metrów.

Camera Obscura

Camera obscura czyli „ciemna komnata”, było to urządzenie znane już w starożytności. Urządzenie to zbudowane jest z pudełka pomalowanego wewnątrz na czarno (dla zredukowania odbić światła). Na jednej ściance znajduje się niewielki otwór (średnicy $0, 3$ – $1$ milimetra zależnie od wielkości kamery), a na drugiej matowa szyba. Promienie światła wpadające przez otwór tworzą na matowej szybie odwrócony i pomniejszony (lub powiększony) obraz. Wstawiając w miejsce matówki kliszę fotograficzną można otrzymać zdjęcie. Camera obscura bywa do dzisiaj wykorzystywana w fotografii artystycznej.

R163WoZpIVk0v

Ilustracja przedstawia kwadrat, znajdujący się po lewo, przez którego środek przebiega poziomy odcinek d narysowany linią przerywaną linią. Na prawym boku narysowano krótszą od boku strzałkę skierowaną w dół i oznaczono ją jako h prim. Na środku prawego boku kwadratu oznaczono punkt O. Po prawej stronie ilustracji znajduje się pionowa dłuższa strzałka h skierowana do góry. Między punktem O a strzałką h narysowano linią przerywaną poziomy odcinek D.

Przykład 3

Znając odległości $d$ , $D$ oraz wysokość obrazu $h^{'}$ wyznaczymy wzór na wysokość obiektu rzeczywistego $h$ .

Rozwiązanie

Z twierdzenia Talesa dostajemy proporcję: $\frac{h}{D} = \frac{h^{'}}{d}$ , więc $h = \frac{D \cdot h^{'}}{d}$ .

Gra w bilard

Na rysunku bila bilardowa została uderzona w punkcie $D$ i dotarła do punktu $E$ .

Przykład 4

Sprawdzimy, czy można przewidzieć miejsce odbicia bili od drugiej bandy
(punkt $G$ ), jeśli celujemy w punkt $F$ jako punkt odbicia od bandy.

RIbNYtK3QNGoY

Ilustracja przedstawia dwa prostopadłe odcinki - na górze poziomy A B i po prawo pionowy B C. Na środku ilustracji zaznaczono dwa punkty: D oraz E. Z punktu D poprowadzono linią przerywaną ukośny odcinek do punktu F leżącego na odcinku A B bliżej punktu B. Z punktu E poprowadzono linią przerywaną ukośny odcinek do punktu G znajdującego się na odcinku B C, bliżej punktu B. Punktu F oraz G również połączono linią przerywaną.

Rozwiązanie

Korzystamy z własności fizycznej, że kąt uderzenia bilikąt padaniakąt uderzenia bili w bandę jest równy kątowi odbiciakąt odbiciakątowi odbicia, więc jeśli przedłużymy odcinek $D F$ i odcinek $G B$ tak, żeby przedłużenia się przecięły, to otrzymany punkt przecięcia $G^{'}$ , który ma własność $|F G| = |F G^{'}|$ , $|B G| = |B G^{'}|$ . Zatem znając długość odcinka $A D$ , gdzie $A D$ jest prostopadły do bandy, oraz długości odcinków $A F$ i $F B$ potrafimy z twierdzenia Talesa wyznaczyć długość odcinka $B G$ , czyli $|B G| = |B G^{'}| = \frac{|A D| \cdot |B F|}{|A F|}$ .

Przyjmując, że $|A D| = 50 cm$ , $|B F| = 30 cm$ , $|A F| = 100 cm$ obliczamy $|B G| = \frac{50 \cdot 30}{100} = 15$ . Odcinek $B G$ ma długość $15 cm$ .

Dla zainteresowanych przykład z fizyki

Przykład 5

Kąt widzenia tarczy Słońca i tarczy Księżyca z powierzchni Ziemi jest w przybliżeniu jednakowy. Odległość od powierzchni Ziemi do środka Księżyca wynosi około $l = 384000 km$ , a odległość od powierzchni Ziemi do środka Słońca wynosi około $L = 150000000 km$ . Średnica Słońca jest równa w przybliżeniu $s = 1400000 km$ .

RQdNfvu1gPs29

Ilustracja przedstawia dwie ukośne proste przecinające się w wyróżnionym punkcie. Przez punkt ten poprowadzono poziomą linię przerywaną. Następnie narysowano trzy koła, przez których środki przebiega linia pozioma. Pierwsze od lewej jest koło o środku w punkcie S, które jest styczne do przecinających się prostych. Narysowano promień tego koła łączący się z górną prostą. Pośrodku ilustracji znajduje się mniejsze koło o środku w punkcie K. To koło również jest styczne do obu przecinających się prostych. W kole wykreślono promień do górnej prostej. Trzecie koło znajduje się z prawej strony. Ma ono średniej wielkości pole, a punkt przecięcia ukośnych prostych, poziomej prostej znajduje się z lewej strony na brzegu koła.

Obliczymy, ile wynosi w przybliżeniu średnica $(k)$ Księżyca.

Rozwiązanie

Z twierdzenia Talesa zależność między promieniami Słońca i Księżyca oraz odległościami od Ziemi wyraża się stosunkiem:

$\frac{\frac{k}{2}}{l} = \frac{\frac{s}{2}}{L}$

$k = \frac{s \cdot l}{L} = \frac{1400000 \cdot 384000}{150000000} = 3584 km$ .

W tablicach fizycznych średnica Księżyca jest podawana w przybliżeniu i wynosi około $3, 5$ tysiąca kilometrów.

Ważne!

Informacja, że kąt widzenia tarczy Słońca i tarczy Księżyca z powierzchni Ziemi jest w przybliżeniu jednakowy pozwoliła na przyjęcie założenia, że można z punktu na Ziemi poprowadzić wspólną styczną do przekroju Słońca i przekroju Księżyca, a następnie wykorzystać własność, że promień okręgu jest prostopadły do stycznejstyczna do okręgustycznej. Stąd promienie są równoległe, więc można korzystać z twierdzenia Talesa.

Zastosowanie w problemach matematycznych

Przykład 6

Na rysunku przedstawiono trapez $A B C D$ . Punkt $E$ dzieli bok $B C$ w stosunku $3 : 4$ . Podobnie, punkt $F$ dzieli bok $A D$ w stosunku $3 : 4$ .

RHDD8Cs5E4icC

Ilustracja przedstawia trapez A B C D. Górna podstawa figury jest krótsza od dolnej. Na ramionach zaznaczono punkty: na ramieniu B C zaznaczono punkt E, na ramieniu A D punkt F i połączono je w odcinek E F. Ramiona trapezu przedłużono do góry linią przerywaną aż spotkały się w punkcie O.

Pokażemy, że czworokąty $A B E F$ i $F E C D$ są trapezami.
Załóżmy, że wysokość trapezu $A B C D$ jest równa $14$ . Wyznaczymy wysokości trapezów $A B E F$ i $F E C D$ .

Rozwiązanie

Ad. 1

Ponieważ $A B ‖ C D$ , to wystarczy pokazać, że odcinek $E F$ jest równoległy do jednego z tych boków.

Obliczamy stosunki $\frac{|O C|}{|C E|} = \frac{|O C|}{\frac{4}{7} |C B|} = \frac{7}{4} \cdot \frac{|O C|}{|C B|}$ oraz $\frac{|O D|}{|D F|} = \frac{|O D|}{\frac{4}{7} |D A|} = \frac{7}{4} \cdot \frac{|O D|}{|D A|}$ .

Z twierdzenia Talesa wynika, że $\frac{| O C |}{| C B |} = \frac{| O D |}{| D A |}$ , a stąd $\frac{|O C|}{|C E|} = \frac{|O D|}{|D F|}$ . Z tej równości i odwrotnego twierdzenia Talesa wynika, że odcinek $E F$ jest równoległy do $A B$ .

Stąd czworokąty $A B E F$ i $F E C D$ są trapezami.

Ad. 2

R1tCZltsPWOhb

IlustracjaIlustracja przedstawia trapez A B C D. Górna podstawa figury jest krótsza od dolnej. Na ramionach zaznaczono punkty: na ramieniu B C zaznaczono punkt E, na ramieniu A D punkt F i połączono je w odcinek E F. Ramiona trapezu przedłużono do góry linią przerywaną aż spotkały się w punkcie O. Na górnej podstawie C D blisko końca C zaznaczono punkt G, na odcinku E F zaznaczono punkt H blisko punktu E oraz na dolnej podstawie A B zaznaczono punkt I blisko punktu B. Punkty G H I połączono w pionowy odcinek.

Na rysunku zaznaczona jest wysokość trapezu. Stosując twierdzenie Talesa do oznaczeń na rysunku mamy:

$\frac{|G H|}{|H I|} = \frac{|D F|}{|F A|} = \frac{4}{3}$ .

Ponadto, $|G H| + |H I| = 14$ .

Stąd $|G H| = \frac{4}{7} \cdot 14 = 8$ , $|H I| = 14 - 8 = 6$ .

Wysokość trapezu $A B E F$ jest równa $6$ , a wysokość trapezu $F E C D$ jest równa $8$ .

Wniosek. Uogólnienie przykładu 6

Jeżeli punkty $E$ , $F$ dzielą ramiona trapezu w tym samym stosunku $p : q$ to odcinek $E F$ jest równoległy do podstaw trapezu. Ponadto, odcinek $E F$ dzieli wysokość trapezu również w stosunku $p : q$ .

Ciekawostka

Udowodnimy twierdzenie, które jest przydatne do dowodzenia współliniowości punktów.

Menelaosa

Twierdzenie: Menelaosa

Jeżeli prosta przecina dwa boki trójkąta w punktach $E$ i $D$ oraz przedłużenie trzeciego boku w punkcie $F$ , to

$|A E| \cdot |C D| \cdot |B F| = |B D| \cdot |A F| \cdot |C E|$

Na rysunku zaznaczone są odpowiednie punkty oraz odcinki po lewej stronie równości na czerwono, a odcinki po prawej stronie – na niebiesko.

RWE3ZduLEUQ8Q

Ilustracja przedstawia trójkąt A B C oraz dwie przecinające się proste narysowane linią przerywaną. Jedna z prostych pokrywa się z poziomą podstawą A B, a druga, ukośna prosta, przecina ramiona trójkąta: ramię A C w punkcie E, natomiast ramię B C w punkcie D. Punkty E i D połączono w odcinek. Obie proste przecinają się poza trójkątem w punkcie F. Na ilustracji mamy trzy grupy odcinków: odcinki szare: A B oraz D E, odcinki niebieskie: C E oraz B D, odcinki różowe: A E, C D oraz B F. Pod odcinkiem A F narysowano poziomy niebieski odcinek.

Dowód

Niech $X$ będzie punktem przecięcia prostej przechodzącej przez punkt $B$ równoległej do boku $A C$ .

R1H0Aeor77iYX

Z twierdzenia Talesa mamy:

$|B X| : |A E| = |B F| : |A F|$ ,

a z uogólnienia twierdzenia Talesa dostajemy:

$|C E| : |B X| = |C D| : |B D|$ .

Po wymnożeniu tych równości stronami dostajemy:

$\frac{|C E|}{|A E|} \cdot \frac{|B X|}{|B X|} = \frac{|B F| \cdot |C D|}{|A F| \cdot |B D|}$

i stąd $|A E| \cdot |C D| \cdot |B F| = |B D| \cdot |A F| \cdot |C E|$ .

Prawdziwe jest również Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Menelaosa.

Jeżeli na boku $A B$ trójkąta zaznaczono punkt $E$ , a na boku $B C$ punkt $D$ oraz punkt $F$ na przedłużeniu trzeciego i jeśli

$|A E| \cdot |C D| \cdot |B F| = |B D| \cdot |A F| \cdot |C E|$ ,

to punktypunkty współliniowepunkty $D$ , $E$ , $F$ są współliniowepunkty współliniowesą współliniowe.

Słownik

kąt padania

kąt określający kierunek ruchu obiektu względem powierzchni, do której ten obiekt dociera

kąt odbicia

kąt określający kierunek ruchu obiektu względem powierzchni, od której ten obiekt się obija

styczna do okręgu

prosta mająca dokładnie jeden punkt wspólny (punkt styczności) z okręgiem. Promień okręgu poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej

punkty współliniowe

co najmniej $3$ punkty, które leżą na jednej prostej

Wprowadzenie

Aplet

Wysokość piramidy

Odległość okrętu od brzegu

Camera Obscura

Gra w bilard

Dla zainteresowanych przykład z fizyki

Zastosowanie w problemach matematycznych

Wniosek. Uogólnienie przykładu 6

Słownik