Warto przeczytać

Pole elektryczne jest polem wektorowym, którego źródłem są ładunki elektryczne. Pole to możemy zobrazować za pomocą linii pola, czyli krzywych, do których wektor natężenia pola jest styczny. Gęstość linii pola jest tym większa, im silniejsze jest to pole.

Ry8Z7V7w73ES9

Rys. 1. Rysunek przedstawia narysowane czarnym kolorem, wybrzuszone do góry i skierowane w prawo linie pola elektrycznego w kształcie łuków. Do tych linii narysowano styczne, czerwone wektory natężenia pola elektrycznego oznaczone wielkimi, czerwonymi literami E ze znaczkami wektora ponad nimi.

Rozważmy jeden z prostszych układów, jakim jest kula naładowana powierzchniowo, na przykład – wykonana z przewodnika. W przewodniku ładunki swobodne mogą się swobodnie poruszać. Ładunki tego samego znaku odpychają się, więc w przewodniku rozłożą się na jego powierzchni tak, by być jak najdalej od siebie. Stan równowagi nastąpi w momencie, w którym wypadkowa siła Coulomba, działająca na każdy ładunek, będzie prostopadła do powierzchni sfery. Ponieważ natężenie pola elektrycznego jest stosunkiem siły działającej na ładunek przez wartość ładunku ($\overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{F}}{q}$), wektor natężenia pola elektrycznego będzie także prostopadły do tej powierzchni.

Rozważana powierzchnia kuli jest idealnie symetryczna, więc ładunek na niej rozłożony jest jednorodnie, czyli ze stałą gęstością. Linie pola elektrycznego rozchodzą się promieniście we wszystkich kierunkach, a żaden z tych kierunków nie jest wyróżniony (Rys. 2a.).

R1FONLbOkjXNl

Rys. 2a. Rysunek przedstawia powierzchniowo naładowaną dodatnio kulę, przy której powierzchni równo rozłożone są ładunki oznaczone białymi znaczkami plus. Linie pola elektrycznego wytwarzanego przez te ładunki rozchodzą się od kuli promieniście na zewnątrz. Natężenie tego pola elektrycznego oznaczono wielką, czarną literą E ze znaczkiem wektora ponad nią.

Innymi słowy, jeśli chcielibyśmy zmierzyć wartość pola w pewnej ustalonej odległości od powierzchni, to wszędzie otrzymamy ten sam wynik, bez względu na to, po której stronie naładowanej kuli znajduje się ten punkt (Rys. 2b.).

RX3wPj3cdeUqQ

Rys. 2b. Rysunek przedstawia powierzchniowo naładowaną dodatnio kulę, przy której powierzchni równo rozłożone są ładunki oznaczone białymi znaczkami plus. Linie pola elektrycznego wytwarzanego przez te ładunki rozchodzą się od kuli promieniście na zewnątrz. Natężenie tego pola elektrycznego oznaczono wielką, czarną literą E ze znaczkiem wektora ponad nią.

Symetrię pola naładowanej powierzchniowo kuli nazywamy sferycznąSymetria sferycznasferyczną (lub kulistą), ponieważ zbiór wszystkich punktów, w których pole elektryczne ma dokładnie tę samą wartość, jest sferą.

Skorzystajmy z prawa Gaussa, by wyznaczyć natężenie pola elektrycznego wytwarzanego przez ładunek zgromadzony na powierzchni kuli. Prawo to mówi, że strumień pola elektrycznego $\varPhi$ przez dowolną zamkniętą powierzchnię (zwaną powierzchnią Gaussa) równy jest całkowitemu ładunkowi elektrycznemu $Q$ znajdującemu się wewnątrz tej powierzchni, podzielonemu przez stałą elektryczną $\varepsilon_{0}$.

Gdy wektor natężenia pola elektrycznego $\overrightarrow{E}$ jest prostopadły do powierzchni $S$, strumień $\varPhi$ można obliczyć korzystając ze wzoru $\varPhi=E\cdot S$,

Zacznijmy od wyznaczenia natężenia pola elektrycznego wewnątrz kuli (Rys. 3a.), korzystając z prawa Gaussa:

RiWj5Zns6gemT

Rys. 3a. Rysunek przedstawia powierzchniowo naładowaną dodatnio kulę, przy której powierzchni równo rozłożone są ładunki oznaczone białymi znaczkami plus. Na rysunku przedstawiono też czarną linią okrąg, o środku w środku kuli w jej wnętrzu. Ponieważ wewnątrz tego okręgu (symbolizującego powierzchnię Gaussa) to w każdym jego punkcie nie ma pola.

Ponieważ wewnątrz powierzchni $S$ nie ma ładunków, strumień pola elektrycznego przez dowolną zamkniętą powierzchnię jest równy zeru.

Co prowadzi nas do wyniku:

czyli wewnątrz naładowanej powierzchniowo kuli natężenie pola elektrycznego jest równe zeru.

Przejdźmy zatem do wyznaczenia natężenia pola na zewnątrz kuli (Rys 3b.).

RvgWsN3ZG0OwS

Rys. 3b. Rysunek przedstawia powierzchniowo naładowaną dodatnio kulę, przy której powierzchni równo rozłożone są ładunki oznaczone białymi znaczkami plus. Na rysunku przedstawiono też czarną, przerywaną linią okrąg, o środku w środku kuli, stanowiący linię ekwipotencjalną wytwarzanego przez te ładunki pola elektrycznego. Linia ta stanowi także powierzchnię Gaussa.

Ze względu na sferyczną symetrię pola, otaczamy naładowaną kulę powierzchnią Gaussa w kształcie sfery o promieniu $r$. W ten sposób wektor natężenia pola elektrycznego będzie prostopadły do powierzchni Gaussa. Dzięki temu, całkowity strumień pola możemy policzyć, mnożąc przez siebie wartość pola elektrycznego i pola powierzchni sfery o promieniu $r$.

Stosując prawo Gaussa, otrzymujemy

co po przekształceniu daje nam wartość pola elektrycznego równą:

Podsumowując:

• natężenie pola elektrycznego wewnątrz naładowanej powierzchniowo kuli jest zerowe,

• natężenie na zewnątrz tej kuli maleje wraz z kwadratem odległości od środka kuli.

Warto zauważyć, że pole na zewnątrz naładowanej kuli ma identyczną postać, jak dla ładunku punktowego.

Słowniczek