Co ludzie mają na myśli mówiąc, że coś jest symetryczne? Symetria odnosi się do przedmiotu, składającego się z dwóch części, z czego każda jest pewnego rodzaju odbiciem lustrzanym drugiej (w pionie lub poziomie). Spróbuj w dowolnym edytorze tekstu zapisać duże litery A, B fontem Arial. Po ich zapisaniu zwróć uwagę, czy są symetryczne. Możesz to ćwiczenie wykonać dla całego alfabetu i określić, ile symetrycznych liter w nich występuje.

SymetriasymetriaSymetria matematycznie polega na tym, że jeśli weźmiemy jakąkolwiek figurę geometryczną czy też cząsteczkę, atom, jon bądź inne indywiduum chemiczne i przemieścimy ją w układzie współrzędnych, to nowe położenie będzie się pokrywać z położeniem pierwotnym. Przyjrzyj się przykładowi poniżej – obracając żółty trójkąt o odpowiedni kąt, uzyskujemy trójkąt niebieski, z kolei odwracając trójkąt niebieski, nałoży się on z trójkątem  żółtym.

RjKElsK42nqFL

Na ilustracji są trzy trójkąty. Na dole jest trójkąt o żółtych krawędziach, u góry po lewej i prawej stronie są dwa trójkąty o niebieskich krawędziach. Trójkąty są tak położone, że przypominają kształt trójlistnej koniczyny.

W kryształach występują następujące elementy symetrii:

• środek symetrii,

• inwersja,

• płaszczyzna symetrii,

• osie symetrii,

• translacja.

To punkt w przestrzeni, względem którego, w identycznej odległości, znajdują się dwie takie same (pod względem fizycznym i geometrycznym) figury. Środek symetriiśrodek symetriiŚrodek symetrii oznaczany jest jako $\stackrel{\_}{1}$ (czytaj: jeden z kreską), graficznie oznaczany jako ○.

Rx4wUge3wK72S

Na ilustracji są dwa niebieskie ostrosłupy. Usytuowane są poziomo naprzeciwko siebie od strony wierzchołków. Pomiędzy nimi jest 0.

Jeżeli punkt $A$ o współrzędnych $\left(1,1,1\right)$ poddamy operacji symetrii przez środek symetrii, otrzymamy identyczny punkt $A\text{'}$, ale o współrzędnych $\left(-1,-1,-1\right)$. Środek symetrii w tym przypadku pokrywa się z początkiem układu współrzędnych.

R1JTrOyWfDBIR

Na ilustracji są dwie osie Y i Z przecinające się pod kątem prostym. Przez środek układu współrzędnych na skos przechodzi prosta zaznaczona linią przerywaną - po prawej stronie prosta ma A (po stronie dodatnich wartości), po lewej A' (po stronie ujemnych wartości na osiach).

Pamiętaj, takim punktem w krystalografiikrystalografiakrystalografii może być jon, atom, cząsteczka lub komórka elementarna. Struktury krystaliczne, w których występuje środek symetrii, nazywamy centrosymetrycznymi.

Płaszczyzna symetriipłaszczyzna symetriiPłaszczyzna symetrii przekształca dany obiekt w jego odbicie lustrzane. Płaszczyzną symetrii może być lustro – kiedy przyłożysz do niego swoją prawą rękę, to w odbiciu zobaczysz lewą. Lustro jest wspomnianą wcześniej płaszczyzną. Płaszczyzna symetrii oznaczana jest literą m. Płaszczyzna symetrii m, która znajduje się na osiach $XZ$, przekształca punkt $A \left(1,1,1\right)$ w punkt $A\text{'} \left(-1,-1,-1\right)$.

R101TK9BJm8Nw

Na ilustracji są dwie osie Y i Z przecinające się pod kątem prostym. Równolegle do osi Y, nad osią, jest prosta poprowadzona linią przerywaną - połowa prostej jest nad dodatnimi wartościami osi Y, a połowa nad ujemnymi. Prosta jest oznaczona jako AA'. Na niebiesko narysowano pionową płaszczyznę, której środek stanowi oś Z.

Jeżeli dane indywiduum chemiczne powtarza się n razy, przy obrocie o kąt $\alpha$, wzdłuż osi – wówczas mówimy o osiach symetriioś symetriiosiach symetrii (osiach obrotowych).

W tabeli przedstawiono typy osi symetrii.

nazwa osi	symbol osi n	$\alpha$ $\left[°\right]$	symbol graficzny osi
oś jednokrotna	$1$	$360$	brak
oś dwukrotna	$2$	$180$	R1ZpwPXknYVyT Zdjęcie przedstawia niebieski owal w pionie.
oś trójkrotna	$3$	$120$	RHqQYUJ9KhAkS Zdjęcie przedstawia niebieski trójkąt równoramienny.
oś czterokrotna	$4$	$90$	RGcynLlR3lSVn Zdjęcie przedstawia niebieski kwadrat.
oś sześciokrotna	$6$	$60$	RjhkHqSoTKWBC Zdjęcie przedstawia niebieski sześciokąt.

R1DqX2lhlQIfa

Na ilustracji są trzy osie. Oś Z jest pionowa, w punkcie 0 przecinają się pod pewnym kątem osie Y i X. Nad tymi osiami jest nieco wklęsła linia przerywana AA'. Jej środek jest na osi Y.

Punkt $A$ o współrzędnych $\left(1,1,1\right)$ zostaje przekształcony w punkt $A\text{'}$ o współrzędnych $\left(-1,-1,1\right)$. Oś dwukrotna symetrii znajduje się na osi $Z$ układu współrzędnych. W wyniku tego przekształcenia zmieniają się współrzędne $X$ oraz $Y$ punktu $A$. Punkt ten został obrócony o $180°$ względem osi $Z$. W przypadku osi trójkrotnej zostałby obrócony o $120°$, a osi czterokrotnej o $90°$.

To przykład osi sześciokrotnej. Kiedy przeprowadzimy oś przez środek płatka, otrzymujemy sześć identycznych motywów, powtarzających się co $60°$. Elementy symetrii nie muszą występować pojedynczo, tzn. osiom symetrii mogą towarzyszyć inne elementy symetrii. Dlatego przez płatek śniegu możemy przeprowadzić również płaszczyznę symetrii. Dzieląc płatek na pół, jego odbicie go uzupełni.

Jak można zauważyć, w tabeli brakuje osi pięciokrotnej. Oś pięciokrotna nie jest osią krystalograficzną. Jak myślisz, dlaczego? Otóż oś pięciokrotna nie jest w stanie zapełnić całkowicie płaszczyzny. Jednak Dan Szechtman w $\text{1984}$ r. zaobserwował w stopie glinu z manganem pięciokrotną niekrystalograficzną oś symetrii .

Na pierwszy rzut oka jest to struktura regularna, ale nie powtarza się – nie można wyznaczyć komórki elementarnejkomórka elementarnakomórki elementarnej. Takie kryształy noszą nazwę kwazikryształów.

RLlmM4hwDcBMe

Ilustracja przedstawia strukturę zbudowaną z elementów - atomów przypominających okręgi tworzone między innymi z niebieskich kół. Atomy układają się w pozornie regularną, jednak nie w powtarzającą się strukturę, co uniemożliwia wyróżnienie ich komórek elementarnych.

Przypomnij sobie zajęcia w przedszkolu z nauki pisania. Jednym z elementów ćwiczenia było robienie „szlaczków”. Są one niczym innym, jak powtarzającym się wzorem w pewnym odstępie – to właśnie przykład translacjitranslacjatranslacji.

R1H80CptLJKyM

Na zdjęciu jest powtarzająca się pomarańczowa figura przypominająca gwiazdkę. Cztery figury - identyczne, w równych odległościach od siebie - są nad osią oznaczoną jako x. Po lewej stronie na początku osi pod figura jest X, pod drugą $x+\tau$, pod trzecią $x+\mathrm{2\tau }$..., pod czwartą $x+\mathrm{n\tau }$.

RBjBogV0ALK9v

Grafika przedstawia komórkę elementarną C u S O indeks dolny 4 razy 5 H indeks dolny 2 O. Komórka elementarna ma kształt prostopadłościanu o dłuższych bokach poziomych. Górna, przednia, pozioma krawędź jest zielona, lewa, przednia, pionowa ma kolor niebieski. Pozostałe krawędzie prostopadłościanu są czarne. Na grafice przedstawione są modele kulkowe związku. Modele te mają kulki koloru czerwonego, brązowego i żółtego. Kolorem czerwonym zostały zaznaczone atomy/jony tlenu, brązowym jony miedzi, żółtym atomy siarki. W prostopadłościanie są trzy kulki niepołączone z niczym. W centrum jest kulka żółta, po bokach niej dwie kulki czerwone. Pozostałe kulki są połączone ze sobą w dwie takie same struktury. Naprzemiennie występuje żółta kulka z czterema ramionami na końcu których są kulki czerwone. Od jednej kulki czerwonej odchodzi ramię łączące z kulką brązową. Od tej kulki brązowej odchodzi dodatkowo jeszcze 5 innych ramion zakończonych czerwonymi kulkami. Jedna z nich łączy z kolejną kulką żółtą. Ten element wgląda tak samo jak ten pierwszy. Od kulki żółtej odchodzi ramię łączące z kolejnym elementem o centralnej brązowej kulce. Ta struktura składająca się z 4 elementów jest odbiciem lustrzanym kolejnych 4 elementów połączonych występujących po drugiej stronie prostopadłościanu.

RzRWX9sNoXoxq

Film nawiązujący do treści materiału

Film nawiązujący do treści materiału

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RzRWX9sNoXoxq

Film nawiązujący do treści materiału

Od czego zależy symetria kryształu? W dużej mierze od samego związku, z jakiego jest dany kryształ zbudowany. Ogólna zasada jest taka: im mniej elementów symetrii możemy zaobserwować w związku, tym niższa symetria kryształu. Związek o niskiej symetrii składa się z jednego elementu symetrii.

Ćwiczenie 1

Zastanów się teraz, jakie elementy symetrii możemy wyznaczyć w cząsteczce $\mathrm{1,1}$–dibromoetenu?

R16MoV5n9Nz6P

Na ilustracji jest model kulkowo‑pręcikowy. Dwie czarne kulki łączą się wiązaniem podwójnym. Kulka leżąca po lewej stronie łączy się po lewej stronie z dwiema szarymi kulkami. Czarna kulka leżąca po prawej stronie łączy się z dwiema czerwonymi kulkami. Położenie kulek jest symetryczne.

R1PEMywJ2tL0v

Odpowiedź: (Uzupełnij).

Pokaż odpowiedź

Związek posiada płaszczyznę zwierciadlaną m, która leży na wiązaniu podwójnym i „przecina” cząsteczkę na pół.

R7T70VMkYA6Sn

Na ilustracji jest model kulkowo‑pręcikowy. Dwie czarne kulki łączą się wiązaniem podwójnym. Kulka leżąca po lewej stronie łączy się po lewej stronie z dwiema szarymi kulkami. Czarna kulka leżąca po prawej stronie łączy się z dwiema czerwonymi kulkami. Położenie kulek jest symetryczne. Zielona pozioma linia przecina ten model - biegnie ona w przerwie między dwoma wiązaniami łączącymi dwie czarne kulki. Linię oznaczoną literą m.

Określenie symetrii cząsteczki wymaga wyobraźni przestrzennej oraz ćwiczeń.

Zapoznałeś się z czterema podstawowymi elementami symetrii, występującymi w kryształach lub w związkach chemicznych. Każdy z nich przekształca indywiduum chemiczne w określony sposób – poszczególne części symetrii mogą występować osobno albo współistnieć w strukturze krystalicznej. W związku z tym, ich kombinacje tworzą $32$ klasy krystalograficzne, które określają zewnętrzny kształt kryształu. Z kombinacji elementów symetrii wynika $230$ grup przestrzennych, określających symetrię wewnętrzną kryształu. Dobrym przykładem może być lód: krystalizuje w układzie heksagonalnym, posiada oś sześciokrotną i trzy płaszczyzny m. Na początku płatek śniegu ma kształt małego sześciokąta. Sześć ramion rośnie z każdego naroża sześciokąta, niezależnie od siebie, tworząc kolejne sześciokąty.

R1emUtIPR7FEu

Ilustracja prezentuje 12 różnych kształtów płatków śniegu. Wszystkie mają 6 ramion. Przypominają gwiazdy. Ramiona zwykle mają kształt przypominający gałązki.

RBneupcU1yFBJ

Ilustracja przedstawia strukturę krystaliczną lodu. To płaska powierzchnia zbudowana z połączonych ze sobą sześciokątów zbudowanych z czerwonych kulek. Tworzą regularną strukturę przypominającą sieć.

Słownik

Bibliografia

Beevers C. A., Lipson H., The crystal structure of copper sulphate pentahydrate. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character, Volume 146, Issue 858, 1934.

Encyklopedia PWN

Kleykamp H., Thermodynamische Untersuchungern in den Systemen Thorium‑Osmium und Thorium‑Iridium, Journal of the Less‑Common Metals, Volume 63, 1979.

Trzaska‑Durski Z., Trzaska‑Durska H., Podstawy krystalografii, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 2003

Van Meerssche M., Feneau‑Dupont J., Krystalografia i chemia strukturalna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1984.