Rozważmy następującą sytuację: Mamy dwa różne punkty na płaszczyźnie – nazwijmy je $A$ i $B$. Wiemy z nauki geometrii, że najkrótsza droga między nimi to droga zawarta w prostej przechodzącej przez nie. Czy gdybyśmy mogli przedłużyć w nieskończoność końce linii, w której zawarta jest “najkrótsza droga” między dwoma punktami, czy końce tej linii spotkałyby się gdziekolwiek? Na ile części punkty $A$ i $B$ dzielą otrzymaną linię? Ile tych części jest skończonych? Ile części jest nieskończonych?

Rozwiązanie:

Nie spotkałyby się. Zazwyczaj wykonujemy nasze rysunki na ograniczonej części płaszczyzny (kartka w zeszycie, tablica), gdzie możemy narysować tylko fragment prostej, ale gdybyśmy mogli poruszać się swobodnie po płaszczyźnie, na której rysujemy, nigdy  nie osiągnęlibyśmy  końca naszej prostej, jak pokazuje poniższy aplet.

R1CUxBpt3rZf5

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1CbHchg3

Aplet przedstawia prostą l na której znajdują się dwa punkty A oraz B. Aplet daje możliwość przybliżania i oddalania widoku. Przybliżanie widoku sprawia, że punkty oddalają się od siebie aż wybiegają poza płaszczyznę. Oddalanie widoku sprawia, że punkty przybliżają się do siebie aż w końcu się na siebie nachodzą.

Punkty $A$ i $B$ dzielą prostą, na której leżą, na trzy części: dwie z nich są nieskończone, jedna skończona i nazywamy ją odcinkiem. Zauważmy, że dwa punkty można połączyć na płaszczyźnie tylko jednym odcinkiem.

A teraz wykonajmy takie same czynności na sferze i odpowiedzmy na te same pytania, które postawiliśmy kreśląc prostą przechodzącą przez dwa punkty na płaszczyźnie.

Rozwiązanie:

Tutaj można posłużyć się pomarańczą lub jakimś innym kulistym przedmiotem, w który można wbić wykałaczki lub pinezki. Niech wykałaczki wbite w skórkę pomarańczy reprezentują punkty na sferze. Jeśli połączymy je gumką recepturką (niebieski kolor) i pozwolimy jej ułożyć się swobodnie pomiędzy dwoma punktami, to wybierze ona najkrótszą drogę pomiędzy tymi punktami. Obserwujemy, że utworzyła ona łuk, który jest przecież częścią okręgu. Jakiego? Jeśli teraz przedłużymy tę „drogę” pomiędzy dwoma punktami w obu kierunkach, to te „przedłużenia” spotkają się, tworząc jej dopełnienie (czerwony kolor) do pełnego okręgu:

R1QHEE98IaejY

Zdjęcie przedstawia cytrynę do której zostały wbite wykałaczki. Jedna na górze cytryny a druga z prawej strony cytryny. Na wykałaczki zostały naciągnięte gumki recepturki. Niebieska została naciągnięta w taki sposób że biegnie wzdłuż krótszej krawędzi cytryny pomiędzy wykałaczkami. Czerwona natomiast biegnie pomiędzy wykałaczkami po dłuższej krawędzi cytryny.

Możemy również wykonać takie doświadczenie, wykonując rysunki na piłeczce styropianowej.

W wyniku przedłużenia linii łączącej dwa wybrane punkty na sferze otrzymaliśmy okrąg wielkiokrąg wielkiokrąg wielki.

A teraz odpowiedzmy na dodatkowe pytania, których nie mogliśmy postawić w stosunku do płaszczyzny: Jaki obiekt odpowiada okręgowi wielkiemu na globusie? Łatwo stwierdzamy, że  przykładem może być równik. Popatrzmy teraz na globus i zastanówmy się: jaką rolę pełni równik w mierzeniu odległości na powierzchni Ziemi? I znowu łatwo wywnioskujemy, że jeżeli odległości mierzymy wzdłuż najkrótszej drogi między dwoma punktami, to musi to odbywać się wzdłuż okręgu wielkiego przechodzącego przez te punkty.

Postawmy więc bardzo ważne pytanie:

Czy więc okrąg wielki może być uznany za sferyczną prostąsferyczna prostasferyczną prostą? Dlaczego tak lub dlaczego nie?

Otóż okrąg wielki (np. „równik”) w geometrii na powierzchni kuli jest nazywany sferyczną prostą. Oprócz tego, że wzdłuż niego mierzymy odległości, jest jeszcze jedno uzasadnienie – geometryczne: czyni on ze sferą to, co prosta z płaszczyzną: dzieli ją na dwie przystające części.

Nasze dwa punkty dzielą otrzymaną linię na dwie części; obie z tych części są skończone. Obie nazywają się odcinkami sferycznymi i dopełniają się wzajemnie do sferycznej prostej. Z tego wynika, że dwa punkty na sferze można połączyć dwoma różnymi odcinkami sferycznymi.

Ile różnych linii prostych przechodzących przez wybrany punkt na płaszczyźnie możesz narysować? A na sferze?

Rozwiązanie:

RkOmEYSsL9s9p

Grafika przedstawia 5 prostych przecinających się w jednym punkcie, które tworzą wzór gwiazdy. Obok znajduje się kula, na której obwiedni umieszczono linie w kształcie gwiazdy w taki sposób, że ich drugie końce łączą się po przeciwnej stronie kuli.

Zarówno na płaszczyźnie, jak i na sferze przez punkt przechodzi nieskończenie wiele prostych.

Ile różnych linii prostych przechodzących przez dwa wybrane punkty na płaszczyźnie możesz narysować? A na sferze?

Rozwiązanie:

R17XKqC3cgbmP

Grafika przedstawia prostą, na której znajdują się dwa punkty.

Na płaszczyźnie przez dwa różne punkty można przeprowadzić tylko jedną prostą. Na sferze to zależy od wybranych punktów. Przez punkty biegunowe można przeprowadzić nieskończenie wiele prostych, przez dwa punkty, które nie są punktami biegunowymi – tylko jedną.

W ilu punktach mogą się przeciąć dwie proste na płaszczyźnie? A na sferze?

Rozwiązanie:

R4oRstZpPyFYn

Grafika przedstawia dwie proste przecinające się w jednym punkcie. Obok znajduje się kula. Na obwiedni kuli zostały namalowane dwie linie w taki sposób, że tworzą okręgi o średnicy równej średnicy kuli

Na płaszczyźnie dwie proste mogą się przeciąć w jednym punkcie. Na sferze zawsze przecinają się w dwóch punktach.

część sferycznej prostej, czyli łuk zawarty w okręgu wielkim

okrąg na sferze o promieniu równym promieniowi tej sfery

w klasycznej geometrii euklidesowej, prosta jest tzw. pojęciem pierwotnym, nie definiowanym formalnie; linia prosta w sensie potocznym różni się od tego, co pod tym pojęciem określa się w matematyce; potocznie „prosta” oznacza „niezakrzywiona”; w geometrii euklidesowej „prosta” albo „linia prosta”, oprócz tego, że nie jest zakrzywiona, musi rozciągać się nieograniczenie w obydwie strony i mieć zerową „grubość”

okrąg wielki na sferze