Przeczytaj

Podamy najpierw, w jaki sposób współrzędne środka odcinkawspółrzędne środka odcinkawspółrzędne środka odcinka zależą od współrzędnych końców tego odcinka, a następnie podamy uzasadnienie tej zależności:

Współrzędne środka odcinka są równe średnim arytmetycznym współrzędnych jego końców, czyli dla odcinka $A B$ o końcach $A = (x_{A}; y_{A})$ i $B = (x_{B}; y_{B})$ współrzędne jego środka $S$ są równe $(\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$ .

Przykład 1

Środek $S$ odcinka o końcach $A = (3; - 2)$ i $B = (- 7; 6)$ ma współrzędne $S = (\frac{3 + (- 7)}{2}; \frac{- 2 + 6}{2}) = (\frac{- 4}{2}; \frac{4}{2}) = (- 2; 2)$ .

RCpf2iktTnzWD

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus ośmiu do siedmiu oraz pionową osią Y od minus trzech do siedmiu. Na płaszczyźnie wykreślony jest odcinek AB oraz zaznaczony jest na nim punkt C. Współrzędne punktu A to trzy minus dwa, punktu B to minus siedem sześć, punktu C to minus dwa dwa.

Przykład 2

Dany jest punkt $A = (- 4; 5)$ i środek $S$ odcinka $A B$ o współrzędnych $S = (2; 3)$ . Wyznaczymy współrzędne punktu $B$ .

Oznaczmy współrzędne punktu $B$ przez $(x_{B}; y_{B})$ .

Ponieważ współrzędne środka odcinka są równe średnim arytmetycznym współrzędnych jego końców, otrzymujemy równania

$\frac{- 4 + x_{B}}{2} = 2$ i $\frac{5 + y_{B}}{2} = 3$ .

Stąd odpowiednio $- 4 + x_{B} = 4$ i $5 + y_{B} = 6$ .

Zatem punkt $B$ ma współrzędne $(8; 1)$ .

Przykład 3

Wyznaczymy teraz wartości parametrów $m$ i $n$ , dla których środkiem odcinka o końcach $A = (m + 2; 5)$ i $B = (3; 3 n)$ jest punkt o współrzędnych $(5; 4)$ .

Ponieważ współrzędne środka odcinka są równe średnim arytmetycznym współrzędnych końców, otrzymujemy równania

$\frac{m + 2 + 3}{2} = 5$ i $\frac{5 + 3 n}{2} = 4$ .

Zatem $m = 5$ i $n = 1$ , czyli $A = (7; 5)$ i $B = (3; 3)$ .

Wektorowe uzasadnienie wzorów na współrzędne środka odcinka.

Najłatwiejszy dowód wspomnianej powyżej zależności wykorzystuje pojęcie i własności wektorów.

Rozważmy punkty $A = (x_{A}; y_{A})$ i $B = (x_{B}; y_{B})$ . Jeśli $S = (x_{S}; y_{S})$ jest środkiem odcinka $A B$ , to $\vec{A S} = \vec{S B}$ , zatem $[x_{S} - x_{A}; y_{S} - y_{A}] = [x_{B} - x_{S}; y_{B} - y_{S}]$ .

Korzystając z kryterium równości wektorów otrzymujemy równania $x_{S} - x_{A} = x_{B} - x_{S}$ oraz $y_{S} - y_{A} = y_{B} - y_{S}$ .

Po prostych przekształceniach okazuje się, że $x_{S} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2}$ i $y_{S} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2}$ .

Niewektorowe uzasadnienie wzorów na współrzędne środka odcinkawspółrzędne środka odcinkawspółrzędne środka odcinka.

Rozważmy punkty $A = (x_{A}; y_{A})$ i $B = (x_{B}; y_{B})$ . Pokażemy, że punkt $S = (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$ leży na prostej wyznaczonej przez punkty $A$ i $B$ oraz, że odległość punktu $B$ od punktu $A$ jest równa odległości punktu $S$ od punktu $B$ .

Równanie prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $B$ to $(x - x_{A}) (y_{A} - y_{B}) = (y - y_{A}) (x_{A} - x_{B})$ .

Aby sprawdzić, czy punkt $S$ leży na prostej $A B$ , podstawimy najpierw za $x$ w równaniu prostej pierwszą współrzędną punktu $S$ .

Lewa strona równania przyjmuje postać:

$(\frac{x_{A} + x_{B}}{2} - x_{A}) (y_{A} - y_{B}) = (\frac{- x_{A} + x_{B}}{2}) (y_{A} - y_{B}) = - \frac{1}{2} (x_{A} - x_{B}) (y_{A} - y_{B})$ .

Teraz za $y$ podstawimy $\frac{y_{A} + y_{B}}{2}$ .

Prawa strona równania przyjmuje postać:

$(y - y_{A}) (x_{A} - x_{B}) = (\frac{y_{A} + y_{B}}{2} - y_{A}) (x_{A} - x_{B}) = (\frac{- y_{A} + y_{B}}{2}) (x_{A} - x_{B}) =$

$= - \frac{1}{2} (y_{A} - y_{B}) (x_{A} - x_{B})$ .

Ponieważ obie strony równości są równe, punkt $S$ leży na prostej $A B$ .

Obliczmy długości odcinków $|A S|$ i $|B S|$ :

$|A S| = \sqrt{{(x_{S} - x_{A})}^{2} + {(y_{S} - y_{A})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{x_{A} + x_{B}}{2} - x_{A})}^{2} + {(\frac{y_{A} + y_{B}}{2} - y_{A})}^{2}} =$

$= \sqrt{{(\frac{- x_{A} + x_{B}}{2})}^{2} + {(\frac{- y_{A} + y_{B}}{2})}^{2}}$ ,

$|B S| = \sqrt{{(x_{S} - x_{B})}^{2} + {(y_{S} - y_{B})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{x_{A} + x_{B}}{2} - x_{B})}^{2} + {(\frac{y_{A} + y_{B}}{2} - y_{B})}^{2}} =$

$= \sqrt{{(\frac{x_{A} - x_{B}}{2})}^{2} + {(\frac{y_{A} - y_{B}}{2})}^{2}} = \sqrt{{(- \frac{- x_{A} + x_{B}}{2})}^{2} + {(- \frac{- y_{A} + y_{B}}{2})}^{2}} =$

$= \sqrt{{(\frac{- x_{A} + x_{B}}{2})}^{2} + {(\frac{- y_{A} + y_{B}}{2})}^{2}}$ .

Widzimy, że długości odcinków $A S$ i $B S$ są równe i punkt $S$ leży na prostej $A B$ , zatem punkt $S$ jest środkiem odcinka $A B$ .

Przykład 4

Wyznaczymy równanie symetralnej odcinka o końcach $A = (- 4; 2)$ i $B = (3; - 1)$ .

Skorzystamy z faktu, że symetralna odcinkasymetralna odcinkasymetralna odcinka $A B$ jest do niego prostopadła i przechodzi przez jego środek.

Środek $S$ odcinka $A B$ ma współrzędne $(- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$ .

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $B$ to $\frac{- 1 - 2}{3 - (- 4)} = \frac{- 3}{7}$ , zatem współczynnik kierunkowy symetralnej odcinka $A B$ jest równy $\frac{7}{3}$ .

Szukane równanie symetralnej ma postać $y = \frac{7}{3} x + b$ .

Po podstawieniu do niego współrzędnych punktu $S$ otrzymujemy równanie: $\frac{1}{2} = \frac{7}{3} \cdot \frac{- 1}{2} + b$ , zatem $b = \frac{5}{3}$ .

Równanie symetralnej odcinka $A B$ to $y = \frac{7}{3} x + \frac{5}{3}$ .

Słownik

współrzędne środka odcinka

współrzędne środka odcinka są równe średnim arytmetycznym odpowiednich współrzędnych końców tego odcinka; współrzędne środka odcinka o końcach $A = (x_{A}; y_{A}), B = (x_{B}; y_{B})$ są równe $(\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$

symetralna odcinka

prosta prostopadła do odcinka przechodząca przez jego środek

Wprowadzenie

Animacja

Słownik