Przeczytaj
Podamy najpierw, w jaki sposób współrzędne środka odcinkawspółrzędne środka odcinka zależą od współrzędnych końców tego odcinka, a następnie podamy uzasadnienie tej zależności:
Współrzędne środka odcinka są równe średnim arytmetycznym współrzędnych jego końców, czyli dla odcinka o końcach i współrzędne jego środka są równe .
Środek odcinka o końcach i ma współrzędne .
Dany jest punkt i środek odcinka o współrzędnych . Wyznaczymy współrzędne punktu .
Oznaczmy współrzędne punktu przez .
Ponieważ współrzędne środka odcinka są równe średnim arytmetycznym współrzędnych jego końców, otrzymujemy równania
i .
Stąd odpowiednio i .
Zatem punkt ma współrzędne .
Wyznaczymy teraz wartości parametrów i , dla których środkiem odcinka o końcach i jest punkt o współrzędnych .
Ponieważ współrzędne środka odcinka są równe średnim arytmetycznym współrzędnych końców, otrzymujemy równania
i .
Zatem i , czyli i .
Wektorowe uzasadnienie wzorów na współrzędne środka odcinka.
Najłatwiejszy dowód wspomnianej powyżej zależności wykorzystuje pojęcie i własności wektorów.
Rozważmy punkty i . Jeśli jest środkiem odcinka , to , zatem .
Korzystając z kryterium równości wektorów otrzymujemy równania oraz .
Po prostych przekształceniach okazuje się, że i .
Niewektorowe uzasadnienie wzorów na współrzędne środka odcinkawspółrzędne środka odcinka.
Rozważmy punkty i . Pokażemy, że punkt leży na prostej wyznaczonej przez punkty i oraz, że odległość punktu od punktu jest równa odległości punktu od punktu .
Równanie prostej przechodzącej przez punkty i to .
Aby sprawdzić, czy punkt leży na prostej , podstawimy najpierw za w równaniu prostej pierwszą współrzędną punktu .
Lewa strona równania przyjmuje postać:
.
Teraz za podstawimy .
Prawa strona równania przyjmuje postać:
.
Ponieważ obie strony równości są równe, punkt leży na prostej .
Obliczmy długości odcinków i :
,
.
Widzimy, że długości odcinków i są równe i punkt leży na prostej , zatem punkt jest środkiem odcinka .
Wyznaczymy równanie symetralnej odcinka o końcach i .
Skorzystamy z faktu, że symetralna odcinkasymetralna odcinka jest do niego prostopadła i przechodzi przez jego środek.
Środek odcinka ma współrzędne .
Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty i to , zatem współczynnik kierunkowy symetralnej odcinka jest równy .
Szukane równanie symetralnej ma postać .
Po podstawieniu do niego współrzędnych punktu otrzymujemy równanie: , zatem .
Równanie symetralnej odcinka to .
Słownik
współrzędne środka odcinka są równe średnim arytmetycznym odpowiednich współrzędnych końców tego odcinka; współrzędne środka odcinka o końcach są równe
prosta prostopadła do odcinka przechodząca przez jego środek