Nazwiemy odcinki w graniastosłupie prostym na rysunku:

R1boi4sp6mIVu

Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty o podstawie trapezu. Przekątna graniastosłupa została podpisana literą a. Przekątną podstawy podpisano literą b. Krawędź podstawy została podpisana literą c. Krawędź ściany bocznej została podpisana literą d, a przekątną ściany bocznej podpisano literą e.

$a$ – przekątna graniastosłupa
$b$ – przekątna podstawy
$c$ – krawędź podstawy
$d$ – krawędź boczna, wysokość graniastosłupa
$e$ – przekątna ściany bocznej

Nazwiemy kąty w graniastosłupie prostym na rysunku:

R2WyiEBQMSFuz

Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty o podstawie trapezu. W graniastosłupie zaznaczone zostały kąty pomiędzy różnymi przekątnymi zawartymi w graniastosłupie. Kąt pomiędzy przekątną górnej podstawy a przekątną graniastosłupa oznaczono literą alfa. Kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej a krawędzią tej ściany oznaczono literą beta. Kąt pomiędzy przekątnymi sąsiadujących ścian bocznych oznaczono literą gamma. Kąt między przekątną graniastosłupa a jego krawędzią boczną oznaczono literą delta.

$\alpha$ – kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawykąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do podstawykąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy
$\beta$ – kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej, a krawędzią boczną
$\gamma$ – kąt pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych
$\delta$ – kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa, a krawędzią boczną

W graniastosłupie prostym czworokątnym na rysunku wskażemy kilka trójkątów prostokątnych

1. Trójkąt prostokątny, którego bokami są krawędź boczna, przekątna podstawy i przekątna graniastosłupa, a kątami ostrymi kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa, a wysokością $\left(\beta \right)$ oraz kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy $\left(\alpha \right)$

   RBbZAcOwSurWJ

   Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty o podstawie trapezu. W trapezie zaznaczono przekątną górnej podstawy, przekątną graniastosłupa i krawędź ściany bocznej. Linie te tworzą trójkąt prostokątny, przy czym przekątna podstawy i krawędź ściany bocznej stanowią przyprostokątne, a przekątna graniastosłupa jest przeciwprostokątną. Kąt pomiędzy przekątną podstawy a przekątną graniastosłupa oznaczono literą alfa. Kąt pomiędzy krawędzią ściany bocznej a przekątną graniastosłupa oznaczono literą beta.

   

2. Trójkąt prostokątny, którego bokami są krawędź podstawy, krawędź boczna i przekątna ściany bocznej, a kątami ostrymi kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej, a krawędzią boczną $\left(\beta \right)$ i kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do podstawy $\left(\alpha \right)$

   R19caFnhnaXo1

   Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty o podstawie trapezu. W trapezie zaznaczono krawędź dolnej podstawy, która stanowi jedno z ramion trapezu; przekątną ściany bocznej i krawędź ściany bocznej. Linie te tworzą trójkąt prostokątny, przy czym krawędź podstawy i krawędź ściany bocznej stanowią przyprostokątne, a przekątna ściany bocznej jest przeciwprostokątną. Kąt pomiędzy krawędzią podstawy a przekątną ściany bocznej oznaczono literą alfa. Kąt pomiędzy krawędzią ściany bocznej a przekątną ściany bocznej oznaczono literą beta.

   

Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez prostokątny o podstawach długości $2$ i $5$ oraz dłuższym ramieniu $\sqrt{13}$. Obliczymy miarę kąta nachylenia przekątnej największej ściany bocznej do podstawy, wiedząc, że dłuższa przekątna graniastosłupa jest nachylona do podstawy pod kątem $48°$.

Zróbmy rysunek pomocniczy. Zaznaczymy na nim trójkąt prostokątny, którego jednym z kątów jest dany kąt.

RbL6JEHeCGLxm

Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty o podstawie trapezu prostokątnego. W trapezie zaznaczono przekątną dolnej podstawy, przekątną graniastosłupa i krawędź ściany bocznej. Linie te tworzą trójkąt prostokątny, przy czym przekątna podstawy i krawędź ściany bocznej stanowią przyprostokątne, a przekątna graniastosłupa jest przeciwprostokątną. Kąt pomiędzy przekątną podstawy a przekątną graniastosłupa jest równy 48 stopni. Krawędź ściany bocznej oznaczono literą H. Przekątną graniastosłupa podpisano literą d. Przekątną podstawy podpisano literą p.

Bokami tego trójkąta są: krawędź boczna, dłuższa przekątna podstawy i dłuższa przekątna graniastosłupa. Aby móc korzystać z tego trójkąta musimy znać długość co najmniej jednego z jego boków.

Obliczymy długość dłuższej przekątnej podstawy. Aby to zrobić, potrzebujemy jeszcze wysokości trapezu. Obliczymy ją z twierdzenia Pitagorasa.

R1c8jDOpdosHP

Ilustracja przedstawia trapez prostokątny. W trapezie została narysowana jego wysokość w taki sposób, że dzieli trapez na trójkąt prostokątny i prostokąt. Pionowy bok trapezu został podpisany literą h. Narysowana wysokość, która jest jedną z przyprostokątnych powstałego trójkąta również została podpisana literą h. Druga przyprostokątna ma długość trzy, a przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{13}$. Górna, krótsza podstawa trapezu ma długość dwa. W trapezie zaznaczono jego dłuższą przekątną.

Z rysunku powyżej wynika, że $h^2+3^2={\left(\sqrt{13}\right)}^2$, a stąd $h=2$.
Teraz już możemy obliczyć długość dłuższej przekątnej podstawy

R3NO0ZjmVxEoY

Ilustracja przedstawia trapez prostokątny. W trapezie zaznaczono jego dłuższą przekątną i podpisano ją literą p. Przekątna wraz z dolną podstawą i pionowym ramieniem tworzą trójkąt prostokątny. Dolna podstawa ma długość pięciu, a pionowe ramię ma długość dwa.

Mamy więc $2^2+5^2=p^2$, a stąd $p=\sqrt{29}$.
Możemy teraz obliczyć długość wysokości graniastosłupa korzystając z trójkąta prostokątnego zaznaczonego na pierwszym rysunku. Mamy więc $\mathrm{tg}48°=\frac{H}{\sqrt{29}}$. Odczytując wartości funkcji trygonometrycznych z karty wzorów mamy $1,1106\sqrt{29}=H$. A to daje $H\approx 6$.

Zaznaczmy teraz w graniastosłupie szukany kąt

R11jSGxZtg8Kj

Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty o podstawie trapezu prostokątnego. W trapezie zaznaczono krawędź dolnej podstawy, która stanowi dłuższą podstawę trapezu, przekątną ściany bocznej i krawędź ściany bocznej. Linie te tworzą trójkąt prostokątny, przy czym krawędź podstawy i krawędź ściany bocznej stanowią przyprostokątne, a przekątna ściany bocznej jest przeciwprostokątną. Kąt pomiędzy krawędzią podstawy a przekątną ściany bocznej jest podpisany literą alfa. Krawędź ściany bocznej ma długość sześć. Krawędź podstawy ma długość pięć.

Obliczymy miarę tego kąta korzystając z funkcji trygonometrycznych: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{6}{5}=1,2$. Czyli $\alpha \approx 50°$.

Obliczymy długość przekątnej najmniejszej ściany bocznej i kąt nachylenia tej przekątnej do podstawy w graniastosłupie prostym o wysokości $3$, którego podstawą jest trójkąt jak na rysunku poniżej.

R1c4AluU18IuP

Ilustracja przedstawia trójkąt, w którym jeden z kątów ma wartość 75 stopni, a drugi 60 stopni. Bok leżący naprzeciwko kąta o wartości 60 stopni ma długość $3\sqrt{6}$.

Miara trzeciego kąta wynosi $45°$. Krawędź podstawy naprzeciwko najmniejszego kąta będzie krawędzią najmniejszej ściany bocznej. Oznaczmy krawędź naprzeciwko kąta $45°$ przez $x$.
Z twierdzenia sinusów mamy: $\frac{3\sqrt{6}}{\sin 60°}=\frac{x}{\sin 45°}$. Czyli $6\sqrt{2}=\frac{2x}{\sqrt{2}}$. Przekształcając tę równość dalej otrzymujemy $x=6$.
Narysujmy ten graniastosłup i zaznaczmy na nim dane i szukane odcinki oraz kąty.

RVAhchnpNwDgJ

Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty trójkątny. W podstawie znajduje się trójkąt o kątach: 75 stopni oraz 60 stopni. Bok leżący przy obu kątach ma długość sześć. Bok leżący naprzeciw kąta 60 stopni ma wartość $3\sqrt{6}$. Krawędź ściany bocznej graniastosłupa ma długość trzy. W graniastosłupie zaznaczono jego przekątną, która wychodzi z dolnego wierzchołka przy kącie 60 stopni i biegnie do górnego wierzchołka przy kącie 75 stopni. Przekątną podpisano literą p.

Obliczymy najpierw długość przekątnej $p$ z twierdzenia Pitagorasa: $3^2+6^2=p^2$. Stąd $p=3\sqrt{5}$.
Obliczymy teraz miarę kąta nachylenia przekątnej $p$ do podstawy korzystając z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych. Mamy $\mathrm{tg}\gamma =\frac{3}{6}=0,5$, a zatem $\gamma \approx 27°$.

kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa, a jej rzutem prostokątnym na podstawę

Niech $a$, $b$, $c$ będą długościami boków w trójkącie, a odpowiednio $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ miarami kątów naprzeciw tych boków.
Wtedy

• $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R$, gdzie $R$ jest promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie (twierdzenie sinusów)

• $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$
  $b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta$
  $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$ (twierdzenie cosinusów)