Przeczytaj

Wykonanie równocześnie kilku przekształceń wykresu funkcji logarytmicznejfunkcja logarytmicznafunkcji logarytmicznej powoduje zmianę zarówno położenia samego wykresu względem osi układu współrzędnych, jak i zmianę własności tej funkcji.

Omówimy przesunięcie wykresu funkcji logarytmicznej określonej wzorem $f (x) = \log_{a} x$ , gdzie $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ , $x > 0$ wzdłuż osi $X$ oraz osi $Y$ układu współrzędnych.

przesunięcie wykresu funkcji logarytmicznej wzdłuż osi

X

oraz

Y

Definicja: przesunięcie wykresu funkcji logarytmicznej wzdłuż osi

X

oraz

Y

Wykres funkcji określonej wzorem $g (x) = \log_{a} (x - p) + q$ otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji $f (x) = \log_{a} x$ o $p$ jednostek w prawo ( $p > 0$ ) lub o $p$ jednostek w lewo ( $p < 0$ ) oraz o $q$ jednostek w górę ( $q > 0$ ) lub o $q$ jednostek w dół ( $q < 0$ ).

Naszkicujemy w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji określonych wzorami $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ oraz $g (x) = \log_{\frac{1}{2}} (x - 1) + 2$ . W tym celu w tabelach przedstawimy wartości tych funkcji dla kilku argumentów.

$x$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$
$f (x)$	$2$	$1$	$0$	$- 1$

$x$	$\frac{5}{4}$	$\frac{3}{2}$	$2$	$3$
$g (x)$	$4$	$3$	$2$	$1$

Wykresy tych funkcji przedstawiają się następująco:

R1ejJudJM5Z8i

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do dziewięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono wykresy dwóch funkcji. Funkcja f jest funkcją logarytmiczną o podstawie z przedziału obustronnie otwartego od zera do jeden. Wykres funkcji f przechodzi przez punkt 1,0. wykres ten jest przesunięty o wektor p,q w górę i w prawo, co oznaczono trzema przykładowymi strzałkami reprezentującymi wektor p,q. Po przesunięciu wykresu funkcji f, otrzymujemy wykres funkcji g, który przecina oś X w punkcie o współrzędnych 5,0.

Analizując położenie wykresów oraz wzory tych funkcji możemy zauważyć, że:

wykres funkcji $g$ możemy otrzymać przez przesunięcie wykresu funkcji $f$ o $1$ jednostkę w prawo oraz $2$ jednostki w górę,
dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $x \in (0, \infty)$ , a dziedziną funkcji $g$ jest zbiór $x \in (1, \infty)$ ,
zbiorem wartości obu funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych,
miejscem zerowym funkcji $f$ jest $1$ , a miejscem zerowym funkcji $g$ jest $5$ ,
asymptotą wykresu funkcji $f$ jest prosta $x = 0$ , a asymptotą wykresu funkcji $g$ jest prosta $x = 1$ ,
funkcja $f$ przyjmuje wartości ujemne tylko dla argumentów większych od $1$ , a funkcja $g$ przyjmuje wartości ujemne tylko dla argumentów większych od $5$ ,
funkcja $f$ przyjmuje wartości dodatnie tylko dla argumentów $x \in (0, 1)$ , a funkcja $g$ przyjmuje wartości dodatnie tylko dla argumentów $x \in (1, 5)$ .

asymptota wykresu funkcji określonej wzorem

f (x) = \log_{a} (x - p) + q

Własność: asymptota wykresu funkcji określonej wzorem

f (x) = \log_{a} (x - p) + q

Asymptotą wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = \log_{a} (x - p) + q$ jest prosta o równaniu $x = p$ .

Mając dany wzór funkcji przed przekształceniem jej wykresu oraz podane przekształcenie, możemy wyznaczyć wzór funkcji po przesunięciu jej wykresu wzdłuż osi układu współrzędnychprzesunięciu jej wykresu wzdłuż osi układu współrzędnych.

Przykład 1

Wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = \log_{\sqrt{5}} x$ przesunięto wzdłuż osi $X$ o $3$ jednostki w lewo oraz wzdłuż osi $Y$ o $2$ jednostki w dół. Wyznaczymy wzór funkcji otrzymanej po przesunięciu wykresu.

Wzór funkcji logarytmicznej po przesunięciu wykresu wzdłuż osi $X$ oraz osi $Y$ zapisujemy w postaci $g (x) = \log_{a} (x - p) + q$ .

Z zadania wynika, że $p = - 3$ oraz $q = - 2$ .

Zatem wzór funkcji po przekształceniach przyjmuje postać $g (x) = \log_{\sqrt{5}} (x + 3) - 2$ .

Przykład 2

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji logarytmicznej $f$ określonej wzorem $f (x) = \log_{4} (x + 1) - 1$ .

Rc2dYyoc2YwDD

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus dwóch do dziewięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do dwóch. Na płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji f. Jest to funkcja logarytmiczna o podstawie 4. Wykres funkcji f przechodzi przez punkty 0,-3 oraz 3,0.

Wyznaczymy:

a) równanie asymptoty oraz dziedzinę tej funkcji,

b) miejsce zerowe tej funkcji,

c) argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości niedodatnie.

Rozwiązania:

a) Ponieważ $p = - 1$ , zatem asymptotą wykresu funkcji jest prosta o równaniu $x = - 1$ .
Dziedziną tej funkcji jest zbiór $x \in (- 1, \infty)$ .

b) Chcąc wyznaczyć miejsce zerowe tej funkcji, rozwiążemy równanie $0 = \log_{4} (x + 1) - 1$ .
Po rozwiązaniu równania otrzymujemy $x = 3$ . Uwzględniając, że dziedziną funkcji jest zbiór $x \in (- 1, \infty)$ , potwierdzamy, że miejscem zerowym tej funkcji jest liczba $3$ .

c) Z wykresu możemy odczytać, że $f (x) \leq 0$ dla $x \in (- 1, 3 ⟩$ .

Z wykresu funkcji logarytmicznej możemy odczytać własności potrzebne do wyznaczenia jej wzoru.

Przykład 3

Na wykresie przedstawiono funkcję określoną wzorem $f (x) = \log_{\frac{\sqrt{2}}{2}} (x - p) + q$ . Wyznaczymy wzór tej funkcji.

R8F0zEoAzS9aC

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie zaznaczono wykres funkcji f. Jest to funkcja logarytmiczna o podstawie 22. Wykres tej funkcji bardziej przypomina kształtem łuk, niż najczęściej przedstawiany lekko spłaszczony wykres funkcji logarytmicznej.

Z wykresu możemy odczytać, że:

asymptotą wykresu funkcji jest prosta $x = 2$ , zatem $p = 2$ ,
do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych $(6, - 3)$ , zatem, w celu wyznaczenia wartości $q$ rozwiązujemy równanie $- 3 - q = \log_{\frac{\sqrt{2}}{2}} (6 - 2)$ .

Korzystając z praw działań na logarytmach, równanie możemy zapisać w postaci $- 3 - q = - 4$ , a zatem $q = 1$ .

Szukana funkcja wyraża się zatem wzorem $f (x) = \log_{\frac{\sqrt{2}}{2}} (x - 2) + 1$ .

Przykład 4

Do wykresu funkcji określonej za pomocą wzoru $f (x) = \log_{4} (x - p) + q$ należą punkty o współrzędnych $(3, 3)$ oraz $(0, 2)$ . Wyznaczymy wartości parametrów $p$ i $q$ .

W celu wyznaczenia wartości parametrów $p$ i $q$ zapisujemy układ równań $\{\begin{cases} 3 = \log_{4} (3 - p) + q \\ 2 = \log_{4} (- p) + q \end{cases}$ .

Rozwiązanie układu sprowadza się do rozwiązania równania $\log_{4} (3 - p) = \log_{4} (- p) + 1$ .

Równanie to zapisujemy w postaci $\log_{4} (3 - p) = \log_{4} (- p) + \log_{4} 4$ , co po przekształceniu jest równoważne równaniu $\log_{4} (3 - p) = \log_{4} (- 4 p)$ .

Zatem $3 - p = - 4 p$ , więc $p = - 1$ .

Wartość $q$ obliczymy z pierwszego równania układu równań.

$3 = \log_{4} (3 + 1) + q$ , więc $q = 2$ .

Wzór funkcji przedstawia się następująco: $f (x) = \log_{4} (x + 1) + 2$ .

Słownik

funkcja logarytmiczna

funkcja określona wzorem $f (x) = \log_{a} x$ , gdzie $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ oraz $x > 0$

przekształcenie wykresu funkcji f(x - p) + q

przesunięcie wykresu funkcji $f (x)$ o $p$ jednostek w prawo ( $p > 0$ ) lub o $p$ jednostek w lewo ( $p < 0$ ) oraz o $q$ jednostek w górę ( $q > 0$ ) lub o $q$ jednostek w dół ( $q < 0$ )

Wprowadzenie

Aplet

Słownik