Przeanalizujemy, w jaki sposób można otrzymać z wykresu funkcji $y={\log }_{a}x, \left(x>0\right)$ wykresy funkcji:

• $y={\log }_a\left(\left|x-p\right|\right)+q, \left(x>p\right)$,

• $y={\log }_a\left|x\right|+q, \left(x>0\right)$,

gdzie $a>0$ i  $a\ne 1$.

Wykorzystując definicję wartości bezwzględnejwartość bezwzględna liczbywartości bezwzględnej, możemy zapisać:

Zauważmy, że ${\log }_{a}x$ dla $x>0$ i ${\log }_a\left(-x\right)$ dla $x<0$ przyjmują te same wartości dla przeciwnych argumentów. Zatem wykres funkcji ${\log }_a\left(-x\right)$ otrzymujemy, odbijając symetrycznie względem osi $Y$ wykres funkcji ${\log }_{a}x$.

W zależności od podstawy logarytmu, funkcja $y={\log }_{a}x$ jest funkcją rosnącą dla $a>1$ lub malejącą, gdy $0<a<1$.

Etapy tworzenia wykresu funkcji $y={\log }_a\left|x-p\right|+q$ podamy opierając się na wykresie funkcji $y={\log }_{a}x$, gdy $a>1$.

Wykres funkcji $y={\log }_a\left|x\right|$ jest sumą wykresów funkcji: $y={\log }_{a}x$ dla $x>0$ i $y={\log }_a\left(-x\right)$ dla $x<0$.

RddAXtnIeShop

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji logarytmicznej o podstawie większej od jeden. Wykres funkcji leży w czwartej i w pierwszej ćwiartce układu i ma tu kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię wypłaszcza się do ujemnej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko rośnie. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w lewo w górę. Wykres logarytmu przechodzi przez punkt $\left(1;0\right)$. Prawe ramię wykresu biegnie do plus nieskończoności. W tej części wykres wolno rośnie.

R123TeUrxdjom

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji logarytmicznej z wartości bezwzględnej z x. Wykres składa się z dwóch symetrycznych względem osi Y części. Prawa część wykresu to klasyczny wykres funkcji logarytmicznej leżący w czwartej i w pierwszej ćwiartce układu, czyli wykres ma tu kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię wypłaszcza się do ujemnej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko rośnie. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w lewo w górę. Wykres logarytmu przechodzi przez punkt $\left(1;0\right)$. Prawe ramię wykresu biegnie do plus nieskończoności. W tej części wykres wolno rośnie. Symetryczna względem osi Y część wykresu znajduje się w drugiej i trzeciej ćwiartce. W tej części wykres ma również kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię biegnie od minus nieskończoności i tutaj funkcja wolno maleje. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w prawo w górę. Wykres przechodzi przez punkt $\left(-1;0\right)$. Prawe ramię łuku wypłaszcza się do ujemnej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko maleje.

Odczytajmy z wykresu własności funkcji $y={\log }_a\left|x\right|$, gdy $a>1$:

• dziedzina funkcjidziedzina funkcjidziedzina funkcji: $x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(0,+\infty \right)$,

• zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcji: $Z{W}_f=\mathrm{ℝ}$,

• asymptota pionowa: $x=0$,

• miejsca zerowe: $x=-1, x=1$,
  miejsca zerowe otrzymamy rozwiązując równanie ${\log }_a\left|x\right|=0$, korzystając z definicji logarytmu mamy $a^0=\left|x\right|$, a ponieważ $a^0=1$ stąd $\left|x\right|=1$, zatem $x = -1$ lub $x = 1$,

• monotoniczność: funkcja jest malejąca dla $x\in \left(-\infty ,0\right)$ oraz rosnąca dla $x\in \left(0,+\infty \right)$,

• wykres jest symetryczny względem osi $Y$ (funkcję, której wykres jest symetryczny względem osi $Y$ nazywamy funkcją parzystą).

Wykresy funkcji typu $y={\log }_a\left|x-p\right|$

Wykres funkcji $y={\log }_a\left|x-p\right|$ otrzymujemy, przesuwając wykres funkcji $y={\log }_a\left|x\right|$ wzdłuż osi $X$:

• o $p$ jednostek w prawo, gdy $p>0$,

• o $\left|p\right|$ jednostek w lewo, gdy $p<0$.

Szkicujemy kolejno:

1. wykres funkcji ${\log }_{a}x$,

2. wykres funkcji $y={\log }_a\left|x\right|$, czyli sumę wykresów funkcji: $y={\log }_{a}x$ dla $x>0$ i $y={\log }_a\left(-x\right)$ dla $x<0$,

3. wykres funkcji $y={\log }_a\left|x-p\right|$, przesuwając wykres funkcji $y={\log }_a\left|x\right|$ wzdłuż osi $X$ o $\left|p\right|$ jednostek.

RDVziViHNiuV3

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano cztery wykresy: wykres funkcji logarytmicznej z wartości bezwzględnej z x, wykres funkcji logarytmicznej z wartości bezwzględnej z różnicy x odjąć p oraz osie symetrii każdego z wykresów. Wykres $y={\log }_a\left|x\right|$ narysowano linią przerywaną. Składa się on z dwóch symetrycznych względem osi Y części. Prawa część wykresu to klasyczny wykres funkcji logarytmicznej leżący w czwartej i w pierwszej ćwiartce układu, czyli wykres ma tu kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię wypłaszcza się do ujemnej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko rośnie. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w lewo w górę. Wykres logarytmu przechodzi przez punkt $\left(1;0\right)$. Prawe ramię wykresu biegnie do plus nieskończoności. W tej części wykres wolno rośnie. Symetryczna względem osi Y część wykresu znajduje się w drugiej i trzeciej ćwiartce. W tej części wykres ma również kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię biegnie od minus nieskończoności i tutaj funkcja wolno maleje. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w prawo w górę. Wykres przechodzi przez punkt $\left(-1;0\right)$. Prawe ramię łuku wypłaszcza się do ujemnej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko maleje. Linią przerywaną narysowano oś symetrii tego wykresu, czyli prostą x równa zero. Wykres funkcji logarytmicznej został przesunięty na prawo o p jednostek i w ten sposób uzyskano wykres funkcji $y={\log }_a\left|x-p\right|$ narysowany linią ciągłą. Miejsca zerowe tej funkcji znajdują się w punktach $\left(-1+p;0\right)$ oraz $\left(1+p;0\right)$. Osią symetrii tego wykresu jest pionowa prosta narysowana linią przerywaną o równaniu x równa się p. Jak możemy zauważyć, wykres osi symetrii x równa się zero został również przesunięty o p jednostek w prawo.

R2LLk5a4ZXi6I

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano cztery wykresy: wykres funkcji logarytmicznej z wartości bezwzględnej z x, wykres funkcji logarytmicznej z wartości bezwzględnej z różnicy x odjąć p oraz osie symetrii każdego z wykresów. Wykres $y={\log }_a\left|x\right|$ narysowano linią przerywaną. Składa się on z dwóch symetrycznych względem osi Y części. Prawa część wykresu to klasyczny wykres funkcji logarytmicznej leżący w czwartej i w pierwszej ćwiartce układu, czyli wykres ma tu kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię wypłaszcza się do ujemnej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko rośnie. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w lewo w górę. Wykres logarytmu przechodzi przez punkt $\left(1;0\right)$. Prawe ramię wykresu biegnie do plus nieskończoności. W tej części wykres wolno rośnie. Symetryczna względem osi Y część wykresu znajduje się w drugiej i trzeciej ćwiartce. W tej części wykres ma również kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię biegnie od minus nieskończoności i tutaj funkcja wolno maleje. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w prawo w górę. Wykres przechodzi przez punkt $\left(-1;0\right)$. Prawe ramię łuku wypłaszcza się do ujemnej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko maleje. Linią przerywaną narysowano oś symetrii tego wykresu, czyli prostą x równa zero. Wykres funkcji logarytmicznej został przesunięty na lewo o p jednostek i w ten sposób uzyskano wykres funkcji $y={\log }_a\left|x-p\right|$ narysowany linią ciągłą. Miejsca zerowe tej funkcji znajdują się w punktach $\left(-1+p;0\right)$ oraz $\left(1+p;0\right)$, przy czym pamiętamy, że p jest ujmne. Osią symetrii tego wykresu jest pionowa prosta narysowana linią przerywaną o równaniu x równa się p. Jak możemy zauważyć, wykres osi symetrii x równa się zero został również przesunięty o p jednostek w lewo.

Odczytajmy z wykresu własności funkcji $y={\log }_a\left|x-p\right|$, gdy $a>1$:

• dziedzina funkcji: $x\in \left(-\infty ,p\right)\cup \left(p,+\infty \right)$,

• zbiór wartości funkcji: $Z{W}_f=\mathrm{ℝ}$,

• asymptota pionowa: $x=p$,

• miejsca zerowe: $x=-1+p, x=1+p$,

• monotoniczność: funkcja jest malejąca dla $x\in \left(-\mathrm{\infty },p\right)$ oraz rosnąca dla $x\in \left(p,+\infty \right)$.

Wykresy funkcji typu $y={\log }_a\left|x\right|+q$

Wykres funkcji $y={\log }_a\left|x\right|+q$ otrzymujemy, przesuwając wykres funkcji $y={\log }_a\left|x\right|$ wzdłuż osi $Y$:

• o $q$ jednostek w górę, gdy $q>0$,

• o $\left|q\right|$ jednostek w dół, gdy $q<0$.

Szkicujemy kolejno:

1. wykres funkcji $y={\log }_{a}x, x>0$,

2. wykres funkcji $y={\log }_a\left|x\right|$, czyli sumę wykresów funkcji: $y={\log }_{a}x$ dla $x>0$ i $y={\log }_a\left(-x\right)$ dla $x<0$,

3. wykres funkcji $y={\log }_a\left|x\right|+q$, przesuwając wykres funkcji $y={\log }_a\left|x\right|$ wzdłuż osi $Y$ o $\left|q\right|$ jednostek.

RzYqCmlK78l3K

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy: wykres funkcji logarytmicznej z wartości bezwzględnej z x oraz wykres funkcji $y={\log }_a\left|x\right|+q$. Wykres $y={\log }_a\left|x\right|$ narysowano linią przerywaną. Składa się on z dwóch symetrycznych względem osi Y części. Prawa część wykresu to klasyczny wykres funkcji logarytmicznej leżący w czwartej i w pierwszej ćwiartce układu, czyli wykres ma tu kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię wypłaszcza się do ujemnej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko rośnie. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w lewo w górę. Wykres logarytmu przechodzi przez punkt $\left(1;0\right)$. Prawe ramię wykresu biegnie do plus nieskończoności. W tej części wykres wolno rośnie. Symetryczna względem osi Y część wykresu znajduje się w drugiej i trzeciej ćwiartce. W tej części wykres ma również kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię biegnie od minus nieskończoności i tutaj funkcja wolno maleje. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w prawo w górę. Wykres przechodzi przez punkt $\left(-1;0\right)$. Prawe ramię łuku wypłaszcza się do ujemnej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko maleje. Wykres funkcji logarytmicznej został przesunięty do góry o q jednostek i w ten sposób uzyskano wykres funkcji $y={\log }_a\left|x\right|+q$ narysowany linią ciągłą. Miejsca zerowe tej funkcji zostały więc przesunięte bliżej początku układu współrzędnych.

R1c9VgKWi5Zx4

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy: wykres funkcji logarytmicznej z wartości bezwzględnej z x oraz wykres funkcji $y={\log }_a\left|x\right|+q$. Wykres $y={\log }_a\left|x\right|$ narysowano linią przerywaną. Składa się on z dwóch symetrycznych względem osi Y części. Prawa część wykresu to klasyczny wykres funkcji logarytmicznej leżący w czwartej i w pierwszej ćwiartce układu, czyli wykres ma tu kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię wypłaszcza się do ujemnej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko rośnie. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w lewo w górę. Wykres logarytmu przechodzi przez punkt $\left(1;0\right)$. Prawe ramię wykresu biegnie do plus nieskończoności. W tej części wykres wolno rośnie. Symetryczna względem osi Y część wykresu znajduje się w drugiej i trzeciej ćwiartce. W tej części wykres ma również kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię biegnie od minus nieskończoności i tutaj funkcja wolno maleje. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w prawo w górę. Wykres przechodzi przez punkt $\left(-1;0\right)$. Prawe ramię łuku wypłaszcza się do ujemnej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko maleje. Wykres funkcji logarytmicznej został przesunięty w dół o q jednostek i w ten sposób uzyskano wykres funkcji $y={\log }_a\left|x\right|+q$ narysowany linią ciągłą. Miejsca zerowe tej funkcji zostały więc przesunięte dalej od początku układu współrzędnych.

Odczytajmy z wykresu własności funkcji $y={\log }_a\left|x\right|+q$, gdy $a>1$:

• dziedzina funkcji: $x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(0,+\infty \right)$,

• zbiór wartości funkcji: $Z{W}_f=\mathrm{ℝ}$,

• asymptota pionowa: $x=0$,

• miejsca zerowe wyznaczamy rozwiązując równanie:  ${\log }_a\left|x\right|+q=0$,

• monotoniczność: funkcja jest malejąca dla $x\in \left(-\infty ,0\right)$ oraz rosnąca dla $x\in \left(0,+\infty \right)$,

• wykres jest symetryczny względem osi $Y$, funkcję, której wykres jest symetryczny względem osi $Y$ nazywamy funkcją parzystą.

Wykresy funkcji typu $y={\log }_a\left|x-p\right|+q$

Wykres funkcji $y={\log }_a\left|x-p\right|+q$ otrzymujemy, przesuwając wykres funkcji $y={\log }_a\left|x\right|$ wzdłuż osi $X$ o $\left|p\right|$ jednostek, a następnie wzdłuż osi $Y$ o $\left|q\right|$ jednostek (lub w odwrotnej kolejności).

Szkicujemy kolejno:

1. wykres funkcji $y={\log }_{a}x$

2. wykres funkcji $y={\log }_a\left|x\right|$, czyli sumę wykresów funkcji: $y={\log }_{a}x, x>0$ i $y={\log }_a\left(-x\right), x<0$,

3. wykres funkcji $y={\log }_a\left|x-p\right|$ przesuwając wykres funkcji $y={\log }_a\left|x\right|$ wzdłuż osi $X$ o $\left|p\right|$ jednostek,

4. wykres funkcji $y={\log }_a\left|x-p\right|+q$, przesuwając wykres funkcji $y={\log }_a\left|x-p\right|$ wzdłuż osi $Y$ o $\left|q\right|$ jednostek.

Powyższe rozważania dotyczyły wykresów funkcji $y ={\log }_a\left|x-p\right|+q$, gdy $a>1$.

W przykładzie pokażemy etapy tworzenia wykresu funkcji tej postaci, gdy $0<a<1$.

Przykład 1

Narysuj wykres funkcji $y={\log }_{0,5}\left|x-2\right|+1$, a następnie określ jej własności.

Rozwiązanie

Dziedziną tej funkcji jest zbiór $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{2\right\}$ ponieważ $\left|x–2\right|>0$ dla $x\in \left(-\infty ,2\right)\cup \left(2,+\infty \right)$.

Szkicujemy kolejno:

1. Wykres funkcji $y={\log }_{0,5}x$.

2. Wykres funkcji $y={\log }_{0,5}\left|x\right|, x\ne 0$, czyli sumę wykresów funkcji: $y={\log }_{0,5}x, x>0$ oraz $y={\log }_{0,5}\left(-x\right), x<0$.

Rea0k3kUC4GZr

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano cztery wykresy: wykres funkcji logarytmicznej $y={\log }_{0,5}\left|x\right|$, następnie wykres funkcji logarytmicznej $y={\log }_{0,5}\left|x-2\right|$ oraz osie symetrii każdego z wykresów. Wykres $y={\log }_{0,5}\left|x\right|$ narysowano linią przerywaną. Składa się on z dwóch symetrycznych względem osi Y części. Prawa część wykresu to klasyczny wykres funkcji logarytmicznej o podstawie mniejszej od jeden, leżący w pierwszej i w czwartej ćwiartce układu. Wykres ma tu kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię wypłaszcza się do dodatniej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko maleje. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w lewo w dół. Wykres logarytmu przechodzi przez punkt $\left(1;0\right)$. Prawe ramię wykresu biegnie do plus nieskończoności. W tej części wykres wolno maleje. Symetryczna względem osi Y część wykresu znajduje się w drugiej i trzeciej ćwiartce. W tej części wykres ma również kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię biegnie od minus nieskończoności i tutaj funkcja wolno rośnie. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w prawo w dół. Wykres przechodzi przez punkt $\left(-1;0\right)$. Prawe ramię łuku wypłaszcza się do dodatniej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko rośnie. Linią przerywaną narysowano oś symetrii tego wykresu, czyli prostą x równa zero. Wykres funkcji logarytmicznej został przesunięty na prawo o dwie jednostki i w ten sposób uzyskano wykres funkcji $y={\log }_{0,5}\left|x-2\right|$ narysowany linią ciągłą. Miejsca zerowe tej funkcji znajdują się w punktach $\left(1;0\right)$ oraz $\left(3;0\right)$. Osią symetrii tego wykresu jest pionowa prosta narysowana linią przerywaną o równaniu x równa się dwa.

3. Wykres funkcji $y={\log }_{0,5}\left|x-2\right|, x\ne 2$, przesuwając wykres funkcji $y={\log }_{0,5}\left|x\right|$ wzdłuż osi $X$ o $2$ jednostki w prawo.

4. Wykres funkcji $y={\log }_{0,5}\left|x-2\right|+1, x\ne 2$, przesuwając wykres funkcji $y={\log }_{0,5}\left|x-2\right|$ wzdłuż osi $Y$ o $1$ jednostkę w górę.

R1HvEVYzqODUh

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano trzy wykresy: wykres funkcji logarytmicznej $y={\log }_{0,5}\left|x-2\right|$, a następnie wykres funkcji logarytmicznej $y={\log }_{0,5}\left|x-2\right|+1$ oraz wspólną oś symetrii tych wykresów. Wykres $y={\log }_{0,5}\left|x-2\right|$ narysowano linią przerywaną. Składa się on z dwóch części symetrycznych względem pionowej prostej opisanej wzorem x równa się dwa, którą narysowanu linią przerywaną. Część wykresu na prawo od osi symetrii wykres funkcji logarytmicznej leży w pierwszej i w czwartej ćwiartce układu. Wykres ma tu kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię wypłaszcza się do osi symetrii przyjmującej dodatnie wartości. W tej części funkcja bardzo szybko maleje. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w lewo w dół. Wykres logarytmu przechodzi przez punkt $\left(3;0\right)$. Prawe ramię wykresu biegnie do plus nieskończoności. W tej części wykres wolno maleje. Symetryczna względem pionowej proste część wykresu znajduje się we wszystkich ćwiartkach. W tej części wykres ma również kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię biegnie od minus nieskończoności i tutaj funkcja wolno rośnie. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w prawo w dół. Wykres przechodzi przez punkt $\left(1;0\right)$. Prawe ramię łuku wypłaszcza się do pionowej prostej w pierwszej ćwiartce. W tej części funkcja bardzo szybko rośnie. Wykres funkcji logarytmicznej został przesunięty do góry o jedną jednostkę i w ten sposób uzyskano wykres funkcji $y={\log }_{0,5}\left|x-2\right|+1$ narysowany linią ciągłą. Miejsca zerowe tej funkcji znajdują się w punktach $\left(0;0\right)$ oraz $\left(4;0\right)$.

Wykres funkcji $y={\log }_{0,5}\left|x-2\right|+1$ możemy też otrzymać przesuwając wykres funkcji $y={\log }_{0,5}\left|x\right|$ o dwie jednostki w prawo wzdłuż osi $X$ i jedną jednostkę w górę wzdłuż osi $Y$.

R1NYJMWyp6Jvg

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano cztery wykresy: wykres funkcji logarytmicznej $y={\log }_{0,5}\left|x\right|$, następnie wykres funkcji logarytmicznej $y={\log }_{0,5}\left|x-2\right|+1$ oraz osie symetrii każdego z wykresów. Wykres $y={\log }_{0,5}\left|x\right|$ narysowano linią przerywaną. Składa się on z dwóch symetrycznych względem osi Y części. Prawa część wykresu to klasyczny wykres funkcji logarytmicznej o podstawie mniejszej od jeden, leżący w pierwszej i w czwartej ćwiartce układu. Wykres ma tu kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię wypłaszcza się do dodatniej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko maleje. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w lewo w dół. Wykres logarytmu przechodzi przez punkt $\left(1;0\right)$. Prawe ramię wykresu biegnie do plus nieskończoności. W tej części wykres wolno maleje. Symetryczna względem osi Y część wykresu znajduje się w drugiej i trzeciej ćwiartce. W tej części wykres ma również kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię biegnie od minus nieskończoności i tutaj funkcja wolno rośnie. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w prawo w dół. Wykres przechodzi przez punkt $\left(-1;0\right)$. Prawe ramię łuku wypłaszcza się do dodatniej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko rośnie. Linią przerywaną narysowano oś symetrii tego wykresu, czyli prostą x równa zero. Wykres funkcji logarytmicznej został przesunięty o wektor $\left[2;1\right]$, czyli o dwie jednostki w prawo i o jedną w górę i w ten sposób uzyskano wykres funkcji $y={\log }_{0,5}\left|x-2\right|+1$ narysowany linią ciągłą. Miejsca zerowe tej funkcji znajdują się w punktach $\left(0;0\right)$ oraz $\left(4;0\right)$. Osią symetrii tego wykresu jest pionowa prosta narysowana linią przerywaną o równaniu x równa się dwa.

Odczytajmy z wykresu własności funkcji $y={\log }_{0,5}\left|x-2\right|+1$:

• dziedzina funkcji: $x\in \left(-\infty ,2\right)\cup \left(2,+\infty \right)$,

• zbiór wartości funkcji: $Z{W}_f=\mathrm{ℝ}$,

• asymptota pionowa: $x=2$,

• miejsca zerowe: $x=0, x=4$,

• monotoniczność: funkcja jest rosnąca dla $x\in \left(-\infty ,2\right)$ oraz malejąca dla $x\in \left(2,+\infty \right)$.

Wykres funkcji typu $y={\log }_a\left(\left|x\right|-k\right)$ dla $a>0$ i $a\ne 1$

Wykorzystując definicję wartości bezwzględnej, możemy zapisać:

Aby narysować wykres funkcji $y={\log }_a\left(\left|x\right|-k\right)$, szkicujemy kolejno:

1. wykres funkcji $y={\log }_{a}x, x>0$,

2. wykres funkcji $y={\log }_a\left(x-k\right), x>k$, przesuwając wykres funkcji $y={\log }_{a}x$ wzdłuż osi $X$ o $\left|k\right|$ jednostek,

3. wykres funkcji $y={\log }_a\left(\left|x\right|-k\right)$, czyli sumę wykresów funkcji: $y={\log }_a\left(x-k\right)$ dla $x>0$ oraz $y={\log }_a\left(-x-k\right)$ dla $x<0$.

Etapy tworzenia wykresu funkcji $y={\log }_a\left(\left|x\right|-k\right)$ podamy, opierając się na wykresie funkcji $y={\log }_{a}x$, gdy $a>1$.

Gdy $k>0$, przesuwamy wykres funkcji $y={\log }_{a}x$ o $k$ jednostek w prawo.

RlsywTga1upb7

Ilustracja przedstawia wykres funkcji z poziomą osią X od minus dwóch do ośmiu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano linią przerywaną wykres funkcji logarytmicznej o podstawie większej od jeden oraz asymptotę pionową funkcji określoną równaniem x równa się zero. Wykres logarytmu przesunięto o k jednostek w prawo, otrzymując wykres funkcji $y={\log }_a\left(x-k\right)$. Miejsce zerowe funkcji przesunęło się również z punktu $\left(1;0\right)$ o k jednostek w prawo po osi X. Asymptota pionowa przesuniętego wykresu określona jest równaniem x równa się k.

Aby otrzymać wykres funkcji $y={\log }_a\left(\left|x\right|-k\right)$, część po prawej stronie osi $Y$ odbijamy na drugą stronę tej osi. Wykres funkcji $y={\log }_a\left(\left|x\right|-k\right)$) jest sumą wykresu funkcji $y={\log }_a\left(x-k\right)$ dla $x\in \left.⟨0,\infty \right)$ oraz jego obrazu otrzymanego w symetrii względem osi $Y$.

R1aWuWpi4Hb6z

Ilustracja przedstawia wykres funkcji z poziomą osią X od minus czterech do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji $y={\log }_a\left(\left|x\right|-k\right)$. Wykres tej funkcji składa się z dwóch nieskończonych łuków. Lewy łuk znajduje się w drugiej i w trzeciej ćwiartce, jest wybrzuszony do góry w prawo, a asymptotą tej części funkcji jest pionowa prosta narysowana linią przerywaną zadana równaniem x równa się minus k. Prawa część wykresu jest drugim nieskończonym łukiem leżącym w pierwszej i w czwartej ćwiartce. Łuk jest symetryczny do łuku lewego względem osi Y, a asymptota narysowana linią przerywaną określona jest wzorem x równa się k.

Odczytajmy z wykresu własności funkcji $y={\log }_a\left(\left|x\right|-k\right)$, gdy $k>0$ i $a>1$:

• dziedzina funkcji: $x\in \left(-\infty ,-k\right)\cup \left(k,+\infty \right)$,

• zbiór wartości funkcji: $Z{W}_f=\mathrm{ℝ}$,

• asymptoty pionowe: $x=-k, x=k$,

• dwa miejsca zerowe: $x=-k-1, x=k+1$,

• monotoniczność: funkcja jest malejąca dla $x\in \left(-\infty ,-k\right)$ oraz rosnąca dla $x\in \left(k,+\infty \right)$,

• funkcja jest parzysta (wykres jest symetryczny względem osi $Y$).

Gdy $k<0$, przesuwamy wykres funkcji $y={\log }_{a}x$ o $\left|k\right|$ jednostek w lewo.

R1VnwvabRVyoo

Ilustracja przedstawia wykres funkcji z poziomą osią X od minus czterech do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji i dwie asymptoty. Wykres pomocniczy $y={\log }_{a}x$ dla a większego od jeden narysowano linią przerywaną. Asymptota funkcji jest również naniesiona linią przerywaną i pokrywa się ona z pionową osią Y. Wykres funkcji logarytmicznej przesunięto o k jednostek w lewo, przesuwając jednocześnie o taką samą odległość asymptotę. Linią ciągłą narysowano przesunięty wykres funkcji logarytmicznej określonej wzorem $y={\log }_a\left(x-k\right)$. Asymptota tej funkcji to pionowa prosta określona wzorem x równa się k.

Aby otrzymać wykres funkcji $y={\log }_a\left(\left|x\right|-k\right)$, część po prawej stronie osi $Y$ odbijamy na drugą stronę tej osi. Wykres funkcji $y={\log }_a\left(\left|x\right|-k\right)$ jest sumą wykresu funkcji $y={\log }_a\left(x-k\right)$ dla $x\in \left.⟨0,\infty \right)$ oraz jego obrazu otrzymanego w symetrii względem osi $Y$.

RHACcggLqgIUS

Ilustracja przedstawia wykres funkcji z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji $y={\log }_a\left(\left|x\right|-k\right)$. Wykres tej funkcji składa się z dwóch wypłaszczonych poziomo łuków, które są symetryczne względem pionowej osi Y oraz spotykają się w punkcie $\left(0;1\right)$. Lewy łuk znajduje się w drugiej ćwiartce i w tej części funkcja jest malejąca. Łuk prawy znajduje się w pierwszej ćwiartce i w tej części funkcja jest rosnąca.

Odczytajmy z wykresu własności funkcji $y={\log }_a\left(\left|x\right|-k\right)$, gdy $k<0$ i $a>1$:

• dziedzina funkcji: $x\in \mathrm{ℝ}$,

• zbiór wartości funkcji: $Z{W}_f=\left.⟨{\log }_{a}k,+\infty \right)$,

• asymptoty pionowe: brak,

• miejsca zerowe: brak,

• monotoniczność: funkcja jest malejąca dla $x\in \left(-\infty ,0\right)$ oraz rosnąca dla $x\in \left(0,+\infty \right)$,

• wykres jest symetryczny względem osi $Y$, stąd funkcja jest parzysta.

Powyższe rozważania dotyczyły wykresów funkcji $y={\log }_a\left(\left|x\right|-k\right)$, gdy $a>1$.

W przykładzie pokażemy etapy tworzenia wykresu funkcji tej postaci, gdy $0<a<1$.

Przykład 2

Narysujmy wykres funkcji $y={\log }_{0,5}\left(\left|x\right|+1\right)+2$.

Rozwiązanie

Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, ponieważ $\left|x\right|+1>0$.

Aby narysować wykres funkcji $y={\log }_{0,5}\left(\left|x\right|+1\right)+2$, szkicujemy kolejno:

1. Wykres funkcji $y={\log }_{0,5}x, x>0$.

2. Wykres funkcji $y={\log }_{0,5}\left(x+1\right), x>-1$, przesuwając wykres funkcji $y={\log }_{0,5}x$ wzdłuż osi $X$ o $1$ jednostkę w lewo.

R1WKSQLBT7PX3

Ilustracja przedstawia wykres funkcji z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji - pomocniczy linią przerywaną i zasadniczy linią ciągłą oraz ich asymptoty linią przerywaną. Wykres pomocniczy przedstawia funkcję zadaną wzorem $y={\log }_{0,5}x$. Wykres ten jest nieskończonym łukiem znajdującym się w pierwszej i czwartej ćwiartce o wybrzuszeniu w dół w lewo. Lewe ramię łuku zbliża się do do pionowej asymptoty pokrywającej się z osią Y, a prawe ramię łuku biegnie w czwartej ćwiartce do plus nieskończoności, funkcja ta jest malejąca, a jej miejsce zerowe znajduje się w punkcie $\left(1;0\right)$. Wykres przesunięto w lewo jedną jednostkę, uzyskując w ten sposób wykres zasadniczej funkcji zadanej wzorem $y={\log }_{0,5}\left(x+1\right)$. Wykres tej funkcji przechodzi przez drugą i czwartą ćwiartkę, miejsce zerowe funkcji znajduje się w początku układu współrzędnych, a asymptota jest pionową prostą o równaniu x równa się minus jeden.

3. Wykres funkcji $y={\log }_{0,5}\left(\left|x\right|+1\right)$, czyli sumę wykresów funkcji: $y={\log }_{0,5}\left(x+1\right)$ dla $x\ge 0$ i $y={\log }_{0,5}\left(-x+1\right)$ dla $x<0$.
   Aby otrzymać $y={\log }_{0,5}\left(\left|x\right|+1\right)$, część po prawej stronie osi $Y$ odbijamy na drugą stronę tej osi. Wykres funkcji $y={\log }_{0,5}\left(\left|x\right|+1\right)$ jest sumą wykresu funkcji $y={\log }_{0,5}\left(x+1\right)$ dla $x\in \left.⟨0,\infty \right)$ oraz jego obrazu otrzymanego w symetrii względem osi $Y$.

4. Wykres funkcji $y={\log }_{0,5}\left(\left|x\right|+1\right)+2$, przesuwając wykres funkcji $y={\log }_{0,5}\left(\left|x\right|+1\right)$ wzdłuż osi $Y$ o $2$ jednostki w górę.

Ret4NYO2x5hb6

Ilustracja przedstawia wykres funkcji z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji - pomocniczy linią przerywaną i zasadniczy linią ciągłą. Wykres pomocniczy ilustruje funkcję $y={\log }_{0,5}\left(\left|x\right|+1\right)$. Wykres składa się z dwóch wklęsłych łuków o wspólnym końcu ramion. Lewa część wykresu to łuk znajdujący się w trzeciej ćwiartce biegnący od minus nieskończoności do punktu $\left(0;0\right)$. Łuk ten wybrzuszony jest w dół w prawo. W tej części funkcja jest rosnąca. Prawa część wykresu to łuk znajdujący się w czwartej ćwiartce. Początek łuku znajduje się w punkcie wspólnym punkcie $\left(0;0\right)$. Łuk wybrzuszony jest w dół w lewo. W tej części funkcja jest malejąca. Wykres przesunięto o dwie jednostki do góry, otrzymując wykres postaci $y={\log }_{0,5}\left(\left|x\right|+1\right)+2$. Wspólny punkt łuków przesunął się zatem do punktu $\left(0;2\right)$, lewa część wykresu zmieniła położenie i przebiega przez trzecią i drugą ćwiartkę, a prawa część wykresu biegnie przez pierwszą i czwartą ćwiartkę. W związku z tym, że wykres przesunięto do góry, otrzymaliśmy dwa miejsca zerowe znajdujące się w punktach: $\left(-3;0\right)$ oraz $\left(3;0\right)$.

Odczytajmy z wykresu własności funkcji $y={\log }_{0,5}\left(\left|x\right|+1\right)+2$, gdy $k>0$:

• dziedzina funkcji: $x\in \mathrm{ℝ}$,

• zbiór wartości funkcji: $Z{W}_f=\left(-\infty ,2\right.⟩$,

• asymptoty pionowe: brak,

• dwa miejsca zerowe: $x=-3, x=3$,

• monotoniczność: funkcja jest rosnąca dla $x\in \left(-\infty ,0\right)$ oraz malejąca dla $x\in \left(0,+\infty \right)$,

• wykres jest symetryczny względem osi $Y$ - funkcja jest parzysta.

Słownik