Przeanalizujemy, w jaki sposób można otrzymać z wykresu funkcji y = log a x , x > 0 wykresy funkcji:
gdzie a > 0 i a ≠ 1 .
Wykorzystując definicję wartości bezwzględnej wartość bezwzględna liczby wartości bezwzględnej , możemy zapisać:
log a x = log a x , x > 0 log a - x , x < 0.
Zauważmy, że log a x dla x > 0 i log a - x dla x < 0 przyjmują te same wartości dla przeciwnych argumentów. Zatem wykres funkcji log a - x otrzymujemy, odbijając symetrycznie względem osi Y wykres funkcji log a x .
W zależności od podstawy logarytmu, funkcja y = log a x jest funkcją rosnącą dla a > 1
lub malejącą, gdy 0 < a < 1 .
Etapy tworzenia wykresu funkcji y = log a x - p + q podamy opierając się na wykresie funkcji y = log a x
, gdy a > 1
.
Wykres funkcji y = log a x jest sumą wykresów funkcji: y = log a x dla x > 0 i y = log a - x dla x < 0 .
RddAXtnIeShop Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji logarytmicznej o podstawie większej od jeden. Wykres funkcji leży w czwartej i w pierwszej ćwiartce układu i ma tu kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię wypłaszcza się do ujemnej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko rośnie. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w lewo w górę. Wykres logarytmu przechodzi przez punkt 1 ; 0 . Prawe ramię wykresu biegnie do plus nieskończoności. W tej części wykres wolno rośnie.
R123TeUrxdjom Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji logarytmicznej z wartości bezwzględnej z x. Wykres składa się z dwóch symetrycznych względem osi Y części. Prawa część wykresu to klasyczny wykres funkcji logarytmicznej leżący w czwartej i w pierwszej ćwiartce układu, czyli wykres ma tu kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię wypłaszcza się do ujemnej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko rośnie. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w lewo w górę. Wykres logarytmu przechodzi przez punkt 1 ; 0 . Prawe ramię wykresu biegnie do plus nieskończoności. W tej części wykres wolno rośnie. Symetryczna względem osi Y część wykresu znajduje się w drugiej i trzeciej ćwiartce. W tej części wykres ma również kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię biegnie od minus nieskończoności i tutaj funkcja wolno maleje. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w prawo w górę. Wykres przechodzi przez punkt - 1 ; 0 . Prawe ramię łuku wypłaszcza się do ujemnej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko maleje.
Odczytajmy z wykresu własności funkcji y = log a x , gdy a > 1
:
dziedzina funkcji dziedzina funkcji dziedzina funkcji : x ∈ - ∞ , 0 ∪ 0 , + ∞ ,
zbiór wartości funkcji zbiór wartości funkcji zbiór wartości funkcji : Z W f = ℝ ,
asymptota pionowa: x = 0 ,
miejsca zerowe: x = - 1 , x = 1 , miejsca zerowe otrzymamy rozwiązując równanie log a | x | = 0 , korzystając z definicji logarytmu mamy a 0 = x , a ponieważ a 0 = 1 stąd x = 1 , zatem x = - 1 lub x = 1 ,
monotoniczność: funkcja jest malejąca dla x ∈ - ∞ , 0 oraz rosnąca dla x ∈ 0 , + ∞ ,
wykres jest symetryczny względem osi Y (funkcję, której wykres jest symetryczny względem osi Y nazywamy funkcją parzystą).
Wykresy funkcji typu y = log a x - p Wykres funkcji y = log a x - p otrzymujemy, przesuwając wykres funkcji y = log a x wzdłuż osi X :
o p jednostek w prawo, gdy p > 0 ,
o | p | jednostek w lewo, gdy p < 0 .
Szkicujemy kolejno:
wykres funkcji log a x ,
wykres funkcji y = log a x , czyli sumę wykresów funkcji: y = log a x dla x > 0 i y = log a - x dla x < 0 ,
wykres funkcji y = log a x - p , przesuwając wykres funkcji y = log a x wzdłuż osi X o | p | jednostek.
p > 0
RDVziViHNiuV3 Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano cztery wykresy: wykres funkcji logarytmicznej z wartości bezwzględnej z x, wykres funkcji logarytmicznej z wartości bezwzględnej z różnicy x odjąć p oraz osie symetrii każdego z wykresów. Wykres y = log a x narysowano linią przerywaną. Składa się on z dwóch symetrycznych względem osi Y części. Prawa część wykresu to klasyczny wykres funkcji logarytmicznej leżący w czwartej i w pierwszej ćwiartce układu, czyli wykres ma tu kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię wypłaszcza się do ujemnej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko rośnie. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w lewo w górę. Wykres logarytmu przechodzi przez punkt 1 ; 0 . Prawe ramię wykresu biegnie do plus nieskończoności. W tej części wykres wolno rośnie. Symetryczna względem osi Y część wykresu znajduje się w drugiej i trzeciej ćwiartce. W tej części wykres ma również kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię biegnie od minus nieskończoności i tutaj funkcja wolno maleje. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w prawo w górę. Wykres przechodzi przez punkt - 1 ; 0 . Prawe ramię łuku wypłaszcza się do ujemnej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko maleje. Linią przerywaną narysowano oś symetrii tego wykresu, czyli prostą x równa zero. Wykres funkcji logarytmicznej został przesunięty na prawo o p jednostek i w ten sposób uzyskano wykres funkcji y = log a x - p narysowany linią ciągłą. Miejsca zerowe tej funkcji znajdują się w punktach - 1 + p ; 0 oraz 1 + p ; 0 . Osią symetrii tego wykresu jest pionowa prosta narysowana linią przerywaną o równaniu x równa się p. Jak możemy zauważyć, wykres osi symetrii x równa się zero został również przesunięty o p jednostek w prawo.
p < 0
R2LLk5a4ZXi6I Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano cztery wykresy: wykres funkcji logarytmicznej z wartości bezwzględnej z x, wykres funkcji logarytmicznej z wartości bezwzględnej z różnicy x odjąć p oraz osie symetrii każdego z wykresów. Wykres y = log a x narysowano linią przerywaną. Składa się on z dwóch symetrycznych względem osi Y części. Prawa część wykresu to klasyczny wykres funkcji logarytmicznej leżący w czwartej i w pierwszej ćwiartce układu, czyli wykres ma tu kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię wypłaszcza się do ujemnej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko rośnie. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w lewo w górę. Wykres logarytmu przechodzi przez punkt 1 ; 0 . Prawe ramię wykresu biegnie do plus nieskończoności. W tej części wykres wolno rośnie. Symetryczna względem osi Y część wykresu znajduje się w drugiej i trzeciej ćwiartce. W tej części wykres ma również kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię biegnie od minus nieskończoności i tutaj funkcja wolno maleje. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w prawo w górę. Wykres przechodzi przez punkt - 1 ; 0 . Prawe ramię łuku wypłaszcza się do ujemnej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko maleje. Linią przerywaną narysowano oś symetrii tego wykresu, czyli prostą x równa zero. Wykres funkcji logarytmicznej został przesunięty na lewo o p jednostek i w ten sposób uzyskano wykres funkcji y = log a x - p narysowany linią ciągłą. Miejsca zerowe tej funkcji znajdują się w punktach - 1 + p ; 0 oraz 1 + p ; 0 , przy czym pamiętamy, że p jest ujmne. Osią symetrii tego wykresu jest pionowa prosta narysowana linią przerywaną o równaniu x równa się p. Jak możemy zauważyć, wykres osi symetrii x równa się zero został również przesunięty o p jednostek w lewo.
Odczytajmy z wykresu własności funkcji y = log a x - p , gdy a > 1
:
dziedzina funkcji: x ∈ - ∞ , p ∪ p , + ∞ ,
zbiór wartości funkcji: Z W f = ℝ ,
asymptota pionowa: x = p ,
miejsca zerowe: x = - 1 + p , x = 1 + p ,
monotoniczność: funkcja jest malejąca dla x ∈ − ∞ , p oraz rosnąca dla x ∈ p , + ∞ .
Wykresy funkcji typu y = log a x + q Wykres funkcji y = log a x + q otrzymujemy, przesuwając wykres funkcji y = log a x wzdłuż osi Y :
o q jednostek w górę, gdy q > 0 ,
o | q | jednostek w dół, gdy q < 0 .
Szkicujemy kolejno:
wykres funkcji y = log a x , x > 0 ,
wykres funkcji y = log a x , czyli sumę wykresów funkcji: y = log a x dla x > 0 i y = log a - x dla x < 0 ,
wykres funkcji y = log a x + q , przesuwając wykres funkcji y = log a x wzdłuż osi Y o | q | jednostek.
q > 0
RzYqCmlK78l3K Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy: wykres funkcji logarytmicznej z wartości bezwzględnej z x oraz wykres funkcji y = log a x + q . Wykres y = log a x narysowano linią przerywaną. Składa się on z dwóch symetrycznych względem osi Y części. Prawa część wykresu to klasyczny wykres funkcji logarytmicznej leżący w czwartej i w pierwszej ćwiartce układu, czyli wykres ma tu kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię wypłaszcza się do ujemnej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko rośnie. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w lewo w górę. Wykres logarytmu przechodzi przez punkt 1 ; 0 . Prawe ramię wykresu biegnie do plus nieskończoności. W tej części wykres wolno rośnie. Symetryczna względem osi Y część wykresu znajduje się w drugiej i trzeciej ćwiartce. W tej części wykres ma również kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię biegnie od minus nieskończoności i tutaj funkcja wolno maleje. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w prawo w górę. Wykres przechodzi przez punkt - 1 ; 0 . Prawe ramię łuku wypłaszcza się do ujemnej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko maleje. Wykres funkcji logarytmicznej został przesunięty do góry o q jednostek i w ten sposób uzyskano wykres funkcji y = log a x + q narysowany linią ciągłą. Miejsca zerowe tej funkcji zostały więc przesunięte bliżej początku układu współrzędnych.
q < 0
R1c9VgKWi5Zx4 Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy: wykres funkcji logarytmicznej z wartości bezwzględnej z x oraz wykres funkcji y = log a x + q . Wykres y = log a x narysowano linią przerywaną. Składa się on z dwóch symetrycznych względem osi Y części. Prawa część wykresu to klasyczny wykres funkcji logarytmicznej leżący w czwartej i w pierwszej ćwiartce układu, czyli wykres ma tu kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię wypłaszcza się do ujemnej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko rośnie. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w lewo w górę. Wykres logarytmu przechodzi przez punkt 1 ; 0 . Prawe ramię wykresu biegnie do plus nieskończoności. W tej części wykres wolno rośnie. Symetryczna względem osi Y część wykresu znajduje się w drugiej i trzeciej ćwiartce. W tej części wykres ma również kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię biegnie od minus nieskończoności i tutaj funkcja wolno maleje. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w prawo w górę. Wykres przechodzi przez punkt - 1 ; 0 . Prawe ramię łuku wypłaszcza się do ujemnej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko maleje. Wykres funkcji logarytmicznej został przesunięty w dół o q jednostek i w ten sposób uzyskano wykres funkcji y = log a x + q narysowany linią ciągłą. Miejsca zerowe tej funkcji zostały więc przesunięte dalej od początku układu współrzędnych.
Odczytajmy z wykresu własności funkcji y = log a x + q , gdy a > 1
:
dziedzina funkcji: x ∈ - ∞ , 0 ∪ 0 , + ∞ ,
zbiór wartości funkcji: Z W f = ℝ ,
asymptota pionowa: x = 0 ,
miejsca zerowe wyznaczamy rozwiązując równanie: log a | x | + q = 0 ,
monotoniczność: funkcja jest malejąca dla x ∈ - ∞ , 0 oraz rosnąca dla x ∈ 0 , + ∞ ,
wykres jest symetryczny względem osi Y , funkcję, której wykres jest symetryczny względem osi Y nazywamy funkcją parzystą.
Wykresy funkcji typu y = log a x - p + q Wykres funkcji y = log a x - p + q otrzymujemy, przesuwając wykres funkcji y = log a x wzdłuż osi X o | p |
jednostek, a następnie wzdłuż osi Y o | q |
jednostek (lub w odwrotnej kolejności).
Szkicujemy kolejno:
wykres funkcji y = log a x
wykres funkcji y = log a x , czyli sumę wykresów funkcji: y = log a x , x > 0 i y = log a - x , x < 0 ,
wykres funkcji y = log a x − p przesuwając wykres funkcji y = log a x wzdłuż osi X o | p | jednostek,
wykres funkcji y = log a x − p + q , przesuwając wykres funkcji y = log a x - p wzdłuż osi Y o | q | jednostek.
Powyższe rozważania dotyczyły wykresów funkcji y = log a x - p + q , gdy a > 1 .
W przykładzie pokażemy etapy tworzenia wykresu funkcji tej postaci, gdy 0 < a < 1 .
Przykład 1
Narysuj wykres funkcji y = log 0 , 5 x - 2 + 1 , a następnie określ jej własności.
Rozwiązanie
Dziedziną tej funkcji jest zbiór D f = ℝ ∖ 2 ponieważ x – 2 > 0 dla x ∈ − ∞ , 2 ∪ 2 , + ∞ .
Szkicujemy kolejno:
Wykres funkcji y = log 0 , 5 x .
Wykres funkcji y = log 0 , 5 x , x ≠ 0 , czyli sumę wykresów funkcji: y = log 0 , 5 x , x > 0 oraz y = log 0 , 5 - x , x < 0 .
Rea0k3kUC4GZr Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano cztery wykresy: wykres funkcji logarytmicznej y = log 0 , 5 x , następnie wykres funkcji logarytmicznej y = log 0 , 5 x - 2 oraz osie symetrii każdego z wykresów. Wykres y = log 0 , 5 x narysowano linią przerywaną. Składa się on z dwóch symetrycznych względem osi Y części. Prawa część wykresu to klasyczny wykres funkcji logarytmicznej o podstawie mniejszej od jeden, leżący w pierwszej i w czwartej ćwiartce układu. Wykres ma tu kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię wypłaszcza się do dodatniej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko maleje. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w lewo w dół. Wykres logarytmu przechodzi przez punkt 1 ; 0 . Prawe ramię wykresu biegnie do plus nieskończoności. W tej części wykres wolno maleje. Symetryczna względem osi Y część wykresu znajduje się w drugiej i trzeciej ćwiartce. W tej części wykres ma również kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię biegnie od minus nieskończoności i tutaj funkcja wolno rośnie. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w prawo w dół. Wykres przechodzi przez punkt - 1 ; 0 . Prawe ramię łuku wypłaszcza się do dodatniej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko rośnie. Linią przerywaną narysowano oś symetrii tego wykresu, czyli prostą x równa zero. Wykres funkcji logarytmicznej został przesunięty na prawo o dwie jednostki i w ten sposób uzyskano wykres funkcji y = log 0 , 5 x - 2 narysowany linią ciągłą. Miejsca zerowe tej funkcji znajdują się w punktach 1 ; 0 oraz 3 ; 0 . Osią symetrii tego wykresu jest pionowa prosta narysowana linią przerywaną o równaniu x równa się dwa.
Wykres funkcji y = log 0 , 5 x - 2 , x ≠ 2 , przesuwając wykres funkcji y = log 0 , 5 x wzdłuż osi X o 2 jednostki w prawo.
Wykres funkcji y = log 0 , 5 x - 2 + 1 , x ≠ 2 , przesuwając wykres funkcji y = log 0 , 5 x - 2 wzdłuż osi Y o 1 jednostkę w górę.
R1HvEVYzqODUh Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano trzy wykresy: wykres funkcji logarytmicznej y = log 0 , 5 x - 2 , a następnie wykres funkcji logarytmicznej y = log 0 , 5 x - 2 + 1 oraz wspólną oś symetrii tych wykresów. Wykres y = log 0 , 5 x - 2 narysowano linią przerywaną. Składa się on z dwóch części symetrycznych względem pionowej prostej opisanej wzorem x równa się dwa, którą narysowanu linią przerywaną. Część wykresu na prawo od osi symetrii wykres funkcji logarytmicznej leży w pierwszej i w czwartej ćwiartce układu. Wykres ma tu kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię wypłaszcza się do osi symetrii przyjmującej dodatnie wartości. W tej części funkcja bardzo szybko maleje. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w lewo w dół. Wykres logarytmu przechodzi przez punkt 3 ; 0 . Prawe ramię wykresu biegnie do plus nieskończoności. W tej części wykres wolno maleje. Symetryczna względem pionowej proste część wykresu znajduje się we wszystkich ćwiartkach. W tej części wykres ma również kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię biegnie od minus nieskończoności i tutaj funkcja wolno rośnie. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w prawo w dół. Wykres przechodzi przez punkt 1 ; 0 . Prawe ramię łuku wypłaszcza się do pionowej prostej w pierwszej ćwiartce. W tej części funkcja bardzo szybko rośnie. Wykres funkcji logarytmicznej został przesunięty do góry o jedną jednostkę i w ten sposób uzyskano wykres funkcji y = log 0 , 5 x - 2 + 1 narysowany linią ciągłą. Miejsca zerowe tej funkcji znajdują się w punktach 0 ; 0 oraz 4 ; 0 .
Wykres funkcji y = log 0 , 5 x - 2 + 1 możemy też otrzymać przesuwając wykres funkcji y = log 0 , 5 x o dwie jednostki w prawo wzdłuż osi X i jedną jednostkę w górę wzdłuż osi Y .
R1NYJMWyp6Jvg Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano cztery wykresy: wykres funkcji logarytmicznej y = log 0 , 5 x , następnie wykres funkcji logarytmicznej y = log 0 , 5 x - 2 + 1 oraz osie symetrii każdego z wykresów. Wykres y = log 0 , 5 x narysowano linią przerywaną. Składa się on z dwóch symetrycznych względem osi Y części. Prawa część wykresu to klasyczny wykres funkcji logarytmicznej o podstawie mniejszej od jeden, leżący w pierwszej i w czwartej ćwiartce układu. Wykres ma tu kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię wypłaszcza się do dodatniej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko maleje. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w lewo w dół. Wykres logarytmu przechodzi przez punkt 1 ; 0 . Prawe ramię wykresu biegnie do plus nieskończoności. W tej części wykres wolno maleje. Symetryczna względem osi Y część wykresu znajduje się w drugiej i trzeciej ćwiartce. W tej części wykres ma również kształt łuku o nieskończonych ramionach. Lewe ramię biegnie od minus nieskończoności i tutaj funkcja wolno rośnie. Wybrzuszenie łuku skierowane jest w prawo w dół. Wykres przechodzi przez punkt - 1 ; 0 . Prawe ramię łuku wypłaszcza się do dodatniej półosi OY. W tej części funkcja bardzo szybko rośnie. Linią przerywaną narysowano oś symetrii tego wykresu, czyli prostą x równa zero. Wykres funkcji logarytmicznej został przesunięty o wektor 2 ; 1 , czyli o dwie jednostki w prawo i o jedną w górę i w ten sposób uzyskano wykres funkcji y = log 0 , 5 x - 2 + 1 narysowany linią ciągłą. Miejsca zerowe tej funkcji znajdują się w punktach 0 ; 0 oraz 4 ; 0 . Osią symetrii tego wykresu jest pionowa prosta narysowana linią przerywaną o równaniu x równa się dwa.
Odczytajmy z wykresu własności funkcji y = log 0 , 5 x − 2 + 1 :
dziedzina funkcji: x ∈ - ∞ , 2 ∪ 2 , + ∞ ,
zbiór wartości funkcji: Z W f = ℝ ,
asymptota pionowa: x = 2 ,
miejsca zerowe: x = 0 , x = 4 ,
monotoniczność: funkcja jest rosnąca dla x ∈ - ∞ , 2 oraz malejąca dla x ∈ 2 , + ∞ .
Wykres funkcji typu y = log a x - k dla a > 0 i a ≠ 1 Wykorzystując definicję wartości bezwzględnej, możemy zapisać:
log a x - k = log a x - k , x ≥ 0 log a - x - k , x < 0
Aby narysować wykres funkcji y = log a x - k , szkicujemy kolejno:
wykres funkcji y = log a x , x > 0 ,
wykres funkcji y = log a x - k , x > k , przesuwając wykres funkcji y = log a x wzdłuż osi X o | k | jednostek,
wykres funkcji y = log a x - k , czyli sumę wykresów funkcji: y = log a x - k dla x > 0 oraz y = log a - x - k dla x < 0 .
Etapy tworzenia wykresu funkcji y = log a x - k podamy, opierając się na wykresie funkcji y = log a x , gdy a > 1 .
Gdy k > 0
, przesuwamy wykres funkcji y = log a x o k jednostek w prawo.
RlsywTga1upb7 Ilustracja przedstawia wykres funkcji z poziomą osią X od minus dwóch do ośmiu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano linią przerywaną wykres funkcji logarytmicznej o podstawie większej od jeden oraz asymptotę pionową funkcji określoną równaniem x równa się zero. Wykres logarytmu przesunięto o k jednostek w prawo, otrzymując wykres funkcji y = log a x - k . Miejsce zerowe funkcji przesunęło się również z punktu 1 ; 0 o k jednostek w prawo po osi X. Asymptota pionowa przesuniętego wykresu określona jest równaniem x równa się k.
Aby otrzymać wykres funkcji y = log a x - k , część po prawej stronie osi Y odbijamy na drugą stronę tej osi. Wykres funkcji y = log a x - k ) jest sumą wykresu funkcji y = log a x - k dla x ∈ 0 , ∞ oraz jego obrazu otrzymanego w symetrii względem osi Y .
R1aWuWpi4Hb6z Ilustracja przedstawia wykres funkcji z poziomą osią X od minus czterech do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji y = log a x - k . Wykres tej funkcji składa się z dwóch nieskończonych łuków. Lewy łuk znajduje się w drugiej i w trzeciej ćwiartce, jest wybrzuszony do góry w prawo, a asymptotą tej części funkcji jest pionowa prosta narysowana linią przerywaną zadana równaniem x równa się minus k. Prawa część wykresu jest drugim nieskończonym łukiem leżącym w pierwszej i w czwartej ćwiartce. Łuk jest symetryczny do łuku lewego względem osi Y, a asymptota narysowana linią przerywaną określona jest wzorem x równa się k.
Odczytajmy z wykresu własności funkcji y = log a x - k , gdy k > 0 i a > 1
:
dziedzina funkcji: x ∈ - ∞ , - k ∪ k , + ∞ ,
zbiór wartości funkcji: Z W f = ℝ ,
asymptoty pionowe: x = - k , x = k ,
dwa miejsca zerowe: x = - k - 1 , x = k + 1 ,
monotoniczność: funkcja jest malejąca dla x ∈ - ∞ , - k oraz rosnąca dla x ∈ k , + ∞ ,
funkcja jest parzysta (wykres jest symetryczny względem osi Y ).
Gdy k < 0 , przesuwamy wykres funkcji y = log a x o | k |
jednostek w lewo.
R1VnwvabRVyoo Ilustracja przedstawia wykres funkcji z poziomą osią X od minus czterech do sześciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji i dwie asymptoty. Wykres pomocniczy y = log a x dla a większego od jeden narysowano linią przerywaną. Asymptota funkcji jest również naniesiona linią przerywaną i pokrywa się ona z pionową osią Y. Wykres funkcji logarytmicznej przesunięto o k jednostek w lewo, przesuwając jednocześnie o taką samą odległość asymptotę. Linią ciągłą narysowano przesunięty wykres funkcji logarytmicznej określonej wzorem y = log a x - k . Asymptota tej funkcji to pionowa prosta określona wzorem x równa się k.
Aby otrzymać wykres funkcji y = log a x - k , część po prawej stronie osi Y odbijamy na drugą stronę tej osi. Wykres funkcji y = log a x − k jest sumą wykresu funkcji y = log a x - k dla x ∈ 0 , ∞ oraz jego obrazu otrzymanego w symetrii względem osi Y .
RHACcggLqgIUS Ilustracja przedstawia wykres funkcji z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji y = log a x - k . Wykres tej funkcji składa się z dwóch wypłaszczonych poziomo łuków, które są symetryczne względem pionowej osi Y oraz spotykają się w punkcie 0 ; 1 . Lewy łuk znajduje się w drugiej ćwiartce i w tej części funkcja jest malejąca. Łuk prawy znajduje się w pierwszej ćwiartce i w tej części funkcja jest rosnąca.
Odczytajmy z wykresu własności funkcji y = log a x - k , gdy k < 0 i a > 1
:
dziedzina funkcji: x ∈ ℝ ,
zbiór wartości funkcji: Z W f = log a k , + ∞ ,
asymptoty pionowe: brak,
miejsca zerowe: brak,
monotoniczność: funkcja jest malejąca dla x ∈ - ∞ , 0 oraz rosnąca dla x ∈ 0 , + ∞ ,
wykres jest symetryczny względem osi Y , stąd funkcja jest parzysta.
Powyższe rozważania dotyczyły wykresów funkcji y = log a x - k , gdy a > 1 .
W przykładzie pokażemy etapy tworzenia wykresu funkcji tej postaci, gdy 0 < a < 1 .
Przykład 2
Narysujmy wykres funkcji y = log 0 , 5 x + 1 + 2 .
Rozwiązanie
Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych, ponieważ x + 1 > 0 .
Aby narysować wykres funkcji y = log 0 , 5 x + 1 + 2 , szkicujemy kolejno:
Wykres funkcji y = log 0 , 5 x , x > 0 .
Wykres funkcji y = log 0 , 5 x + 1 , x > - 1 , przesuwając wykres funkcji y = log 0 , 5 x wzdłuż osi X o 1 jednostkę w lewo.
R1WKSQLBT7PX3 Ilustracja przedstawia wykres funkcji z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji - pomocniczy linią przerywaną i zasadniczy linią ciągłą oraz ich asymptoty linią przerywaną. Wykres pomocniczy przedstawia funkcję zadaną wzorem y = log 0 , 5 x . Wykres ten jest nieskończonym łukiem znajdującym się w pierwszej i czwartej ćwiartce o wybrzuszeniu w dół w lewo. Lewe ramię łuku zbliża się do do pionowej asymptoty pokrywającej się z osią Y, a prawe ramię łuku biegnie w czwartej ćwiartce do plus nieskończoności, funkcja ta jest malejąca, a jej miejsce zerowe znajduje się w punkcie 1 ; 0 . Wykres przesunięto w lewo jedną jednostkę, uzyskując w ten sposób wykres zasadniczej funkcji zadanej wzorem y = log 0 , 5 x + 1 . Wykres tej funkcji przechodzi przez drugą i czwartą ćwiartkę, miejsce zerowe funkcji znajduje się w początku układu współrzędnych, a asymptota jest pionową prostą o równaniu x równa się minus jeden.
Wykres funkcji y = log 0 , 5 x + 1 , czyli sumę wykresów funkcji: y = log 0 , 5 x + 1 dla x ≥ 0 i y = log 0 , 5 - x + 1 dla x < 0 . Aby otrzymać y = log 0 , 5 x + 1 , część po prawej stronie osi Y odbijamy na drugą stronę tej osi. Wykres funkcji y = log 0 , 5 x + 1 jest sumą wykresu funkcji y = log 0 , 5 x + 1 dla x ∈ 0 , ∞ oraz jego obrazu otrzymanego w symetrii względem osi Y .
Wykres funkcji y = log 0 , 5 x + 1 + 2 , przesuwając wykres funkcji y = log 0 , 5 x + 1 wzdłuż osi Y o 2 jednostki w górę.
Ret4NYO2x5hb6 Ilustracja przedstawia wykres funkcji z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano dwa wykresy funkcji - pomocniczy linią przerywaną i zasadniczy linią ciągłą. Wykres pomocniczy ilustruje funkcję y = log 0 , 5 x + 1 . Wykres składa się z dwóch wklęsłych łuków o wspólnym końcu ramion. Lewa część wykresu to łuk znajdujący się w trzeciej ćwiartce biegnący od minus nieskończoności do punktu 0 ; 0 . Łuk ten wybrzuszony jest w dół w prawo. W tej części funkcja jest rosnąca. Prawa część wykresu to łuk znajdujący się w czwartej ćwiartce. Początek łuku znajduje się w punkcie wspólnym punkcie 0 ; 0 . Łuk wybrzuszony jest w dół w lewo. W tej części funkcja jest malejąca. Wykres przesunięto o dwie jednostki do góry, otrzymując wykres postaci y = log 0 , 5 x + 1 + 2 . Wspólny punkt łuków przesunął się zatem do punktu 0 ; 2 , lewa część wykresu zmieniła położenie i przebiega przez trzecią i drugą ćwiartkę, a prawa część wykresu biegnie przez pierwszą i czwartą ćwiartkę. W związku z tym, że wykres przesunięto do góry, otrzymaliśmy dwa miejsca zerowe znajdujące się w punktach: - 3 ; 0 oraz 3 ; 0 .
Odczytajmy z wykresu własności funkcji y = log 0 , 5 x + 1 + 2 , gdy k > 0 :
dziedzina funkcji: x ∈ ℝ ,
zbiór wartości funkcji: Z W f = - ∞ , 2 ,
asymptoty pionowe: brak,
dwa miejsca zerowe: x = - 3 , x = 3 ,
monotoniczność: funkcja jest rosnąca dla x ∈ - ∞ , 0 oraz malejąca dla x ∈ 0 , + ∞ ,
wykres jest symetryczny względem osi Y - funkcja jest parzysta.
Słownik wartość bezwzględna liczby wartość bezwzględna liczby
a = a dla a ≥ 0 - a dla a < 0
odległość liczby a od zera na osi liczbowej; dla liczb dodatnich i zera ta odległość (czyli wartość bezwzględna) jest równa liczbie, dla liczb ujemnych przeciwna do tej liczby
dziedzina funkcji dziedzina funkcji
zbiór wszystkich wartości zmiennej niezależnej x , dla których funkcja f x jest określona
zbiór wartości funkcji zbiór wartości funkcji
zbiór wartości, które może przybierać zmienna zależna y danej funkcji f x