Przypomnijmy, że aby od liczby $b$ odjąć liczbę $a$ (czyli wykonać działanie $b-a$), wystarczy do $b$ dodać liczbę przeciwną do liczby $a$ (czyli wykonać działanie $b+\left(-a\right)$). Analogicznie definiujemy odejmowanie w zbiorze wektorów.

Aby od wektora $\overrightarrow{u}$ odjąć wektor $\overrightarrow{v}$ (czyli wykonać działanie $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\overrightarrow{w}$), wystarczy do wektora $\overrightarrow{u}$ dodać wektor przeciwny do wektora $\overrightarrow{v}$ (czyli wykonać działanie $\overrightarrow{u}+\left(-\overrightarrow{v}\right)=\overrightarrow{w}$). Dla porządku przypomnijmy tutaj, że wektor przeciwny do wektora $\overrightarrow{v}$ ma ten sam kierunek i długość, co wektor $\overrightarrow{v}$, ale przeciwny zwrot.

Różnica dwóch wektorów – reguła równoległoboku, reguła trójkąta. Skoro różnicę wektorów definiujemy poprzez sumę, to oczywistym wydaje się fakt, że do odejmowania wektorów można zastosować regułę równoległoboku i regułę trójkąta.

Aby wyznaczyć różnicę wektorówróżnica wektorówróżnicę wektorów $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$ działamy następująco: obieramy dowolny punkt $O$, który będzie stanowił początek wektora $\overrightarrow{u}$. Na jego końcu zaczepiamy (umieszczamy) wektor $-\overrightarrow{v}$ (przeciwny do $\overrightarrow{v}$). Teraz, rysując odcinek od punktu $O$ do końca wektora $-\overrightarrow{v}$, otrzymamy wektor $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$, który nazywamy różnicą wektorów $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$. Zauważmy, że po wyznaczeniu określonego uprzednio odcinka, otrzymujemy trójkąt.

ROSVGQ3t0zUlW

Ilustracja przedstawia dwa zestawy wektorów umieszczonych po lewej i prawej stronie. u oraz fau przedstawione jako strzałki o różnych długościach i kierunkach. Wektory umieszczone po lewej stronie są niepołączone mają jedynie pokazać że wektory mają różne kierunki oraz różne długości, a tym samym różne współrzędne. Po prawej stronie obrazka pokazany jest sposób dodawania wektorów - jest to sposób graficzny. Aby dodać wektory graficznie wybieramy pierwszy, którego początek ustalamy w punkcie O następnie drugi wektor osadzamy w wierzchołku wektora poprzedniego. W tym przypadku wektor u jest wektorem początkowym osadzonym w punkcie O następnie skierowany w prawą górną stronę wskazuje na początek wektora minus fau, który wskazuje w lewą górną stronę tym samym wierzchołek pokazany wektorem minus fau jest sumą wektorów u minus fau.

Do wyznaczenia powyższej różnicy zastosowaliśmy regułę trójkąta, którą omówiliśmy szczegółowo w rozdziale dotyczącym dodawania wektorów.

Aby wyznaczyć różnicę dwóch wektorów o różnych kierunkach, możemy też zastosować regułę równoległoboku, która orzeka, że wektor reprezentujący różnicę wektorów $\overrightarrow{u}$ i $\overrightarrow{v}$ można uzyskać jako przekątną równoległoboku rozpiętego przez $\overrightarrow{u}$ i $-\overrightarrow{v}$, czyli takiego, którego odpowiednie (widoczne na rysunku poniżej) boki możemy utożsamić z wektorami $\overrightarrow{u}$ i $-\overrightarrow{v}$. Regułę równoległoboku również omówiliśmy szczegółowo w rozdziale dotyczącym dodawania wektorów, tutaj spójrzmy tylko na ilustrację poniżej:

R6Eggl9EPxShE

Ilustracja przedstawia dwa zestawy wektorów umieszczone po lewej i prawej stronie. Po lewej stronie pokazane są jedynie wektory u oraz fau, gdzie zaprezentowane jest to, że mają one różne długości oraz kierunki. Po prawej stronie wektory u oraz minus fau są umieszczone w tym samym punkcie O, gdzie dodatkowo trzeci wektor pokazujący ich sumę - oznaczony jest innym kolorem - wierzchołek tego wektora jest początkiem dwóch prostych narysowanych linią przerywaną, które przecinają odpowiednio wierzchołki dwóch pozostałych wektorów, a tym samym tworząc równoległobok.

Suma przynajmniej trzech wektorów - reguła łańcucha

Jeśli chcemy dodać więcej niż dwa wektory korzystamy z tzw. reguły łańcucha, która polega na utworzeniu łańcucha wektorów w taki sposób, że koniec jednego z nich staje się początkiem następnego. Sumą wektorów użytych do utworzenia łańcucha nazywamy wektor o początku w początku pierwszego wektora i końcu w końcu ostatniego wektora. Poniżej przedstawiono zastosowanie reguły łańcucha dla otrzymania sumy trzech wektorów: $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$.

RDLr6TEiUdo3x

Ilustracja przedstawia trzy grupy wektorów na kratkowanym tle. Grupa pierwsza. Grupa ta przedstawia trzy wektory narysowane blisko siebie: $\overrightarrow{u}$ o przesunięciu dwie kratki w górę oraz dwie kratki w prawo, $\overrightarrow{v}$ o przesunięciu dwie kratki w dół oraz siedem kratek w prawo, $\overrightarrow{w}$ o przesunięciu dwie kratki w prawo oraz pięć kratek w górę. Grupa druga. Grupa te przedstawia poprzednio narysowane wektory w kolejności: $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$, lecz tym razem w punkcie końcowym wektora, zaczyna się kolejny wektor. Grupa trzecia. Grupa ta przedstawia to co poprzednia grupa, ale teraz narysowano wektor u dodać v dodać w, który ma początek w początku wektora u i koniec w końcu wektora w.

Regułę łańcucha można stosować dla dowolnie wielu wektorów.

Przykład 1

Wyznaczymy graficznie wektor $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w}$. Aby wykonać zadanie będą nam potrzebne wektory przeciwne do wektorów $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$. Po ich wyznaczeniu wystarczy zastosować regułę łańcucha i wykonać dodawanie $\overrightarrow{u}+\left(-\overrightarrow{v}\right)+\left(-\overrightarrow{w}\right)$.

R1UAyyMFPIjjH

Ilustracja przedstawia cztery zestawy wektorów trzy umieszczone są na górze mają one przedstawić jak wyglądają wektory, które będą używane. Następnie na dole przedstawiony jest sposób dodawania ich graficzne tak zwaną regułą łańcucha. Grupa dolna rozpoczyna się wektorem u, którego wierzchołek jest punktem zaczepu dla wektora minus fua i dalej wierzchołek wektora minus fau jest punktem zaczepu wektora minus wu, którego to koniec wskazuje sumę wektorów u minus fau oraz minus wu. Na obrazku kolorem czerwonym jest zaznaczona owa suma natomiast kolorem niebieskim są pokazane wszystkie inne wektory początkowe. Wektor ukazujący sumę wektorów rozpoczyna się w tym samym punkcie, w którym zaczyna się początkowy wektor w tym przypadku wektor u, a kończy się w punkcie wierzchołka ostatniego wektora dodanego regułą łańcucha, w tym przypadku wektora minus wu.

Zwróćmy jeszcze uwagę, że na wektorach możemy wykonywać operacje dodawania i odejmowania podobnie jak na liczbach czy wyrażeniach algebraicznych. Właśności tych działań przenoszą się na wektory.

Dla przykładu rozważmy:

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{w}$

do obu stron równania dodajemy wektor przeciwny do wektora $\overrightarrow{v}$

$\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)+\left(-\overrightarrow{v}\right)=\overrightarrow{w}+\left(-\overrightarrow{v}\right)$

korzystamy z łączności dodawania wektorów

$\overrightarrow{u}+\left(\overrightarrow{v}+\left(-\overrightarrow{v}\right)\right)=\overrightarrow{w}+\left(-\overrightarrow{v}\right)$

korzystamy z faktu, że suma wektora i wektora do niego przeciwnego jest wektorem zerowym

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{w}+\left(-\overrightarrow{v}\right)$

korzystamy z faktu, że wektor zerowy jest elementem neutralnym dodawaniaelement neutralny dodawaniaelementem neutralnym dodawania wektorów

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{w}+\left(-\overrightarrow{v}\right)$

korzystamy z definicji odejmowania wektorów

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{w}-\overrightarrow{v}$

Obrazowo możemy powiedzieć (podobnie jak w równościach zawierających wyrażenia algebraiczne), że przenieśliśmy wektor $\overrightarrow{v}$ na drugą stronę znaku równości ze zmienionym znakiem.

Słownik