Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Przypomnijmy, że aby od liczby b odjąć liczbę a (czyli wykonać działanie b-a), wystarczy do b dodać liczbę przeciwną do liczby a (czyli wykonać działanie b+(-a)). Analogicznie definiujemy odejmowanie w zbiorze wektorów.

Aby od wektora u odjąć wektor v (czyli wykonać działanie u-v=w), wystarczy do wektora u dodać wektor przeciwny do wektora v  (czyli wykonać działanie u+(-v)=w). Dla porządku przypomnijmy tutaj, że wektor przeciwny do wektora v ma ten sam kierunek i długość, co wektor v, ale przeciwny zwrot.

Różnica dwóch wektorów - reguła równoległoboku, reguła trójkąta. Skoro różnicę wektorów definiujemy poprzez sumę, to oczywistym wydaje się fakt, że do odejmowania wektorów można zastosować regułę równoległoboku i regułę trójkąta.

Aby wyznaczyć różnicę wektorówróżnica wektorówróżnicę wektorówuv działamy następująco: obieramy dowolny punkt O, który będzie stanowił początek wektora u. Na jego końcu zaczepiamy (umieszczamy) wektor -v (przeciwny do v). Teraz, rysując odcinek od punktu O do końca wektora -v, otrzymamy wektor u-v, który nazywamy różnicą wektorów uv. Zauważmy, że po wyznaczeniu określonego uprzednio odcinka, otrzymujemy trójkąt.

ROSVGQ3t0zUlW

Do wyznaczenia powyższej różnicy zastosowaliśmy regułę trójkąta, którą omówiliśmy szczegółowo w rozdziale dotyczącym dodawania wektorów.

Aby wyznaczyć różnicę dwóch wektorów o różnych kierunkach, możemy też zastosować regułę równoległoboku, która orzeka, że wektor reprezentujący różnicę wektorów uv można uzyskać jako przekątną równoległoboku rozpiętego przez u-v, czyli takiego, którego odpowiednie (widoczne na rysunku poniżej) boki możemy utożsamić z wektorami u-v. Regułę równoległoboku również omówiliśmy szczegółowo w rozdziale dotyczącym dodawania wektorów, tutaj spójrzmy tylko na ilustrację poniżej:

R6Eggl9EPxShE

Przykład 1

Wyznaczymy graficznie wektor u-v-w. Aby wykonać zadanie będą nam potrzebne wektory przeciwne do wektorów vw. Po ich wyznaczeniu wystarczy zastosować regułę łańcuchaSuma przynajmniej trzech wektorów - reguła łańcucharegułę łańcucha i wykonać dodawanie u+(-v)+(-w).

R1UAyyMFPIjjH

Zwróćmy jeszcze uwagę, że na wektorach możemy wykonywać operacje dodawania i odejmowania podobnie jak na liczbach czy wyrażeniach algebraicznych. Właśności tych działań przenoszą się na wektory.

Dla przykładu rozważmy:

u+v=w

do obu stron równania dodajemy wektor przeciwny do wektora v

(u+v)+(-v)=w+(-v)

korzystamy z łączności dodawania wektorów

u+(v+(-v))=w+(-v)

korzystamy z faktu, że suma wektora i wektora do niego przeciwnego jest wektorem zerowym

u+0=w+(-v)

korzystamy z faktu, że wektor zerowy jest elementem neutralnym dodawaniaelement neutralny dodawaniaelementem neutralnym dodawania wektorów

u=w+(-v)

korzystamy z definicji odejmowania wektorów

u=w-v

Obrazowo możemy powiedzieć (podobnie jak w równościach zawierających wyrażenia algebraiczne), że przenieśliśmy wektor v na drugą stronę znaku równości ze zmienionym znakiem.

Słownik

różnica wektorów
różnica wektorów

jeśli określimy wektory jako uporządkowane pary punktów w przestrzeni dwuwymiarowej, to różnicę wektorów u=[u1,u2]v=[v1,v2] określamy jako: u-v=[u1-v1,u2-v2], co możemy też przedstawić za pomocą sumy wektora u i wektora przeciwnego do v, co zapisujemy: u+(-v)=w

element neutralny dodawania
element neutralny dodawania

elementem neutralnym dowolnego zbioru A jest takie eA, że dla dowolnego elementu a ze zbioru A zachodzi: e+a=a oraz a+e=a, np.: w zbiorze liczb całkowitych jest to zero, a w zbiorze wektorów to wektor zerowy

Suma przynajmniej trzech wektorów - reguła łańcucha