Przypomnijmy, że aby od liczby odjąć liczbę (czyli wykonać działanie ), wystarczy do dodać liczbę przeciwną do liczby (czyli wykonać działanie ). Analogicznie definiujemy odejmowanie w zbiorze wektorów.
Aby od wektora odjąć wektor (czyli wykonać działanie ), wystarczy do wektora dodać wektor przeciwny do wektora (czyli wykonać działanie ). Dla porządku przypomnijmy tutaj, że wektor przeciwny do wektora ma ten sam kierunek i długość, co wektor , ale przeciwny zwrot.
Różnica dwóch wektorów – reguła równoległoboku, reguła trójkąta. Skoro różnicę wektorów definiujemy poprzez sumę, to oczywistym wydaje się fakt, że do odejmowania wektorów można zastosować regułę równoległoboku i regułę trójkąta.
Aby wyznaczyć różnicę wektorówróżnica wektorówróżnicę wektorów i działamy następująco: obieramy dowolny punkt , który będzie stanowił początek wektora . Na jego końcu zaczepiamy (umieszczamy) wektor (przeciwny do ). Teraz, rysując odcinek od punktu do końca wektora , otrzymamy wektor , który nazywamy różnicą wektorów i . Zauważmy, że po wyznaczeniu określonego uprzednio odcinka, otrzymujemy trójkąt.
ROSVGQ3t0zUlW
Do wyznaczenia powyższej różnicy zastosowaliśmy regułę trójkąta, którą omówiliśmy szczegółowo w rozdziale dotyczącym dodawania wektorów.
Aby wyznaczyć różnicę dwóch wektorów o różnych kierunkach, możemy też zastosować regułę równoległoboku, która orzeka, że wektor reprezentujący różnicę wektorów i można uzyskać jako przekątną równoległoboku rozpiętego przez i , czyli takiego, którego odpowiednie (widoczne na rysunku poniżej) boki możemy utożsamić z wektorami i . Regułę równoległoboku również omówiliśmy szczegółowo w rozdziale dotyczącym dodawania wektorów, tutaj spójrzmy tylko na ilustrację poniżej:
R6Eggl9EPxShE
Suma przynajmniej trzech wektorów - reguła łańcucha
Jeśli chcemy dodać więcej niż dwa wektory korzystamy z tzw. reguły łańcucha, która polega na utworzeniu łańcucha wektorów w taki sposób, że koniec jednego z nich staje się początkiem następnego. Sumą wektorów użytych do utworzenia łańcucha nazywamy wektor o początku w początku pierwszego wektora i końcu w końcu ostatniego wektora. Poniżej przedstawiono zastosowanie reguły łańcucha dla otrzymania sumy trzech wektorów: , , .
RDLr6TEiUdo3x
Regułę łańcucha można stosować dla dowolnie wielu wektorów.
Przykład 1
Wyznaczymy graficznie wektor . Aby wykonać zadanie będą nam potrzebne wektory przeciwne do wektorów i . Po ich wyznaczeniu wystarczy zastosować regułę łańcucha i wykonać dodawanie .
R1UAyyMFPIjjH
Zwróćmy jeszcze uwagę, że na wektorach możemy wykonywać operacje dodawania i odejmowania podobnie jak na liczbach czy wyrażeniach algebraicznych. Właśności tych działań przenoszą się na wektory.
Dla przykładu rozważmy:
do obu stron równania dodajemy wektor przeciwny do wektora
korzystamy z łączności dodawania wektorów
korzystamy z faktu, że suma wektora i wektora do niego przeciwnego jest wektorem zerowym
korzystamy z faktu, że wektor zerowy jest elementem neutralnym dodawaniaelement neutralny dodawaniaelementem neutralnym dodawania wektorów
korzystamy z definicji odejmowania wektorów
Obrazowo możemy powiedzieć (podobnie jak w równościach zawierających wyrażenia algebraiczne), że przenieśliśmy wektor na drugą stronę znaku równości ze zmienionym znakiem.
Słownik
różnica wektorów
różnica wektorów
jeśli określimy wektory jako uporządkowane pary punktów w przestrzeni dwuwymiarowej, to różnicę wektorów i określamy jako: , co możemy też przedstawić za pomocą sumy wektora i wektora przeciwnego do , co zapisujemy:
element neutralny dodawania
element neutralny dodawania
elementem neutralnym dowolnego zbioru jest takie , że dla dowolnego elementu ze zbioru zachodzi: oraz , np.: w zbiorze liczb całkowitych jest to zero, a w zbiorze wektorów to wektor zerowy