Warto przeczytać

RIfeaw9lZ1XgF

Rys. 1. Ilustracja przedstawia zdjęcie, na którym widoczny jest zawodnik drużyny piłki nożnej kopiący piłkę. Na zdjęciu, po lewej stronie widoczny jest ubrany w zielony strój piłkarski zawodnik na tle zielonej murawy boiska. Zdjęcie wykonano podczas wykopu piłki o czym świadczy pozycja zawodnika, w której lewa noga podpiera całą sylwetkę a prawa uniesiona jest lekko w górę. Po prawej stronie ilustracji w górnym rogu widoczna jest biała piłka, na powierzchni której nadrukowana czarne gwiazdy. Piłka znajduje się nad murawą boiska. Wykop piłki może być analizowany, jako przykład rzutu ukośnego, w którym ciało w trakcie ruchu zmienia zarówno swoje położenie w kierunku pionowym i poziomym.

Rzut ukośny to ruch, w którym ciało ma pewną prędkośćprędkość prędkość początkową ${\overrightarrow{v}}_0$ i które porusza się z przyspieszeniemprzyspieszenieprzyspieszeniem pochodzącym od siły ciążenia w pobliżu powierzchni np. Ziemi.

RZslfs7lclgR7

Rys. 2. Ilustracja przedstawia wykres, na którym przedstawiono warunki początkowe dla ciała w opisie rzutu ukośnego. Na ilustracji widoczny jest prostokątny układ współrzędnych narysowany czarnymi strzałkami. Oś pionowa układu skierowana jest w górę podpisana małą literą y. Symbolizuje ona wysokość, na jakiej znajduje się ciało w trakcie rzutu ukośnego. Oś pozioma układu skierowana jest w prawo i podpisano ją małą literą . Oś pozioma opisuje zmianę położenia w kierunku poziomym w rzucie ukośnym. Początek układu współrzędnych oznaczono cyfrą zero. W początku układu współrzędnych widoczny jest czarny punkt do którego przyłożono wektor prędkości początkowej mała litera v z indeksem dolnym zero i strzałką oznaczającą wektor. Wektor narysowano w postaci czerwonej strzałki skierowanej w prawo i w górę. Pomiędzy wektorem czerwoną strzałką symbolizującą wektor prędkości początkowej a poziomą osią mała litera x zaznaczono czarnym łukiem kąt mała grecka litera alfa. Jest to kąt względem kierunku poziomego, pod jakim ciało zostało wyrzucone podczas rzutu ukośnego.

Na Rys. 2. przedstawiona jest właśnie taka sytuacja. Ciało ma prędkość początkową skierowaną pod kątem ostrym do powierzchni Ziemi. Przyspieszenie grawitacyjne jest skierowane pionowo w dół. Ruch ciała będziemy rozpatrywać w dwóch kierunkach – oś x umieszczamy równolegle do powierzchni Ziemi, oś y pionowo, a cały układ ustawiamy w taki sposób, by wektor prędkości początkowej znajdował się w płaszczyźnie x‑y. Środek układu współrzędnych umieszczamy tam, gdzie znajdowało się ciało w chwili $t=0$ .

Mając układ współrzędnych możemy zapisać współrzędne wektorów przyspieszenia, prędkości początkowej i położenia początkowego:

$\overrightarrow{a}=\left[0,-g\right]$, gdzie $g$ jest wartością przyspieszenia grawitacyjnego. ${\overrightarrow{v}}_0=\left[v_{0x},v_{0y}\right]$${\overrightarrow{r}}_0=\left[0,0\right]$

Zatem równania zależności poszczególnych współrzędnych wektora położenia od czasu będą wyglądać następująco:

Rzut poziomy jest więc złożeniem ruchu jednostajnegoruch jednostajnyruchu jednostajnego z prędkością $v_{0x}$ oraz ruchu ze stałym przyspieszeniem i prędkością początkową $v_{0y}$.

Ten drugi ruch nie jest ani ruchem jednostajnie przyspieszonymruch jednostajnie przyspieszonyruchem jednostajnie przyspieszonym, ani jednostajnie opóźnionym – ciało najpierw porusza się w kierunku zgodnym ze zwrotem osi pionowej, a jego prędkość maleje jednostajnie, w pewnej chwili zatrzymuje się, a następnie zaczyna spadać z powrotem na Ziemię, a jego prędkość wtedy wzrasta. Możemy więc powiedzieć, że do chwili osiągnięcia przez ciało maksymalnej wysokości ruch wzdłuż osi pionowej jest jednostajnie opóźniony, a po tej chwili - jednostajnie przyspieszony. Widać to na Rys. 3.:

Rfn7MnClmoslH

Rys. 3. Ilustracja przedstawia wykres, na którym zaprezentowano zależność prędkości pionowej ciała w trakcie rzutu ukośnego. W centralnej części ilustracji widoczny jest prostokątny układ współrzędnych, narysowany czarnymi strzałkami. Oś pionowa układu skierowana jest w górę i opisana, jako prędkość w kierunku pionowym, mała litera v z indeksem dolnym mała litera y. Pozioma oś układu przedstawia czas, opisany małą literą t. W układzie widoczna jest funkcja narysowana czarną linią. Początkowa wartość prędkości pionowej ciała jest większa od zera. Punkt stanowiący początek funkcji znajduje się na pionowej osi układu współrzędnych. Początkowo funkcja jest liniowo malejąca do wartości zero, którą osiąga dla czasu, mała litera t, większego od zera. Koniec odcinka symbolizującego funkcję malejącą znajduje się na osi mała litera t, po prawej stronie od punktu przecięcia się osi układu współrzędnych. Od tego punktu funkcja jest liniowo rosnąca, do wartości równej wartości prędkości początkowej ciała. Kąty nachylenia odcinków symbolizujących malejącą i rosnącą część funkcji, względem osi czasu jest są takie same.

Zastanówmy się teraz, jaki jest kształt toru w takim ruchu. Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy wyznaczyć zależność $y\left(x\right)$.

W tym celu z zależności $x\left(t\right)$ wyznaczmy $t$:

i otrzymane wyrażenie wstawmy do zależności $y\left(t\right)$ eliminując z niej czas, a wprowadzając współrzędną $x$:

Otrzymana zależność jest zależnością kwadratową, a więc tor rzutu ukośnego jest fragmentem paraboli.

R10VBtbeHw76I

Rys. 4. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym zaprezentowano paraboliczny tor ciała poruszającego się w pobliżu Ziemi. W centralnej części ilustracji widoczny jest prostokątny układ współrzędnych, narysowany czarnymi strzałkami. Oś pionowa układu skierowana jest w górę i opisana małą literą y. Mała litera y symbolizuje wysokość na jakiej znajduje się ciało. Oś pozioma układu skierowana jest w prawo i opisana małą literą x. Mała litera x symbolizuje przemieszczenia ciała w kierunku poziomym. Początek układu współrzędnych, czyli punkt przecięcia się osi układu opisany został cyfrą zero. W początku układu współrzędnych znajduje się ciało narysowane w postaci czarnego punktu. Do ciała przyłożony został wektor prędkości początkowej, mała litera v z indeksem dolnym zero i strzałką symbolizującą wektor. Wektor prędkości początkowej narysowano w postaci czerwonej strzałki, która jest skierowana w prawo i w górę. Na podstawie kierunku i zwrotu wektora prędkości początkowej można wywnioskować, że ciało zostało rzucone ukośnie. W układzie współrzędnych widoczna jest paraboliczna funkcja narysowana czarną linią, która opisuje tor ciała. Funkcja ma swój początek w punkcie opisanym cyfrą zero. Początkowo funkcja rośnie parabolicznie w kierunku dodatniej części osi poziomej. Po osiągnięciu wartości maksymalnej funkcja maleje do zera, a punkt końcowy widoczny jest ponownie na osi opisanej małą literą x.

Zasięg rzutu poziomego to odległość, którą ciało przebywa w kierunku x do chwili osiągnięcia wartości y, z której rozpoczął się ruch. Aby tę odległość wyznaczyć, ustalimy najpierw czas trwania ruchu. Ciało zakończy swój ruch na ziemi, gdy jego współrzędna $y$ będzie równa zero. Musimy zatem rozwiązać równanie

Równanie to ma dwa rozwiązania: $t_0=0$ – czyli chwila, w której ciało rozpoczyna swój ruch oraz $t_k=2v_{0y}/g$ i to jest właśnie szukany przez nas czas trwania ruchu.

Aby wyznaczyć zasięg rzutu musimy teraz wyznaczyć współrzędną $x$ w tym właśnie czasie:

Słowniczek