Warto przeczytać

Używanie kombinerek, kluczy płaskich i kluczy francuskich ma ten sam sens, co użycie dźwigni – używając tych przyrządów wydłużamy długość ramienia, na które działamy siłą. Dlaczego jest to skuteczne działanie? Przecież użycie narzędzia nie sprawia, że mamy więcej siły – a jednak „zaparzona” śruba daje się odkręcić przy użyciu długiego klucza. Zrozumienie tego faktu wymaga wprowadzenia pojęcia momentu siłyMoment obrotowymomentu siły. Jednakże, by zrozumieć definicję momentu siłyMoment obrotowymomentu siły, najpierw należy zapoznać się z definicją iloczynu wektorowego.

Wiele wielkości fizycznych jest zdefiniowanych jako wektory: siła, prędkość, przyspieszenie, natężenie pola elektrycznego, pęd itd. Znaczy to, że mają one nie tylko określoną wartość, ale też kierunek, zwrot i punkt przyłożenia. Zaobserwowaliśmy już, że przyłożenie do bryły tej samej siły, ale w różnych punktach, spowoduje różny efekt.

Wektory można do siebie dodawać – na przykład dwie siły działające w tym samym kierunku sumują się. Wektory można również mnożyć, wykonując mnożenie wektorowe. Jak nazwa wskazuje, wynikiem mnożenia wektorowego będzie wektor. Aby odróżnić zwykłe mnożenie liczb od mnożenia wektorów, mnożenie wektorowe będziemy oznaczać symbolem „×”. Przyjrzyjmy się graficznej interpretacji tej wielkości na Rys. 1.:

R197lgd4u81GO

Rys. 1. Na rysunku pokazano trzy wzajemnie prostopadłe wektory o wspólnym początku. Dwa wektory leżą w płaszczyźnie poziomej. Wektor oznaczony małą literą a skierowany jest poziomo w prawo. Wektor oznaczony małą literą b skierowany jest poziomo za płaszczyznę rysunku. Kąt między wektorami a i b oznaczono grecką literą alfa. Wektor oznaczony małą literą c skierowany jest pionowo do góry. Zapisano równanie: małe c równa się małe a pomnożone wektorowo przez małe b. Symbolem mnożenia wektorowego jest mała litera x.

Jak widać, wynikiem iloczynu wektorowego wektorów $\overrightarrow{a}$ i $\overrightarrow{b}$ jest nowy wektor $\overrightarrow{c}$. Zwróć uwagę, że jest on prostopadły zarówno do wektora $\overrightarrow{a}$, jak i do wektora $\overrightarrow{b}$, czyli prostopadły do płaszczyzny, na której leżą wektory $\overrightarrow{a}$ i $\overrightarrow{b}$. Zwrot wektora $\overrightarrow{c}$ zaznaczony jest na rysunku – w tym wypadku w górę. Zwrot ten określa (umowna) reguła śruby prawoskrętnej – pokrywamy wektor $\overrightarrow{a}$ z wektorem $\overrightarrow{b}$. Zwrot wektora $\overrightarrow{c}$ pokrywa się z ruchem postępowym tak wkręcanej śruby. Jego długość możemy obliczyć, korzystając z następującej zależności:

Jak widać, wartość iloczynu wektorowego dwóch wektorów wynosi zero, gdy są one równoległe (bo sin 0° = 0) i osiąga wartość maksymalną, gdy wektory te są do siebie wzajemnie prostopadłe (bo sin 90° = 1).

Jaki ma to związek z kluczem francuskim i przykręcaniem śrub?

Rzecz w tym, że tak jak przyczyną ruchu postępowego jest działanie siły, tak przyczyną ruchu obrotowego jest działanie momentu siły. Moment siłyMoment obrotowyMoment siły to wielkość wektorowa zdefiniowana następująco:

gdzie$\overrightarrow{r}$ to wektor łączący oś obrotu ciała z punktem przyłożenia siły, $\overrightarrow{F}$– przyłożona siła.

Widzimy zatem, że istotne jest nie tylko, jak dużą siłę przyłożymy do ciała, ale również w jakim kierunku i jak daleko od osi obrotu. Przyjrzyjmy się tym trzem parametrom.

Przykład 1 - stała siła, większe ramię

Rys. 2. prezentuje klucz, za pomocą którego odkręcana jest śruba. W trakcie takiej czynności możemy złapać klucz w dowolnym miejscu, bliżej śruby lub bliżej końca klucza. Jaki będzie to miało wpływ na skuteczność naszych działań? Przyłożenie siły o tej samej wartości F, ale w różnych punktach (A lub B) spowoduje powstanie różnych momentów sił. Przyjmijmy, że działamy siłą F = 50 N, a odległości od osi obrotu do punktów A i B wynoszą odpowiednio $r_{\mathrm{\text{OA}}}=5\text{cm}$ i $r_{\mathrm{\text{OB}}}=10\text{cm}$. Jaką wartość mają te momenty sił?

Jak widać, przy dwa razy dłuższym ramieniu siły, wartość momentu siły również jest dwukrotnie większa.

R1CznakQ55ShU

Rys. 2. Rysunek przedstawia śrubę ustawioną prostopadle do płaszczyzny rysunku, tak że pokazano tylko główkę o kształcie sześciokąta foremnego. W środku sześciokąta zaznaczono punkt oznaczony wielką literą wielkie. Śruba jest odkręcana kluczem, który ma kształt metalowej listwy o końcówce dopasowanej do kształtu główki śruby. Klucz leży poziomo w płaszczyźnie rysunku. W dwóch punktach klucza przyłożone są pionowe wektory sił. W punkcie oznaczonym wielką literą A, który leży w połowie odległości od punktu wielkie O do końca klucza, przyłożono wektor siły oznaczony wielką literą F z indeksem dolnym wielkie A. W punkcie oznaczonym wielką literą B, który leży przy końcu klucza, przyłożono wektor siły oznaczony wielką literą F z indeksem dolnym wielkie B. Wzdłuż klucza narysowano dwa wektory o początku w punkcie wielkie O, które są ramionami obu sił. Wektor kończący się w punkcie wielkie A oznaczono literą małe r z indeksem dolnym wielkie O wielkie A i strzałką nad nią. Wektor kończący się w punkcie wielkie B oznaczono małą literą r z indeksem dolnym wielkie O wielkie B i strzałką nad nią.

Przykład 2 – stałe ramię, większa siła

Z przykładu 1. widzimy, że lepiej złapać klucz bliżej jego końca – wtedy przykładając tę samą siłę do klucza działamy na śrubę większym momentem siły. Porównajmy teraz dwie siły o różnej wartości przyłożone w tym samym punkcie. Jaki wytworzymy moment siły? Przyjmijmy, że na końcu klucza, w odległości r = 10 cm od osi obrotu, przyłożymy siły o różnej wartości, np. $F_A=5\text{N}$ i $F_B=10\text{N}$. Wtedy:

Jak widać, dwukrotne zwiększenie wartości siły spowodowało dwukrotny wzrost wartości momentu siły.

RYdr8uvUeOyuz

Rys. 3. Rysunek przedstawia śrubę ustawioną prostopadle do płaszczyzny rysunku, tak że pokazano tylko główkę o kształcie sześciokąta foremnego. W środku sześciokąta zaznaczono punkt oznaczony wielką literą O. Śruba jest odkręcana kluczem o kształcie metalowej listwy z końcówką dopasowaną do kształtu główki śruby. Klucz leży poziomo w płaszczyźnie rysunku. W końcowym punkcie klucza przyłożono dwa pionowe wektory sił. Jeden z wektorów oznaczono wielką literą F z indeksem dolnym wielkie A. Drugi wektor oznaczono wielka literą F z indeksem dolnym wielkie b. Wzdłuż klucza narysowano wektor o początku w punkcie wielkie O i kończący się w punkcie przyłożenia obu wektorów sił i oznaczono go małą literą r.

Przykład 3 – różny kąt pomiędzy siłami

Należy zwrócić uwagę, że siła nie zawsze jest przyłożona pod kątem prostym do wektora $\overrightarrow{r}$. Możemy przyjrzeć się takiej sytuacji na Rys. 4.:

RlpDOTSd0fbRw

Rys. 4. Rysunek przedstawia śrubę ustawioną prostopadle do płaszczyzny rysunku, tak że pokazano tylko główkę o kształcie sześciokąta foremnego. W środku sześciokąta zaznaczono punkt oznaczony wielką literą O. Śruba jest odkręcana kluczem o kształcie metalowej listwy z końcówką dopasowaną do kształtu główki śruby. Klucz leży poziomo w płaszczyźnie rysunku. W końcowym punkcie klucza przyłożone są dwa wektory sił. Jeden z wektorów skierowany pionowo w górę oznaczono wielką literą F z indeksem dolnym wielkie A. Drugi wektor skierowany ukośnie w górę i w prawo oznaczono wielką literą F z indeksem dolnym wielkie B. Wzdłuż klucza narysowano wektor ramienia obu wektorów o początku w punkcie wielkie O i kończący się w punkcie przyłożenia obu wektorów sił i oznaczono go małą literą r. Kąt między wektorem wielkie F z indeksem dolnym wielkie B oraz ramieniem wektora oznaczono grecką literą alfa.

W poprzednich obliczeniach wartość funkcji sinus wynosiła 1, ponieważ kąt pomiędzy wektorami $\overrightarrow{r}$ i $\overrightarrow{F}$ wynosił 90 stopni. Przyjmijmy teraz, że w odległości r = 10 cm od osi obrotu śruby działa siła ${\overrightarrow{F}}_B$ o wartości 10 N, ale kąt pomiędzy tą siłą i wektorem $\overrightarrow{r}$ wynosi $\alpha$ = 30°. Wtedy:

Im mniejszy stawałby się kąt $\alpha$, tym mniejsza byłaby wartość momentu siły – aż zmalałaby do zera dla kąta 0 stopni.

Słowniczek