Przeczytaj

Warto przeczytać

O czym mówi nam prędkośćPrędkość (ang. velocity)prędkość?

Prędkość to wielkość fizyczna, która opisuje zmianę położenia ciała w czasie. Jest wielkością wektorową – jej kierunek jest styczny do toru, po którym porusza się ciało, jej zwrot pokazuje, w którą stronę odbywa się ruch, a jej wartość mówi nam o tym, jak szybko zmienia się położenie ciała.

Prędkość obliczamy, dzieląc wektor zmiany położenia przez czas, w którym ta zmiana nastąpiła,

\vec{v} = \frac{\vec{Δ r}}{Δ t}

Prędkość może się zmieniać, więc aby określić ją jak najdokładniej, chcemy, aby czas, w którym obserwujemy zmianę położenia, był jak najkrótszy. Mówimy wtedy o prędkości chwilowej – czyli takiej, którą ciało ma w danej chwili. To właśnie jej wartość w dobrym przybliżeniu pokazuje prędkościomierz w samochodzie i o jej wartości mówią znaki ograniczające prędkość na drodze. Jeśli na danej trasie obowiązuje ograniczenie prędkości do 60 km/h, oznacza to, że chwilowa prędkość samochodu nie powinna mieć większej wartości niż 60 km/h.

Aby wyznaczyć prędkość chwilową, korzystamy z powyższego wzoru, ale dodajemy do niego warunek, aby czas $Δ t$ był bardzo bliski zeru.

Oprócz tego możemy także mówić o prędkości średniejprędkości średniej. Obliczamy ją, dzieląc wektor przemieszczenia przez czas, w którym to przemieszczenie nastąpiło, nie dając żadnych ograniczeń na wartość przedziału czasu:

\vec{v_{śr}} = \frac{\vec{Δ r}}{Δ t}

Jeszcze inną wielkością jest szybkośćSzybkość (ang. speed)szybkość, która jest wielkością skalarną, i którą obliczamy jako iloraz drogi, którą przebyło ciało, przez czas, w którym to nastąpiło,

v_{s} = \frac{s}{Δ t}

Jak zmieniają się te wszystkie wielkości podczas ruchu jednostajnego?

Ruch jednostajny to ruch, w którym wartość prędkości chwilowej jest stała. Oznacza to, że podczas ruchu wektor prędkości może się zmieniać w czasie, ale tylko w taki sposób, by jego wartość była cały czas taka sama.

Rozpatrzmy następujący przykład:

Alicja wybrała się na spacer po parku. Park ma kształt kwadratu o boku o długości 1 km, a ulubiona ścieżka Alicji biegnie wzdłuż płotu otaczającego park (Rys. 1.). Wejście do parku znajduje się w jednym z narożników. Alicja przeszła całą ścieżkę idąc ruchem jednostajnym z prędkością o wartości równej 4 km/h.

RFgpcD6FNG6Iw

Rys. 1. Rysunek przedstawia drogę, którą Alicja szła po parku. Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych XY z osią OX w kierunku poziomym i osią OY w kierunku pionowym. W pierwszej ćwiartce tego układu namalowano ścieżkę w postaci szarej wstęgi zakreślającej w parku kwadrat o bokach równoległych do osi układu współrzędnych. W rogu znajdującym się w pobliżu początku układu współrzędnych umieszczono bramkę parku w postaci czarnego prostokąta zamalowanego na szaro. Wzdłuż ścieżki namalowano czarną linię oznaczającą drogę, którą przeszła Alicja. Alicja przeszła drogę od bramki parku idąc w kierunku odwrotnym do kierunku ruchu wskazówek zegara, co na rysunku zaznaczono czarnymi strzałkami, aż z powrotem dotarła do bramki parku. — Rys. 1. Park i trasa spaceru Alicji

Zobaczmy, jak w trakcie tego ruchu zmieniał się jej wektor prędkości, jaka była prędkość średnia oraz szybkośćSzybkość (ang. speed)szybkość.

Aby móc opisywać współrzędne wektora prędkości, wprowadzamy układ współrzędnych, którego osie będą równoległe do ścieżek parku – tak, jak na rysunku.

Pierwszy odcinek spaceru przebiega drogąDroga (ang. distance)drogą równoległą do osi $x$ . Alicja idzie zgodnie ze zwrotem osi. Zatem jej prędkość wynosi

\vec{v} = [4 \frac{k m}{h}; 0]

Długość tego odcinka ścieżki wynosi 1 km, więc przejście go zajmie Alicji 15 min. (Rys. 2.).

Na wykresach przedstawione są poszczególne składowe wektora prędkości w funkcji czasu.

R1VGIy9Lw5cVy1

Rys. 2. Rysunek zawiera trzy wykresy znajdujące się poziomo obok siebie przedstawiające ruch Alicji. Lewy wykres zawiera układ współrzędnych XY z osią OX w kierunku poziomym i osią OY w kierunku pionowym. W pierwszej ćwiartce tego układu namalowano ścieżkę w postaci szarej wstęgi zakreślającej w parku kwadrat o bokach równoległych do osi układu współrzędnych. W rogu znajdującym się w pobliżu początku układu współrzędnych umieszczono bramkę parku w postaci czarnej kropki. Wzdłuż ścieżki namalowano czarną linię oznaczającą drogę, którą przeszła Alicja. Alicja przeszła drogę od bramki parku idąc w kierunku odwrotnym do kierunku ruchu wskazówek zegara, co na rysunku zaznaczono zieloną strzałką, aż z powrotem dotarła do bramki parku. Na tym rysunku rozpatrujemy pierwszy etap jej podróży w kierunku poziomym po ścieżce stanowiącej dolny bok kwadratu. Kolor czarnej linii na tym etapie ruchu Alicji został zmieniony na zielony. Wykres środkowy przedstawia zależność prędkości ruchu Alicji w kierunku x od czasu. Umieszczono na nim układ współrzędnych z osią pionową wyskalowaną w kilometrach na godzinę oznaczoną dużą czarną literą V z indeksem dolnym w postaci litery x i z osią poziomą wyskalowaną w minutach oznaczoną małą czarną literą t. W tym układzie narysowano poziomy odcinek koloru zielonego od punktu o współrzędnych (zero, cztery) do punktu o współrzędnych (piętnaście, cztery) stanowiący funkcję zależności prędkości Alicji w kierunku x od czasu. Wykres prawy przedstawia zależność prędkości ruchu Alicji w kierunku y od czasu. Umieszczono na nim układ współrzędnych z osią pionową wyskalowaną w kilometrach na godzinę oznaczoną dużą czarną literą V z indeksem dolnym w postaci litery y i z osią poziomą wyskalowaną w minutach oznaczoną małą czarną literą t. W tym układzie narysowano poziomy odcinek koloru zielonego od punktu o współrzędnych (zero, zero) do punktu o współrzędnych (piętnaście, zero) stanowiący funkcję zależności prędkości Alicji w kierunku y od czasu. — Rys. 2. Wykresy zależności współrzędnych prędkości od czasu dla zaznaczonego odcinka trasy Alicji

Kolejny fragment ścieżki jest równoległy do osi $y$ . Alicja idzie zgodnie ze zwrotem osi, a więc wektor prędkości wynosi

\vec{v} = [0; 4 \frac{km}{h}] .

Ten etap również będzie trwał 15 minut.

R1Sif9GRCOFwH1

Rys. 3. Rysunek zawiera trzy wykresy znajdujące się poziomo obok siebie przedstawiające ruch Alicji. Lewy wykres zawiera układ współrzędnych XY z osią OX w kierunku poziomym i osią OY w kierunku pionowym. W pierwszej ćwiartce tego układu namalowano ścieżkę w postaci szarej wstęgi zakreślającej w parku kwadrat o bokach równoległych do osi układu współrzędnych. W rogu znajdującym się w pobliżu początku układu współrzędnych umieszczono bramkę parku w postaci czarnej kropki. Wzdłuż ścieżki namalowano czarną linię oznaczającą drogę, którą przeszła Alicja. Alicja przeszła drogę od bramki parku idąc w kierunku odwrotnym do kierunku ruchu wskazówek zegara, co na rysunku zaznaczono niebieskimi i zielonymi strzałkami, aż z powrotem dotarła do bramki parku. Na tym rysunku rozpatrujemy pierwszy i drugi etap jej podróży w kierunku poziomym po ścieżce stanowiącej dolny bok kwadratu a następnie w kierunku pionowym po ścieżce stanowiącej prawy bok kwadratu. Kolor czarnej linii na tym etapie ruchu Alicji został zmieniony w pierwszej części na niebieski a w drugiej na zielony. Wykres środkowy przedstawia zależność prędkości ruchu Alicji w kierunku x od czasu. Umieszczono na nim układ współrzędnych z osią pionową wyskalowaną w kilometrach na godzinę oznaczoną dużą czarną literą V z indeksem dolnym w postaci litery x i z osią poziomą wyskalowaną w minutach oznaczoną małą czarną literą t. W tym układzie narysowano poziome odcinki koloru niebieskiego od punktu o współrzędnych (zero, cztery) do punktu o współrzędnych (piętnaście, cztery) oraz koloru zielonego od punktu o współrzędnych (piętnaście, zero) do punktu o współrzędnych (trzydzieści, zero) stanowiące funkcję zależności prędkości Alicji w kierunku x od czasu. Wykres prawy przedstawia zależność prędkości ruchu Alicji w kierunku y od czasu. Umieszczono na nim układ współrzędnych z osią pionową wyskalowaną w kilometrach na godzinę oznaczoną dużą czarną literą V z indeksem dolnym w postaci litery y i z osią poziomą wyskalowaną w minutach oznaczoną małą czarną literą t. W tym układzie narysowano poziome odcinki koloru niebieskiego od punktu o współrzędnych (zero, zero) do punktu o współrzędnych (piętnaście, zero) oraz koloru zielonego od punktu o współrzędnych (piętnaście, cztery) do punktu o współrzędnych (trzydzieści, cztery) stanowiące funkcję zależności prędkości Alicji w kierunku y od czasu. — Rys. 3. Wykresy zależności współrzędnych prędkości od czasu dla dwóch odcinków trasy Alicji

Następne dwa fragmenty ścieżki są równoległe odpowiednio do osi $x$ i $y$ , ale Alicja idzie po nich w stronę przeciwną niż zwrot osi. Wektory prędkości na poszczególnych odcinkach będą więc miały współrzędne, odpowiednio, $[- 4 \frac{km}{h}; 0]$ oraz $[0; - 4 \frac{km}{h}] .$

R1Q3O6CBm72DU1

Rys. 4. Rysunek zawiera trzy wykresy znajdujące się poziomo obok siebie przedstawiające ruch Alicji. Lewy wykres zawiera układ współrzędnych XY z osią OX w kierunku poziomym i osią OY w kierunku pionowym. W pierwszej ćwiartce tego układu namalowano ścieżkę w postaci szarej wstęgi zakreślającej w parku kwadrat o bokach równoległych do osi układu współrzędnych. W rogu znajdującym się w pobliżu początku układu współrzędnych umieszczono bramkę parku w postaci czarnej kropki. Wzdłuż ścieżki namalowano czarną linię oznaczającą drogę, którą przeszła Alicja. Alicja przeszła drogę od bramki parku idąc w kierunku odwrotnym do kierunku ruchu wskazówek zegara co na rysunku zaznaczono niebieskimi, zielonymi i czerwonymi strzałkami aż z powrotem dotarła do bramki parku. Na tym rysunku rozpatrujemy cały ruch Alicji dookoła parku. Na pierwszym i drugim etapie podróży wzdłuż dolnego i prawego boku kwadratu kolor linii symbolizującej drogę zmieniono na niebieski, w trzeciej wzdłuż górnego boku kwadratu na zielony, a w czwartej wzdłuż lewego boku kwadratu na czerwony. Wykres środkowy przedstawia zależność prędkości ruchu Alicji w kierunku x od czasu. Umieszczono na nim układ współrzędnych z osią pionową wyskalowaną w kilometrach na godzinę oznaczoną dużą czarną literą V z indeksem dolnym w postaci litery x i z osią poziomą wyskalowaną w minutach oznaczoną małą czarną literą t. W tym układzie narysowano poziome odcinki koloru niebieskiego od punktu o współrzędnych (zero, cztery) do punktu o współrzędnych (piętnaście, cztery), koloru niebieskiego od punktu o współrzędnych (piętnaście, zero) do punktu współrzędnych (trzydzieści, zero), koloru zielonego od punktu o współrzędnych (trzydzieści, minus cztery) do punktu współrzędnych (czterdzieści pięć, minus cztery), koloru czerwonego od punktu o współrzędnych (czterdzieści pięć, zero) do punktu współrzędnych (sześćdziesiąt, zero) stanowiące funkcję zależności prędkości Alicji w kierunku x od czasu. Wykres prawy przedstawia zależność prędkości ruchu Alicji w kierunku y od czasu. Umieszczono na nim układ współrzędnych z osią pionową wyskalowaną w kilometrach na godzinę oznaczoną dużą czarną literą V z indeksem dolnym w postaci litery y i z osią poziomą wyskalowaną w minutach oznaczoną małą czarną literą t. W tym układzie narysowano poziome odcinki koloru niebieskiego od punktu o współrzędnych (zero, zero) do punktu o współrzędnych (piętnaście, zero), koloru niebieskiego od punktu o współrzędnych (piętnaście, cztery) do punktu o współrzędnych (trzydzieści, cztery), koloru zielonego od punktu o współrzędnych (trzydzieści, zero) do punktu o współrzędnych (czterdzieści pięć, zero), koloru czerwonego od punktu o współrzędnych (czterdzieści pięć, minus cztery) do punktu o współrzędnych (sześćdziesiąt, minus cztery) stanowiące funkcję zależności prędkości Alicji w kierunku y od czasu. — Rys. 4. Wykresy zależności współrzędnych prędkości od czasu dla czterech odcinków trasy Alicji

Zastanówmy się teraz, jaka była średnia prędkość Alicji podczas tego spaceru. Średnią prędkość obliczamy, dzieląc przemieszczenie przez czas, w którym ono nastąpiło. Spacer trwał godzinę, a Alicja zaczęła go i skończyła w tym samym miejscu – przy bramie parku. Zatem przemieszczenie i zarazem średnia prędkość wynoszą zero.

A co z szybkościąSzybkość (ang. speed)szybkością? W tym przypadku interesuje nas drogaDroga (ang. distance)droga, jaką Alicja przeszła przez tę godzinę. Każdy z odcinków ścieżki miał długość 1 km, a więc całkowita droga to 4 km. Szybkość Alicji wynosiła więc 4 km/h. Dokładnie tyle samo, ile wartość jej prędkości chwilowej.

Słowniczek

Droga (ang. distance)

długość odcinka toru, po jakim porusza się ciało.

Położenie (ang. position)

określa umiejscowienie ciała w układzie odniesienia.

Prędkość (ang. velocity)

wielkość wektorowa określająca, jak szybko zmienia się położenie w czasie.

Prędkość średnia (ang. average velocity)

wielkość wektorowa; obliczamy ją, dzieląc całkowitą zmianę położenia przez czas, w jakim ta zmiana nastąpiła.

Szybkość (ang. speed)

wielkość skalarna; obliczamy ją, dzieląc całkowitą drogę, jaką przebyło ciało, przez czas, w jakim to nastąpiło.

Ruch jednostajny (ang. uniform motion)

ruch, w którym wartość prędkości jest stała.

Układ odniesienia (ang. frame of reference)

ciało, względem którego opisujemy ruch lub spoczynek innego ciała.

Wprowadzenie

Film samouczek

Warto przeczytać

Słowniczek