Przeczytaj

W materiale omówimy znaczenie współczynnika $b$ we wzorze funkcji liniowej $f (x) = a x + b$ funkcja liniowafunkcji liniowej $f (x) = a x + b$ .

Wyznaczmy wzór na współczynnik $b$ , jeżeli do wykresu funkcji liniowej należą punkty o współrzędnych $A = (x_{1}, y_{1})$ i $B = (x_{2}, y_{2})$ .

Zauważmy, że $y_{1} = f (x_{1})$ oraz $y_{2} = f (x_{2})$ .

Zapisujemy i rozwiązujemy układ równań:

\{\begin{cases} y_{1} = a \cdot x_{1} + b \\ y_{2} = a \cdot x_{2} + b \end{cases}

Z układu równań otrzymujemy, że

b = y_{1} - \frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}} \cdot x_{1}

Przykład 1

Obliczymy wartość współczynnika $b$ we wzorze funkcji liniowej, jeżeli do wykresu tej funkcji należą punkty o współrzędnych $(1, \frac{1}{5})$ oraz $(- 2, - 1)$ .

Rozwiązanie:

Wykorzystamy wzór na współczynnik $b$ , zatem:

$b = \frac{1}{5} - \frac{\frac{1}{5} + 1}{1 + 2} \cdot 1 = \frac{1}{5} - \frac{2}{5} = - \frac{1}{5}$ .

Wartość współczynnika $b$ decyduje o:

1. współrzędnych punktu przecięcia wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = a x + b$ z osią $Y$ układu współrzędnych.

Do wyznaczenia współrzędnych przecięcia wykresu funkcji liniowej z osią rzędnych układu współrzędnych należy do wzoru funkcji podstawić w miejsce $x$ liczbę $0$ .

Zatem $f (0) = a \cdot 0 + b = b$ .

Wobec tego punkt przecięcia wykresu funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = a x + b$ z osią $Y$ układu współrzędnych ma współrzędne $(0, b)$ .

RUZ9xPw87o8Ou

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z osią poziomą X i pionową Y. Zaznaczono prostą malejącą f przecinającą oś Y w wartości dodatniej.

2. przesunięciu wykresu funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = a x$ w górę lub w dół wzdłuż osi $Y$ układu współrzędnych.

Jeżeli funkcja liniowa jest określona wzorem $f (x) = a x + b$ , to:

dla $b > 0$ wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = a x$ należy przesunąć o $b$ jednostek w górę wzdłuż osi $Y$ ,
dla $b < 0$ wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = a x$ należy przesunąć o $b$ jednostek w dół wzdłuż osi $Y$ .

Na rysunkach przedstawiono wykresy różnych funkcji liniowych po przesunięciu o $b$ jednostek w górę lub w dół wzdłuż osi $Y$ układu współrzędnych.

R1O26lzU2H2OF1

Ilustracja przedstawia cztery układy współrzędnych z osiami X i Y. W pierwszym zaznaczono prosta malejącą znajdującą się w pierwszej drugiej oraz czwartej ćwiartce. W drugim zaznaczono prostą rosnącą w pierwszej drugiej i trzeciej ćwiartce. W trzecim układzie przechodzi prosta rosnąca przez pierwszą trzecią i czwartą ćwiartkę. W czwartym układzie prosta malejąca przechodzi przez drugą trzecią i czwartą ćwiartkę.

3. wartości miejsca zerowego funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = a x + b$ .

Miejsce zerowemiejsce zerowe funkcjiMiejsce zerowe funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = a x + b$ :

jeżeli $a = 0$ i $b = 0$ , to funkcja liniowa ma nieskończenie wiele miejsc zerowych,
jeżeli $a = 0$ i $b \neq 0$ , to funkcja liniowa nie ma miejsc zerowych,
jeżeli $a \neq 0$ , to miejsce zerowe funkcji liniowej obliczamy ze wzoru: $x_{0} = - \frac{b}{a}$ .

Ważne!

Jeżeli $b = 0$ , to do wykresu każdej funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = a x + b$ należy punkt o współrzędnych $(0, 0)$ .

Przykład 2

Dane są funkcje liniowe określone wzorami: $f_{1} (x) = - 3 x + 3$ , $f_{2} (x) = 2 x - 3$ , $f_{3} (x) = - x - 3$ , $f_{4} (x) = - \frac{1}{2} x - 3$ , $f_{5} (x) = \sqrt{2} x + 3$ , $f_{6} (x) = - \sqrt{5} x + 3$ .

Podamy wzory funkcji, których wykresy przecinają oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $(0, - 3)$ .

Rozwiązanie:

Wzory funkcji, których wykresy przecinają oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $(0, - 3)$ : $f_{2}$ , $f_{3}$ , $f_{4}$ .

Przykład 3

Do wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = - \frac{1}{3} x + b$ należy punkt o współrzędnych $(9, - 2)$ .

Wyznaczymy współrzędne punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią rzędnych układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Jeżeli punkt o współrzędnych $(9, - 2)$ należy do wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = - \frac{1}{3} x + b$ , to do wyznaczenia wartości $b$ rozwiązujemy równanie:

$- 2 = - \frac{1}{3} \cdot 9 + b$ .

Wobec tego $b = 1$ .

Zatem punkt przecięcia wykresu tej funkcji z osią $Y$ ma współrzędne $(0, 1)$ .

Przykład 4

Wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = - \frac{1}{3} x$ przesunięto o $3$ jednostki w górę wzdłuż osi rzędnych układu współrzędnych. Wyznaczymy pole trójkąta ograniczonego wykresem tej funkcji oraz osiami układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Wzór funkcji $f$ po przesunięciu o $3$ jednostki w górę wzdłuż osi rzędnych układu współrzędnych zapisujemy w postaci $g (x) = - \frac{1}{3} x + 3$ .

Wykres tej funkcji przedstawia się następująco:

RhcHGYQ0gnlY6

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus jeden do dziesięciu oraz osią pionową od minus trzech do pięciu. Zaznaczono prostą malejącą mającą wyraz wolny równy trzy oraz miejsce zerowe równe dziewięć.

Otrzymaną figurą jest trójkąt prostokątny. Pole tego trójkąta obliczymy ze wzoru $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ .

Z rysunku odczytujemy, że $a = 9$ i $h = 3$ , zatem:

$P = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3 = \frac{27}{2}$ .

Przykład 5

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = a x + b$ . Wyznaczymy współrzędne punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią $Y$ .

RUySStzMJGXM2

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od minus pięciu do pięciu oraz osią pionową od minus 4 do czterech. Zaznaczono prostą malejącą przechodzącą przez dwa punkty. -5;3 oraz 4;-3

Rozwiązanie:

Z rysunku odczytujemy, że do wykresu funkcji należą punkty o współrzędnych $(- 5, 3)$ oraz $(4, - 3)$ .

Niech $f (x) = a x + b$ .

Do wyznaczenia wartości $a$ i $b$ rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} 3 = a \cdot (- 5) + b \\ - 3 = a \cdot 4 + b \end{cases}$ .

Zatem $a = - \frac{2}{3}$ oraz $b = - \frac{1}{3}$ .

Wobec tego punkt przecięcia wykresu tej funkcji z osią $Y$ ma współrzędne $(0, - \frac{1}{3})$ .

Przykład 6

Wykres funkcji liniowej przecina oś $Y$ w punkcie o rzędnej równej $3$ , a do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $(- 2, 1)$ . Wyznaczymy wzór tej funkcji.

Rozwiązanie:

Niech $f (x) = a x + b$ .

Ponieważ wykres tej funkcji przecina oś $Y$ w punkcie o rzędnej równej $3$ , to $b = 3$ .

Zatem funkcja wyraża się wzorem $f (x) = a x + 3$ .

Jeżeli do wykresu tej funkcji należy punkt o współrzędnych $(- 2, 1)$ , to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$1 = a \cdot (- 2) + 3$ , zatem $a = 1$ .

Funkcja jest określona wzorem $f (x) = x + 3$ .

Przykład 7

Obliczymy, dla jakiej wartości parametru $m$ wykres funkcji liniowej określonej wzorem $f (x) = - \frac{2}{3} x + (3 m - 1)$ przecina oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $(0, - 2)$ .

Rozwiązanie:

Ponieważ wykres tej funkcji przecina oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $(0, - 2)$ oraz $b = 3 m - 1$ , zatem do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy równanie:

$3 m - 1 = - 2$ , wobec tego $m = - \frac{1}{3}$ .

Przykład 8

Obliczymy, dla jakiej wartości parametru $m$ funkcja liniowa określona wzorem $f (x) = \frac{3}{8} m - \frac{1}{2}$ nie ma miejsc zerowych.

Rozwiązanie:

Ze wzoru funkcji możemy odczytać, że $a = 0$ oraz $b = \frac{3}{8} m - \frac{1}{2}$ .

Funkcja liniowa nie ma miejsc zerowych, gdy $b \neq 0$ .

Zatem $\frac{3}{8} m - \frac{1}{2} \neq 0$ , czyli $m \neq \frac{4}{3}$ .

Słownik

funkcja liniowa

funkcja określona wzorem $f (x) = a x + b$ , gdzie $a, b \in ℝ$

miejsce zerowe funkcji

argument, dla którego wartość funkcji wynosi $0$ , pierwsza współrzędna punktu przecięcia wykresu funkcji z osią $X$

Wprowadzenie

Aplet

Słownik