Przeczytaj
Warto przeczytać
W jaki sposób opisujemy położenie ciała? Potrzebny jest nam do tego układ odniesieniaukład odniesienia – obiekt, względem którego będziemy określać położenie oraz układ współrzędnych, którego początkiem będzie jakiś punkt tego obiektu.
Wyobraźmy sobie, że Stefan wychodzi z domu i idzie do szkoły po prostej drodze. Aby opisać jego położeniepołożenie, za układ odniesienia możemy przyjąć dom, a początek jednowymiarowego układu współrzędnych OX możemy związać ze środkiem tego domu (Rys. 1.). Kierunek osi tego układu wybieramy tak, by oś OX pokryła się z drogą z domu do szkoły (założyliśmy, że droga ta jest prosta).
PołożeniePołożenie ciał w układzie współrzędnych określone jest przez wektor położenia, którego początek znajduje się w początku układu współrzędnych, a koniec w danym punkcie. W przypadku jednowymiarowym oś układu współrzędnych pokrywa się z kierunkiem prostoliniowego ruchu. Wtedy do opisania położenia wystarczy jedna składowa wektora położenia. Tak jest w naszym przypadku.
Jeżeli ciało porusza się ruchem jednostajnym wzdłuż osi OX, to zależność współrzędnej wektora położenia od czasu jest funkcją liniową:
gdzie to położenie początkowe, a to współrzędna prędkościprędkości. Współrzędna ta może mieć wartość dodatnią (gdy ciało porusza się zgodnie ze zwrotem osi) albo ujemną (gdy ciało porusza się przeciwnie do zwrotu osi).
Rozpatrzmy teraz następującą sytuację: Stefan skończył lekcje i wyszedł ze szkoły, która jest w odległości 2 km od jego domu. Zanim ruszył do domu, udał się najpierw do sklepu, który znajduje się 1 km od szkoły, ale po przeciwnej stronie niż dom (Rys. 2.). Sklep jednak okazał się zamknięty, więc Stefan wrócił prosto do domu. Każdy odcinek swojej trasy pokonał ze stałą prędkością równą = 4 km/h.
Zastanówmy się, jak będzie wyglądać wykres zależności współrzędnej wektora położenia Stefana od czasu . Składa się on z dwóch fragmentów; każdy z nich opisuje jeden etap ruchu Stefana. Pierwszy przedstawia przejście Stefana ze szkoły do sklepu, a drugi powrót do domu.
I etap ruchu Stefana
Etap ten rozpoczyna się, gdy Stefan znajduje się 2 km od początku układu współrzędnych. Zatem jego położenie początkowe wynosi: = 2 km. Stefan idzie w kierunku zgodnym z osią, a więc współrzędna prędkości wynosi = 4 km/h. Stefan ma do przejścia 1 km, a więc zajmie mu to 0,25 h.
Zależność położenia od czasu dla tego etapu będzie zatem wyrażona poprzez
dla czasu mieszczącego się w przedziale od 0 do 0,25 h.
Pod koniec tego etapu położenie Stefana będzie wynosić 3 km (Rys. 3.) Mówiąc bardziej precyzyjnie – współrzędna tego wektora ma wartość + 3 km.
II Etap ruchu Stefana
Gdy Stefan wyrusza w drogę powrotną, jego położenie początkowe w tym etapie to = 3 km, bo Stefan rozpoczyna ruch w sklepie oddalonym o 3 km od domu, który jest punktem odniesienia. Prędkość Stefana w drodze powrotnej ma nadal wartość 4 km/h, ale ponieważ tym razem Stefan porusza się w kierunku przeciwnym niż oś OX, to współrzędna prędkości wynosi . Droga powrotna zajmie Stefanowi 0,75 h.
Zależność współrzędnej wektora położenia od czasu w drugim etapie wygląda zatem następująco:
gdzie przez oznaczamy chwilę, w której Stefan zaczyna drogę powrotną. Czas możemy wtedy nazwać czasem odmierzającym ruch „z powrotem” – od sklepu do domu. Położenie jest położeniem w chwili , czyli .
Położenie końcowe w tym etapie wynosi 0 km – Stefan kończy swoją trasę w domu, a tu właśnie znajduje się początek układu współrzędnych.
Zależność położenia od czasu dla dwóch etapów ruchu przedstawiona jest na wykresie na Rys. 3.:
Zastanówmy się teraz, jak będzie zależeć od czasu droga, jaką przebył Stefan.
Droga to długość toru, po którym porusza się ciało.
W przypadku ruchu jednostajnego zależność drogi od czasu jest nie tylko zależnością liniową, ale także proporcjonalną i wyraża się wzorem
Nie ma w tym przypadku znaczenia, czy ciało porusza się zgodnie czy przeciwnie do zwrotu osi – istotna jest tylko wartość prędkości. Czy Stefan poruszał się przez cały czas z tą samą prędkością? Gdybyśmy dokładnie przeanalizowali jego ruch, okazałoby się, że nie – gdy dotarł do sklepu musiał się zatrzymać, czyli zmienić wartość prędkości do zera, a potem ruszyć z powrotem do domu, co też wiąże się ze zmianą prędkości – od zera do prędkości równej 4 km/h. Tak naprawdę ruch Stefana nie jest więc przez cały czas ruchem jednostajnym. Ponieważ jednak czas, kiedy prędkość Stefana zmienia się, jest bardzo krótki, pominiemy ten problem i założymy, że Stefan cały czas porusza się ruchem jednostajnym z prędkością o wartości 4 km/h.
Zatem wykres przedstawiający zależność od czasu drogi, którą przebył Stefan będzie składać się tylko z jednego odcinka (Rys. 4.).
Słowniczek
długość odcinka toru, po którym porusza się ciało.
określa umiejscowienie ciała w układzie odniesienia.
wielkość wektorowa określająca tempo zmian położenia względem czasu.
wielkość wektorowa; obliczamy ją, dzieląc całkowitą zmianę położenia przez czas, w którym ta zmiana nastąpiła.
wielkość skalarna; obliczamy ją, dzieląc przebytą przez ciało drogę przez czas ruchu.
ruch, w którym wartość prędkości jest stała.
ciało, względem którego opisujemy ruch lub spoczynek innego ciała.