Warto przeczytać

Podczas przemian gazowych parametry gazu doskonałego takie, jak: ciśnienie $p$, objętość $V$ i temperatura $T$, mogą się zmieniać, jednak nie są od siebie niezależne - są ze sobą związane tzw. równaniem stanu.

Załóżmy, że gaz doskonały znajduje się w stanie określonym przez parametry $p_0$, $T_0$ i $V_0$. Po dwóch kolejnych przemianach: izobarycznej i izotermicznej, parametry gazu wynoszą $p$, $T$ i $V$ (Rys. 1.).

R1dcrCElaUiMu

Na rysunku przedstawiony jest wykres zależności ciśnienia pe od objętości v gazu doskonałego, który poddany jest dwóm przemianom izobarycznej i izotermicznej. Na osi pionowej - ciśnienia - zaznaczone są dwa punkty: p z indeksem zero ma i p. p z indeksem zero ma większą wartość. Na osi poziomej- objętości, zaznaczone są trzy punkty: wymieniamy po kolei według rosnącej wartości: v z indeksem zero, v z indeksem jeden i v. Wykres składa się z dwóch części: pierwsza to odcinek równoległy do osi poziomej. Zaczyna się w punkcie o współrzędnych p zero, v zero kończy w punkcie o współrzędnych p zero , v jeden. Druga część to hiperbola zaczynająca się w puncie o współrzędnych p zero, v jeden i kończąca w punkcie o współrzędnych p, v. Pierwsza część zaznaczona jest kolorem czerwonym, druga niebieskim.

Korzystając z praw rządzących przemianą izobaryczną i izotermiczną, znajdziemy związek między parametrami początkowymi i końcowymi w tych dwóch przemianach.

W przemianie izobarycznej (dla $p=p_0=const$ na Rys. 1.) objętość jest wprost proporcjonalna do temperatury w skali Kelvina, czyli iloraz objętości i temperatury jest stały:

natomiast w przemianie izotermicznej (dla $T=const$ na Rys. 1.) ciśnienie jest odwrotnie proporcjonalne do objętości, czyli iloczyn ciśnienia i objętości jest stały:

Z równania (1) wyznaczmy $V_1$:

i podstawmy do równania (2), otrzymując:

Otrzymaliśmy ważny rezultat – dla ustalonej ilości gazu, w każdym jej stanie termodynamicznym, iloczyn ciśnienia $p$ i objętości $V$ podzielony przez temperaturę w skali bezwzględnej $T$ jest stały:

przy czym stała występująca po prawej stronie tego równania ma wymiar:

Równanie (5), wiążące ciśnienie, objętość i temperaturę gazu doskonałego, nazywamy równaniem stanu gazu.

Obliczmy, jaką wartość ma wyrażenie $\frac{pV}{T}$ dla 1 mola1 molmola gazu w warunkach normalnychWarunki normalnewarunkach normalnych, czyli w temperaturze $t=0^{\circ }\text{C}$ i przy ciśnieniuPaskal (Pa)ciśnieniu $p=101325\text{ Pa}$. Objętość 1 mola gazu w warunkach normalnych wynosi $V=22,4{\text{ dm}}^3$.

Zauważ, że we wzorze (5) mamy temperaturę w skali KelvinaKelwin (K)skali Kelvina, musimy więc zamienić jednostki temperatury: $T$ = 273,15 K. Wstawiamy te wartości do równania stanu gazu doskonałego i otrzymujemy:

Zgodnie z powyższymi obliczeniami, równanie stanu (5) dla 1 mola gazu możemy zapisać w postaci

gdzie

jest uniwersalną stałą gazową.

A jak będzie wyglądało równanie stanu dla $n$ moli gazu? Jeśli zmieni się tylko liczba moli1 molmoli gazu przy tej samej temperaturze i ciśnieniu, to objętość gazu wzrośnie $n$ razy. Skoro lewa strona równania jest teraz $n$ razy większa, to i prawa strona też musi wzrosnąć $n$ razy.

Równanie Clapeyrona wyprowadziliśmy, korzystając z praw opisujących gaz doskonały, które zostały ustalone eksperymentalnie w XVII w. W takiej kolejności prawa gazowe pojawiły się w historii fizyki.

Można też postąpić odwrotnie i z równania Clapeyrona wywnioskować prawa rządzące przemianami, w których jeden z parametrów jest stały. Takie podejście jest bardzo wygodne, bo wystarczy znać jeden wzór zamiast czterech.

Równanie stanu gazu jest bardzo użyteczne, gdy trzeba np. obliczyć, w jaki sposób zmieniły się parametry gazu w wyniku dowolnej przemiany, w której żaden z parametrów nie był stały. W takiej przemianie może się nawet zmieniać ilość gazu, jak wtedy, gdy gazu dopompujemy do zbiornika lub część gazu z niego ucieknie.

Słowniczek