Ostrosłupem prostym nazywamy taki ostrosłup, którego wszystkie krawędzie boczne są tej samej długości.

Następujące warunki są równoważne.

• Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są tej samej długości.

• Spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa.

• Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny jego podstawy pod tym samym kątem.

Udowodnimy powyższe twierdzenie.

Rozwiązanie

Załóżmy, że wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są tej samej długości. Pokażemy, że spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa. Posłużymy się przykładowym rysunkiem. Jest na nim ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Oczywiście podstawą ostrosłupa może być dowolny wielokąt, na którym można opisać okrąg. Rysunek ma nam tylko pomóc zrozumieć, o jakich trójkątach mówimy.

R1DzF4XNJOMsb

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup o podstawie sześciokąta. Długość krawędzi podstawy oznaczono literą a. Z wierzchołka opuszczono wysokość ostrosłupa, której spodek połączono z wierzchołkiem podstawy. Zaznaczono kąt między zaznaczonym odcinkiem a krawędzią boczną zawierającą ten sam wierzchołek.

Rozważmy wszystkie trójkąty prostokątne, w których jedną z przyprostokątnych jest wysokość ostrosłupa a przeciwprostokątną krawędź boczna ostrosłupa. Skoro wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są tej samej długościa a wysokość jest ich wspólnym bokiem, to trójkąty te są przystające. Oznacza to, że odległość spodka wysokości od każdego z wierzchołków podstawy jest taka sama. Zatem spodek wysokości jest środkiem okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa.

Załóżmy teraz, że spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa. Oznacza to, że wszystkie trójkąty, w których jedną z przyprostokątnych jest promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa, a drugą wysokość ostrosłupa są przystające (na mocy twierdzenia Pitagorasa i cechy bbb). Zatem kąt nachylenia każdej krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy jest taki sam.

Załóżmy w końcu, że wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny jego podstawy pod tym samym kątem. Pokażemy, że wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są tej samej długości. Znów, badamy trójkąty prostokątne, w których jedna z przyprostokątnych to wysokość ostrosłupa a przeciwprostokątna to krawędź boczna. Skoro wszystkie krawędzie boczne są nachylone do podstawy pod tym samym kątem, to trójkąty są przystające (cecha kbk). Zatem z podobieństwa trójkątów otrzymujemy, że wszystkie przeciwprostokątne są równej długości. Tym samym wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są tej samej długości.

Dany jest ostrosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $6$ oraz $8$. Wysokość tego ostrosłupa jest równa $15$. Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Zwróćmy uwagę na fakt, że omawiany ostrosłup jest prosty. Oznacza to, że spodek wysokości $S$ tego ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie. Ponieważ jednak podstawą jest trójkąt prostokątny, to punkt $S$ znajduje się dokładnie w połowie przeciwprostokątnej. Wykonujemy odpowiedni szkic do zadania:

RGrrNznBxFbRY

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup o podstawie $ABC$ i wierzchołku W. W podstawie znajduje się trójkąt o kącie prostym przy wierzchołku B. Z wierzchołka W opuszczono wysokość ostrosłupa, której spodek leży w punkcie S na krawędzi $AC$.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla $∆ABC$ otrzymujemy długość przeciwprostokątnej trójkąta podstawy $ABC$:

${\left|AC\right|}^2={\left|AB\right|}^2+{\left|BC\right|}^2$

${\left|AC\right|}^2=6^2+8^2$

$\left|AC\right|=10$

Korzystamy ponownie z faktu, że ostrosłup jest prosty. Oznacza to, że wszystkie jego krawędzie boczne są równej długości. Pozostaje obliczenie długości krawędzi $AW$ ostrosłupa. W tym celu ponownie możemy wykorzystać twierdzenie Pitagorasa w $\mathrm{\Delta }ASW$ pamiętając, że promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest tu połową przeciwprostokątnej podstawy:

${\left|AW\right|}^2={\left|AS\right|}^2+{\left|SW\right|}^2$

${\left|AW\right|}^2=5^2+{15}^2$

${\left|AW\right|}^2=25+225$

$\left|AW\right|=\sqrt{250}$

$\left|AW\right|=5\sqrt{10}$.

Ostatecznie suma długości wszystkich krawędzi danego ostrosłupa jest równa

$\left|AW\right|+\left|BW\right|+\left|CW\right|+\left|AB\right|+\left|AC\right|+\left|BC\right|=3·5\sqrt{10}+6+8+10=$$=15\sqrt{10}+24$

Zauważmy, że w rozwiązaniu tego zadania wykorzystaliśmy trójkąt prostokątny zawierający wysokość ostrosłupa, promień okręgu opisanego na jego podstawie i krawędź boczną ostrosłupa. Warto zapamiętać ten krok, gdyż bardzo często jest on wykorzystywany w przypadku ostrosłupów prostych.

Podstawą ostrosłupa $ABCDW$ jest trapez $ABCD$. Przekątna $BD$ tego trapezu jest prostopadła do jego ramienia $AD$ i tworzy z dłuższą podstawą kąt $30°$. Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są równej długości. Wiedząc, że $\left|BD\right|=6$ oraz $\left|WD\right|=5\sqrt{3}$ oblicz odległość $S$ - spodka wysokości tego ostrosłupa od jego krawędzi bocznej $WD$.

Rozwiązanie

Zauważmy, że ostrosłup jest prosty, bo wszystkie jego krawędzie boczne są równej długości. Na trapezie z podstawy można zatem opisać okrąg. Zgodnie z twierdzeniem o okręgu opisanym na czworokącietwierdzenie o okręgu opisanym na czworokącietwierdzeniem o okręgu opisanym na czworokącie, musi to być trapez równoramienny. Rzeczywiście, zauważmy, że dla czworokąta na którym można opisać okrąg mamy:

R1F4NvnXJ7hVy

Na ilustracji przedstawiono równoramienny trapez $ABCD$, na którym opisano okrąg.

$\left|\sphericalangle BAD\right|+\left|\sphericalangle BCD\right|=180°$. Jednocześnie dla każdego trapezu wiadomo, że $\left|\sphericalangle BAD\right|+\left|\sphericalangle ADC\right|=180°$. Ostatecznie $\left|\sphericalangle ADC\right|=\left|\sphericalangle BCD\right|$.

Przeanalizujmy zatem naszą podstawę.

R1QfTsRDxik2A

Na ilustracji przedstawiono równoramienny trapez $ABCD$, na którym opisano okrąg o środku w punkcie S. Punkt S leży na dolnej podstawie $AB$ trapezu. Zaznaczono przekątną $BD$ trapezu. $\angle ADB$ oznaczono alfa i wynosi 90 stopni.

Wiemy, że przekątna $BD$ jest prostopadła do ramienia $AD$. Kąt $ADB$ jest prosty, zatem podstawa $AB$ trapezu jest średnicą okręgu opisanego na tym trapezie, a środek $S$ tego okręgu jest środkiem odcinka $AB$. Skoro przekątna trapezu ma długość $6$, to z uwagi na podany kąt $\left|\sphericalangle ABD\right|=30°$ mamy $\left|AB\right|=4\sqrt{3}$. Ostatecznie promień okręgu opisanego na podstawie ma długość $2\sqrt{3}$. Podsumowując: ostrosłup $ABCDW$ jest ostrosłupem prostym, którego spodek wysokości znajduje się w połowie krawędzi podstawy $AB$.

Naszkicujmy zatem dany ostrosłup:

R1RaNl2ZPfxIE

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup o podstawie trapezu równoramiennego $ABCD$ i wierzchołku W. Odcinki $SB$ i $SD$ oznaczono literą r. Na płaszczyźnie podstawy zaznaczono punkt E, taki że $\angle SEW$ wynosi 90 stopni.

Z trójkąta $WSD$ możemy obliczyć wysokość ostrosłupa:

${\left|WS\right|}^2={\left|WD\right|}^2-{\left|SD\right|}^2$

${\left|WS\right|}^2={\left(5\sqrt{3}\right)}^2-{\left(2\sqrt{3}\right)}^2$

${\left|WS\right|}^2=75-12$

$\left|WS\right|=\sqrt{63}$

$\left|WS\right|=3\sqrt{7}$

Trójkąty $WSE$ oraz $WSD$ są podobnetrójkąty prostokątne podobnepodobne (oba są prostokątne i mają jeden wspólny kąt ostry), stąd:

$\frac{\left|SE\right|}{\left|SW\right|}=\frac{\left|SD\right|}{\left|WD\right|}$

$\frac{x}{3\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{3}}{5\sqrt{3}}$

$x=\frac{6\sqrt{7}}{5}$,

gdzie $x$ oznacza szukaną odległość spodka wysokości ostrosłupa od jego krawędzi bocznej $WD$.

Oblicz wysokość ostrosłupa trójkątnego, którego siatkę przedstawiono na rysunku.

RClKCZYNvOVv5

Na ilustracji przedstawiono siatkę ostrosłupa trójkątnego, która wygląda następująco. Przedstawiono trójkąt równoramienny z kątem rozwartym o mierze stu trzydziestu pięciu stopni i podstawie długości dwadzieścia osiem. Na każdym boku trójkąta zbudowano trójkąty równoramienne o ramionach długości sześćdziesiąt.

Rozwiązanie

Zauważmy, że tym razem informacja o tym, że ostrosłup jest prosty została podana na rysunku. Skoro długości wszystkich krawędzi bocznych są sobie równe, spodek wysokości tego ostrosłupa znajduje się w środku okręgu opisanego na jego podstawie. Ze względu na fakt, że podstawa jest trójkątem rozwartokątnym, spodek wysokości ostrosłupa będzie się znajdował poza trójkątem. Sprawdźmy na animacji, jak wygląda taki ostrosłup:

R1VgihU4LFSaJ

Aplet przedstawia ostrosłup trójkątny o podstawie $ABC$ i wierzchołku W. Z wierzchołka W opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie S znajdującym się poza płaszczyzną podstawy. $\angle WSA$ jest kątem prostym. Suwak znajdujący się pod rysunkiem pozwala rozłożyć ostrosłup tak aby ukazać jego siatkę. Zatem siatka tego ostrosłupa składa się z trójkąta A B C oraz dwóch ścian bocznych, których podstawy są równe długości ramienia podstawy i jednej ściany bocznej, której podstawą jest długość odcinka B C.

Aplet przedstawia ostrosłup trójkątny o podstawie $ABC$ i wierzchołku W. Z wierzchołka W opuszczono wysokość, której spodek leży w punkcie S znajdującym się poza płaszczyzną podstawy. $\angle WSA$ jest kątem prostym. Suwak znajdujący się pod rysunkiem pozwala rozłożyć ostrosłup tak aby ukazać jego siatkę. Zatem siatka tego ostrosłupa składa się z trójkąta A B C oraz dwóch ścian bocznych, których podstawy są równe długości ramienia podstawy i jednej ściany bocznej, której podstawą jest długość odcinka B C.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1Fgb17Su

Naszkicujmy ostrosłup spełniający warunki zadania, aby przyjąć oznaczenia potrzebne do zapisu rozwiązania:

RtaNwZJrzveFS

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup trójkątny o podstawie $ABC$ i wierzchołku W. Na trójkącie stanowiącym podstawę ostrosłupa opisano okrąg o środku w punkcie S. Z wierzchołka W opuszczono wysokość ostrosłupa, której spodek leży w punkcie S znajdującym się poza płaszczyzną podstawy ostrosłupa. Linią przerywaną połączono wierzchołki A, B i C z punktem S. Długość odcinków $AS$, $BS$ i $CS$ oznaczono wielką literą R. Zaznaczono trójkąt prostokątny $WSA$ o przyprostokątnych długości R i H.

Aby obliczyć wysokość ostrosłupa, musimy obliczyć promień okręgu opisanego na jego podstawie. W tym celu wykorzystamy twierdzenie sinusówtwierdzenie sinusówtwierdzenie sinusów dla trójkąta $ABC$:

$\frac{\left|BC\right|}{\sin 135°}=2\left|AS\right|$

$\frac{28}{\sin \left(180°-45°\right)}=2\left|AS\right|$

$\frac{28}{\sin 45°}=2\left|AS\right|$

$\frac{28}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2\left|AS\right|$

$28\sqrt{2}=2\left|AS\right|$

$14\sqrt{2}=\left|AS\right|$

Teraz już bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $ASW$ możemy wyznaczyć wysokość ostrosłupa.

${\left|WS\right|}^2={\left|WA\right|}^2-{\left|AS\right|}^2$

${\left|WS\right|}^2={60}^2-{\left(14\sqrt{2}\right)}^2$

${\left|WS\right|}^2=3600-196·2$

$\left|WS\right|=\sqrt{3208}$

$\left|WS\right|=2\sqrt{802}$.

Rozważmy ostrosłup, którego podstawą jest romb niebędący kwadratem a spodek wysokości znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych rombu. Pokażemy, że nie jest to ostrosłup prosty.

Rozwiązanie

RbLy2H0RihAkf

Na ilustracji przedstawiono ostrosłup o podstawie rombu. Długość krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast wysokość ostrosłupa oznaczono wielką literą H. Spodek wysokości ostrosłupa połączono z dwoma wierzchołkami tej samej krawędzi podstawy. Powstał trójkąt o bokach długości a, $\frac{d_1}{2}$ oraz $\frac{d_2}{2}$.

Niech $d_1$ i $d_2$ oznaczają przekątne rombu będącego podstawą ostrosłupa. Skoro nie jest on kwadratem, to $d_1\ne d_2$. Rozważmy trójkąty prostokątne, w których jedną z przyprostokątnych jest wysokość ostrosłupa a drugą połowa przekątnej podstawy. Mamy więc różne trójkąty prostokątne o wspólnej przyprostokątnej, w których drugie przyprostokątne są różnej długości. Oznacza to, że przeciwprostokątne w tych trójkątach są różnej długości. Rozważane przeciwprostokątne są krawędziami bocznymi ostrosłupa. Skoro są one równej długości, to ostrosłup, którego podstawą jest romb nie jest ostrosłupem prostym.

Ostrosłupem prawidłowym nazywamy taki ostrosłup prosty, którego podstawa jest wielokątem foremnym.

Różnica między polem okręgu opisanego na sześciokącie foremnym a polem okręgu wpisanego w ten sześciokąt wynosi $\pi$. Sześciokąt jest podstawą ostrosłupa o wysokości $2$. Znajdziemy długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Spójrzmy na podstawę ostrosłupa

R1UBT3CaPHMN0

Na ilustracji przedstawiono sześciokąt foremny w który wpisano okrąg oraz na którym opisano okrąg. Okręgi są współśrodkowe. Sześciokąt podzielono na sześć przystających trójkątów równobocznych o boku długości a. Środek okręgu połączono z wierzchołkiem sześciokąta leżącym na okręgu i odcinek oznaczono wielką literą R. Stanowi on bok trójkąta równobocznego. Małą literą r oznaczono odcinek wychodzący ze środka okręgu, prostopadły do boku sześciokąta. Stanowi on również wysokość trójkąta równobocznego na jakie podzielono sześciokąt.

Z własności sześciokąta foremnego wiemy, że $R=a$ oraz $r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Mamy więc, że $\pi a^2-\pi {\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{4}\pi$. Z treści zadania wiemy, że $\frac{a^2}{4}\pi =\pi$. Oznacza to, że krawędź podstawy ma długość $2$. Zatem krawędź boczna ostrosłupa to przeciwprostokątna w trójkącie równoramiennym o przyprostokątnej $2$. Krawędź boczna ma więc długość $2\sqrt{2}$.

jest to warunek konieczny i wystarczający na to, by na czworokącie można było opisać okrąg. Na czworokącie wypukłym można opisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar kątów przeciwległych czworokąta są równe i wynoszą $180°$

twierdzenie określające warunki wystarczające, by trójkąty prostokątne były podobne; jeżeli dwa trójkąty prostokątne mają kąt ostry tej samej miary, to są do siebie podobne

twierdzenie pozwalające ustalić związek między bokami i kątami trójkąta oraz promieniem okręgu na nim opisanego. W dowolnym trójkącie stosunek długości jego boku do sinusa kąta leżącego na przeciw jest stały i równy średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie

wielokąt, którego wszystkie boki są równej długości i wszystkie kąty wewnętrzne są równej miary

ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym wszystkie krawędzie mają tę samą długość