Przeczytaj
Wyznacz wszystkie liczby naturalne spełniające nierówność
Najpierw rozwiążemy powyższą nierówność, stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy. Zauważmy, że wyrażenie jest równoważne wyrażeniu . Zapiszmy zatem równanie w nowej postaci.
Pozbywamy się nawiasów.
Redukujemy wyrazy podobne.
Ponownie redukujemy wyrazy podobne.
Ponieważ zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór , więc nierówność spełnia każda liczba naturalna.
Rozwiąż nierówność .
Najpierw zastosujemy wzór na sześcian różnicy dwóch wyrażeńsześcian różnicy dwóch wyrażeń.
Redukujemy wyrazy podobne.
Ponownie redukujemy wyrazy podobne.
Przenosimy wiadomą na prawą stronę nierówności.
Dzielimy obie strony nierówności przez .
Znajdź wszystkie pary kolejnych liczb naturalnych nieparzystych takich, że różnica kwadratu mniejszej z tych liczb i kwadratu większej z tych liczb jest nie mniejsza od liczby .
W tym przykładzie chcemy znaleźć pary kolejnych liczb nieparzystych, zatem liczb różniących się o dwa. Zapisujemy odpowiednią nierówność.
W rozwiązaniu nierówności wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy.
Zatem liczba . Otrzymaliśmy trzy pary liczb spełniających warunki zadania.
Są to: i , i , i .
Wykaż, że każda liczba nie mniejsza od spełnia nierówność .
Najpierw zastosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń , następnie wzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń oraz wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń .
Pozbywamy się nawiasów.
Obliczamy sumy wyrazów podobnych.
Redukujemy te same wyrazy występujące po obu stronach nierówności.
Przenosimy wyrazy z niewiadomymi na lewą stronę, a liczby na prawą stronę nierówności.
Wyłączamy poza nawias.
Dzielimy obie strony nierówności przez .
Usuwamy nierówność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik ułamka przez .
Wykazaliśmy, że każda liczba nie mniejsza od spełnia nierówność.