Przeczytaj

Przykład 1

Wyznacz wszystkie liczby naturalne spełniające nierówność

{(2 - x)}^{2} - (\sqrt{2} - x) (\sqrt{2} + x) - 5 x^{2} > - 3 {(- x - 1)}^{2} .

Najpierw rozwiążemy powyższą nierówność, stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy. Zauważmy, że wyrażenie ${(- 1 - x)}^{2}$ jest równoważne wyrażeniu ${(1 + x)}^{2}$ . Zapiszmy zatem równanie w nowej postaci.

4 - 4 x + x^{2} - (2 - x^{2}) - 5 x^{2} > - 3 (x^{2} + 2 x + 1)

Pozbywamy się nawiasów.

4 - 4 x + x^{2} - 2 + x^{2} - 5 x^{2} > - 3 x^{2} - 6 x - 3

Redukujemy wyrazy podobne.

- 3 x^{2} - 4 x + 2 > - 3 x^{2} - 6 x - 3

Ponownie redukujemy wyrazy podobne.

- 3 x^{2} - 4 x + 2 > - 3 x^{2} - 6 x - 3

- 4 x + 2 > - 6 x - 3

- 4 x + 6 x > - 3 - 2

2 x > - 5

x > - \frac{5}{2}

Ponieważ zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór $(- 2 \frac{1}{2}, \infty)$ , więc nierówność spełnia każda liczba naturalna.

Przykład 2

Rozwiąż nierówność ${(x - 3)}^{3} + 2 x (x + 1) > x^{3} - 7 x^{2}$ .

Najpierw zastosujemy wzór na sześcian różnicy dwóch wyrażeńsześcian różnicy dwóch wyrażeń.

x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27 + 2 x^{2} + 2 x > x^{3} - 7 x^{2}

Redukujemy wyrazy podobne.

x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27 + 2 x^{2} + 2 x > x^{3} - 7 x^{2}

- 9 x^{2} + 27 x - 27 + 2 x^{2} + 2 x > - 7 x^{2}

- 9 x^{2} + 27 x - 27 + 2 x^{2} + 2 x > - 7 x^{2}

- 7 x^{2} + 29 x - 27 > - 7 x^{2}

Ponownie redukujemy wyrazy podobne.

- 7 x^{2} + 29 x - 27 > - 7 x^{2}

29 x - 27 > 0

Przenosimy wiadomą na prawą stronę nierówności.

29 x > 27

Dzielimy obie strony nierówności przez $29$ .

29 x > 27 | : 29

x > \frac{27}{29}

Przykład 3

Znajdź wszystkie pary kolejnych liczb naturalnych nieparzystych takich, że różnica kwadratu mniejszej z tych liczb i kwadratu większej z tych liczb jest nie mniejsza od liczby $(- 24)$ .

W tym przykładzie chcemy znaleźć pary kolejnych liczb nieparzystych, zatem liczb różniących się o dwa. Zapisujemy odpowiednią nierówność.

{(2 n + 1)}^{2} - {(2 n + 3)}^{2} \geq - 24

W rozwiązaniu nierówności wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

4 n^{2} + 4 n + 1 - (4 n^{2} + 12 n + 9) \geq - 24

4 n^{2} + 4 n + 1 - 4 n^{2} - 12 n - 9 \geq - 24

- 8 n - 8 \geq - 24

- 8 n \geq - 16

n \leq 2

Zatem liczba $n \in \{0, 1, 2\}$ . Otrzymaliśmy trzy pary liczb spełniających warunki zadania.

Są to: $1$ i $3$ , $3$ i $5$ , $5$ i $7$ .

Przykład 4

Wykaż, że każda liczba nie mniejsza od $\frac{- 3 (4 + 2 \sqrt{2})}{8}$ spełnia nierówność $2 {(x + 1)}^{2} - \frac{(x - \sqrt{6}) (\sqrt{6} + x)}{3} \geq 3 - {(x - \sqrt{2})}^{2} + 2 \frac{2}{3} x^{2}$ .

Najpierw zastosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy dwóch wyrażeń ${(a + b)}^{2}$ , następnie wzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń $a^{2} - b^{2}$ oraz wzór na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń ${(a - b)}^{2}$ .

2 {(x + 1)}^{2} - \frac{(x - \sqrt{6}) (\sqrt{6} + x)}{3} \geq 3 - {(x - \sqrt{2})}^{2} + 2 \frac{2}{3} x^{2}

2 (x^{2} + 2 x + 1) - \frac{x^{2} - 6}{3} \geq 3 - (x^{2} - 2 \sqrt{2} x + 2) + 2 \frac{2}{3} x^{2}

Pozbywamy się nawiasów.

2 x^{2} + 4 x + 2 - \frac{x^{2} - 6}{3} \geq 3 - x^{2} + 2 \sqrt{2} x - 2 + 2 \frac{2}{3} x^{2}

2 x^{2} + 4 x + 2 - \frac{1}{3} x^{2} + 2 \geq 3 - x^{2} + 2 \sqrt{2} x - 2 + 2 \frac{2}{3} x^{2}

Obliczamy sumy wyrazów podobnych.

1 \frac{2}{3} x^{2} + 4 x + 4 \geq 1 \frac{2}{3} x^{2} + 2 \sqrt{2} x + 1

Redukujemy te same wyrazy występujące po obu stronach nierówności.

1 \frac{2}{3} x^{2} + 4 x + 4 \geq 1 \frac{2}{3} x^{2} + 2 \sqrt{2} x + 1

4 x + 4 \geq 2 \sqrt{2} x + 1

Przenosimy wyrazy z niewiadomymi na lewą stronę, a liczby na prawą stronę nierówności.

4 x - 2 \sqrt{2} x \geq 1 - 4

4 x - 2 \sqrt{2} x \geq - 3

Wyłączamy $x$ poza nawias.

(4 - 2 \sqrt{2}) x \geq - 3

Dzielimy obie strony nierówności przez $4 - 2 \sqrt{2}$ .

(4 - 2 \sqrt{2}) x \geq - 3 | : (4 - 2 \sqrt{2})

x \geq \frac{- 3}{4 - 2 \sqrt{2}}

Usuwamy nierówność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik ułamka przez $4 + 2 \sqrt{2}$ .

x \geq \frac{- 3 (4 + 2 \sqrt{2})}{(4 - 2 \sqrt{2}) (4 + 2 \sqrt{2})}

x \geq \frac{- 3 (4 + 2 \sqrt{2})}{8}

Wykazaliśmy, że każda liczba nie mniejsza od $\frac{- 3 (4 + 2 \sqrt{2})}{8}$ spełnia nierówność.

Słownik

sześcian różnicy dwóch wyrażeń

a

b

sześcian różnicy dwóch wyrażeń

a

b

${(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

Wprowadzenie

Film samouczek

Słownik