Przypomnienie wiadomości

Wiemy, jakie są założenia metody Monte Carlo. Przypomnijmy, w jaki sposób można wyznaczyć liczbę $\pi$ za jej pomocą.

Podczas przeprowadzania symulacji metodą Monte Carlo korzystamy z nierówności koła o środku w punkcie $(a,b)$ i promieniu $r$, którą przedstawimy następująco:

Wybieramy punkt o środku w punkcie (0,0) i promieniu 1. Kwadrat opisany na tym kole może być przestrzenią ograniczoną warunkami $x\in ⟨-1,1⟩$ oraz $y\in ⟨-1,1⟩$.

By przypomnieć sobie, w jaki sposób obliczaliśmy omawianą metodą liczbę $\pi$, wróćmy do metafory rzucania długopisem. Rzucany nim w kartkę, na której narysowano kwadrat opisany na kole.

Jeśli będziesz rzucać długopisem dostatecznie długo, kropki tuszu pokryją cały rysunek. W konsekwencji stosunek liczby kropek wewnątrz koła do liczby wszystkich kropek będzie zbliżony do stosunku pola koła do pola kwadratu.

Znając wzór na pole kwadratu oraz pole koła, możemy wyznaczyć wartość liczby $\pi$. W e‑materiale Wyznaczanie liczby πpi metodą Monte CarloPar6HTDQWWyznaczanie liczby πpi metodą Monte Carlo wyznaczyliśmy wzór na przybliżenie liczby $\pi$. Przypomnijmy go:

Wyznaczanie liczby πpi metodą Monte Carlo w języku Java

Aby zaimplementować opisany algorytm, zastanówmy się, w jaki sposób wyznaczyć losową liczbę z przedziału $⟨-1,1⟩$. W języku Java dysponujemy wieloma generatorami liczb pseudolosowychgenerator liczb pseudolosowychgeneratorami liczb pseudolosowych. Użyjemy funkcji random() z biblioteki Math. Funkcja ta zwraca losowe liczby zmiennoprzecinkowe z przedziału $⟨0,1)$ z jednakowym prawdopodobieństwem. Nie musimy przejmować się w tym wypadku brakiem możliwości wylosowania liczby 1, ponieważ prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest bardzo małe. Algorytm nie straci na dokładności.

Aby wylosować liczbę z przedziału $⟨-1,1)$, przeskalujmy przedział. Wylosowaną liczbę należy pomnożyć przez 2, a następnie odjąć od niej 1. Dzięki takim operacjom przedział zostanie rozciągnięty, a następnie przesunięty. Zapiszmy kod w języku Java:

// losowa liczba z przedziału od -1 do 1
double randomDouble = 2 * Math.random() - 1;

Napiszmy funkcję, która wyznaczy liczbę $\pi$ metodą Monte Carlo:

static double wyznaczPi(int liczbaLosowan) {
	int liczbaTrafien = 0;

	for (int i = 0; i < liczbaLosowan; ++i) {
		// losowe liczby z przedziału <-1, 1)
		double x = 2 * Math.random() - 1;
		double y = 2 * Math.random() - 1;

		if (x * x + y * y <= 1) {
			++liczbaTrafien;
		}
	}

	double pi = (double) 4 * liczbaTrafien / liczbaLosowan;

	return pi;
}

Aby przetestować napisany algorytm, utwórzmy główną klasę oraz funkcję main():

public class Main {
    static double wyznaczPi(int liczbaLosowan) {
        int liczbaTrafien = 0;

        for (int i = 0; i < liczbaLosowan; ++i) {
            // losowe liczby z przedziału <-1, 1)
            double x = 2 * Math.random() - 1;
            double y = 2 * Math.random() - 1;

            if (x * x + y * y <= 1) {
                ++liczbaTrafien;
            }
        }

        double pi = (double) 4 * liczbaTrafien / liczbaLosowan;

        return pi;
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(wyznaczPi(10000));
    }
}

Dla liczby losowań 10 000 możemy spodziewać się wyników zbliżonych do liczby $\pi$, jednak należy pamiętać, że nie zawsze będą one dokładne. Im więcej losowych punktów, tym dokładniejszy wynik. Przetestuj działanie programu, podając różne liczby losowań. Przeanalizuj, jak zmienia się wynik. Przypomnijmy, że $\pi\approx3.1415$.

Dokładność wyniku

Przetestujmy działanie programu dla różnych parametrów. Przeprowadźmy próby uruchomienia funkcji wyznaczPi() z parametrami 10, 100, 1000, 10 000, 100 000 oraz 1 000 000.

Aby utworzyć wykres dokładności, możemy obliczyć wartość bezwzględną różnicy pomiędzy wynikiem teoretycznym, a otrzymanym dzięki metodzie Monte Carlo. W tym celu wykorzystamy stałą PI z biblioteki Math oraz funkcję abs()funkcja abs()abs(), również z biblioteki Math:

public class Main {
    static double wyznaczPi(int liczbaLosowan) {
        int liczbaTrafien = 0;

        for (int i = 0; i < liczbaLosowan; ++i) {
            // losowe liczby z przedziału <-1, 1)
            double x = 2 * Math.random() - 1;
            double y = 2 * Math.random() - 1;

            if (x * x + y * y <= 1) {
                ++liczbaTrafien;
            }
        }

        double pi = (double) 4 * liczbaTrafien / liczbaLosowan;

        return pi;
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(Math.abs(Math.PI - wyznaczPi(10)));
        System.out.println(Math.abs(Math.PI - wyznaczPi(100)));
        System.out.println(Math.abs(Math.PI - wyznaczPi(1000)));
        System.out.println(Math.abs(Math.PI - wyznaczPi(10000)));
        System.out.println(Math.abs(Math.PI - wyznaczPi(100000)));
        System.out.println(Math.abs(Math.PI - wyznaczPi(1000000)));
    }
}

Oto przykładowe wyniki, jakie otrzymamy po uruchomieniu  algorytmu:

0.8584073464102069
0.061592653589793045
0.05759265358979304
0.011207346410206931
0.005127346410207068
2.006535897929318E-4

Analizując otrzymane dane, można zauważyć, że dokładność zwiększa się wraz ze wzrostem liczby losowań. Wykres danych w skali logarytmicznej prezentuje się następująco:

R1EYlKMsr1PKD

Ilustracja przedstawia wykres.
Oś pozioma opisana jest jako: ilość losowań, a oś pionowa jako: dokładność.
Linia na wykresie ma trend malejący.

Słownik