Poniżej przedstawiamy kilka różnych położeń dwóch przedziałów względem siebie i ich części wspólne:

1. Jeśli przedziały $A$ i $B$ nie mają żadnych wspólnych elementów, nazywamy je rozłącznymi. Zapiszemy wówczas, że ich iloczynem jest zbiór pusty: $A\cap B=\varnothing$

R1DUOm10vkDua

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczone są cztery punkty. Kolejno od lewej punkty niezamalowane: $x$ oraz $y$ oraz zamalowane: $r$ oraz $t$. Dla porządku dodajmy, że relacja między oznaczonymi na osi liczbami jest następująca: $x<y<r<t$. Między punktami $x$ oraz $y$ zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór otwarty $A$. Między punktami $r$ oraz $t$ zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór obustronnie domknięty $B$. Powyżej osi zapisany jest iloczyn obu zbiorów: $A\cap B=\varnothing$.

RECQ4F2kHrzzZ

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczone są trzy punkty. Kolejno od lewej punkt zamalowany: $x$ oraz niezamalowane $y$ oraz $z$. Dla porządku dodajmy, że relacja między oznaczonymi na osi liczbami jest następująca: $x<y<z$. Między punktami $x$ oraz $y$ zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór lewostronnie domknięty $A$. Między punktami $y$ oraz $z$ zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór otwarty $B$. Powyżej osi zapisany jest iloczyn obu zbiorów: $A\cap B=\varnothing$.

2. Iloczyn dwóch przedziałów może być zbiorem jednoelementowym - przedziały mogą mieć wspólny koniec. Na ilustracji poniżej mamy $A\cap B=\left\{y\right\}$.

Rfez0UU5GQDpd

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczone są trzy punkty. Kolejno od lewej punkt niezamalowany: $x$, punkt zamalowany $y$ oraz niezamalowany $z$. Dla porządku dodajmy, że relacja między oznaczonymi na osi liczbami jest następująca: $x<y<z$. Między punktami $x$ oraz $y$ zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór prawostronnie domknięty $A$. Między punktami $y$ oraz $z$ zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór lewostronnie domknięty $B$. Powyżej osi zapisany jest iloczyn obu zbiorów: $A\cap B=\left\{y\right\}$.

3. Iloczynem przedziałów może być przedział, do którego (zgodnie z definicją) należą tylko i wyłącznie liczby należące do każdego z rozważanych przedziałów:

RhN5QoKBqvcln

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczone są cztery punkty. Kolejno od lewej punkty niezamalowane: $x$ oraz $r$, dalej punkt zamalowany $y$ oraz $t$. Dla porządku dodajmy, że relacja między oznaczonymi na osi liczbami jest następująca: $x<r<y<t$. Między punktami $x$ oraz $y$ zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór prawostronnie domknięty $A$. Między punktami $r$ oraz $t$ zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór prawostronnie domknięty $B$. Powyżej osi zapisany jest iloczyn obu zbiorów: $A\cap B=(r,y⟩$.

Jeśli iloczyn dwóch przedziałów jest równy jednemu z nich, to mówimy, że jeden przedział zawiera się w drugim, co oznaczamy symbolem $\subset$. Na rysunku poniżej zilustrowano sytuację, w której przedział $A$ zawiera się w przedziale $B$: $A\cap B=A\iff A\subset B$. Dzieje się tak, jeśli każda liczba należąca do przedziału $A$ należy do przedziału $B$ (jednocześnie zwróćmy uwagę, że element przedziału $B$ może nie być elementem przedziału $A$).

RCKNt2Mzcy74M

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczone są cztery punkty. Kolejno od lewej punkt zamalowany: $r$, niezamalowany $x$, zamalowany $y$ oraz niezamalowany $t$. Dla porządku dodajmy, że relacja między oznaczonymi na osi liczbami jest następująca: $r<x<y<t$. Między punktami $x$ oraz $y$ zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór prawostronnie domknięty $A$. Między punktami $r$ oraz $t$ zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór lewostronnie domknięty $B$. Powyżej osi zapisany jest iloczyn obu zbiorów: $A\cap B=A$.

Zapoznaj się z filmem samouczkiem, w którym omówione są przykłady wyznaczania części wspólnej dwóch przedziałów:

R1RfFI7llj3wm

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącej iloczynu przedziałów liczbowych.

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącej iloczynu przedziałów liczbowych.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1RfFI7llj3wm

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącej iloczynu przedziałów liczbowych.

Przykład 1

Dla podanych przedziałów $A$, $B$, $C$ wyznaczymy ich iloczyn $A\cap B\cap C$.

a) $A=\left(-6;2\right)$, $B=\left(-10;-2\right.⟩$, $C=\left(-1;5\right.⟩$
Aby rozwiązać zadanie, zilustrujemy przedziały na osi liczbowej.

R1Q6LQTE91PPF

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczonych jest sześć punktów. Punkty niezamalowane to: $-10; -6; -1; 2$. Punkty zamalowane to: $-2; 5$. Na osi zaznaczono następujące przedziały: Przedział otwarty $A=\left(-6, 2\right)$. Przedział prawostronnie domknięty $B=(-10, -2⟩$. Przedział prawostronnie domknięty $C=(-1, 5⟩$.

Łatwo zauważyć, że nie istnieje liczba należąca do wszystkich przedziałów, co oznacza, że ich część wspólna jest zbiorem pustym, co zapisujemy $A\cap B\cap C=\varnothing$.

b) $A=\left(-2;4\right.⟩$, $B=\left.⟨1;7\right)$, $C=\left(-5;1\right.⟩$
Ponownie ilustrujemy przedziały na osi liczbowej.

RYAadXDbaBkLz

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczonych jest pięć punktów. Punkty niezamalowane to: $-5; -2; 7$. Punkty zamalowane to: $1; 4$. Na osi zaznaczono następujące przedziały: Przedział prawostronnie domknięty $A=(-2, 4⟩$. Przedział lewostronnie domknięty $B=⟨1, 7)$. Przedział prawostronnie domknięty $C=(-5, 1⟩$.

Z ilustracji odczytujemy, że jedyną liczbą należącą do wszystkich przedziałów jest $1$. Zatem $A\cap B\cap C=\left\{1\right\}$.

c) $A=\left(-6;4\right)$, $B=\left.⟨-3;2\right)$,$C=\left(-5;-1\right)$

R189983XCK3HT

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczonych jest sześć punktów. Punkty niezamalowane to: $-6, -5, -1, 2, 4$. Punkt zamalowany to: $-3$. Na osi zaznaczono następujące przedziały: Przedział otwarty $A=\left(-6, 4\right)$. Przedział lewostronnie domknięty $B=⟨-3, 2)$. Przedział otwarty $C=\left(-5, -1\right)$.

Z rysunku możemy odczytać, że częścią wspólną wszystkich trzech przedziałów jest zbiór liczb większych lub równych $\left(-3\right)$ i jednocześnie mniejszych od $\left(-1\right)$. Zatem $A\cap B\cap C=\left.⟨-3;-1\right)$.

Poniżej przedstawiamy kilka możliwych położeń względem siebie dwóch przedziałów na osi liczbowej. W każdym przypadku wyznaczymy ich sumy.

1. Dla przedziałów $A$ i $B$ położonych jak poniżej, ich suma jest równa
   $A\cup B=\left(x;t\right)$.

   R1FZ16256ZX9K

   Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczone są cztery punkty. Kolejno od lewej punkt niezamalowany: $x$, zamalowany $z$, niezamalowane $y$ oraz $t$. Dla porządku dodajmy, że relacja między oznaczonymi na osi liczbami jest następująca: $x<z<y<t$. Między punktami $x$ oraz $y$ zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór otwarty $A$. Między punktami $z$ oraz $t$ zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór lewostronnie domknięty $B$.

   

2. W drugim przypadku rozważamy przedziały, które mają jeden wspólny koniec. Wówczas suma zbiorówsuma zbiorów $A$ i $B$suma zbiorów to $A\cup B=\left(x;z\right)$. Zwróćmy uwagę, że liczba $y$ należy do przedziału $B$, więc należy również do sumy.

   R1FoZE2f5zPRU

   Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczone są trzy punkty. Kolejno od lewej punkt zamalowany: $x$, zamalowany i niezamalowany jednocześnie $y$, co wyjaśnimy dalej, oraz niezamalowany $z$. Dla porządku dodajmy, że relacja między oznaczonymi na osi liczbami jest następująca: $x<y<z$. Między punktami $x$ oraz niezamalowanym $y$ zaznaczono część osi, która opisana jest jako zbiór lewostronnie domknięty $A$. Między punktami $y$ zamalowanym oraz $z$ zaznaczono część osi, która opisana jest jako zbiór lewostronnie domknięty $B$.

   

3. Rozważmy teraz przypadek, który subtelnie, acz istotnie różni się od poprzedniego. Tym razem rozważane przedziały również mają wspólny koniec $y$, ale nie należy on do żadnego z przedziałów $A$, $B$. Zatem nie należy też do sumy. Możemy zapisać $A\cup B=\left.⟨x;y\right)\cup \left(y;z\right.⟩$ lub użyć symbolu $\setminus$ oznaczającego odejmowanie zbiorów. Równoważnie możemy zapisać $A\cup B=⟨x;z⟩\setminus \left\{y\right\}$, co interpretujemy jako przedział z wyłączoną jedną liczbą - liczbą $y$.

   Rb31jKFBU9VBQ

   Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczone są trzy punkty. Kolejno od lewej punkt zamalowany: $x$, niezamalowany $y$ oraz zamalowany $z$. Dla porządku dodajmy, że relacja między oznaczonymi na osi liczbami jest następująca: $x<y<z$. Między punktami $x$ oraz $y$ zaznaczono część osi, która opisana jest jako zbiór lewostronnie domknięty $A$. Między punktami $y$ oraz $z$ zaznaczono część osi, która opisana jest jako zbiór prawostronnie domknięty $B$.

   

4. W ostatnim rozważanym przypadku sumę przedziałów również możemy zapisać na dwa sposoby. Pierwszy z nich to $A\cup B=⟨x;y⟩\cup \left(z;t\right)$. Drugi sposób ponownie wykorzystuje symbol różnicy zbiorów $A\cup B=\left.⟨x;t\right)\setminus \left(y;z\right.⟩$. Zapis ten akcentuje fakt, że z przedziału $\left.⟨x;t\right)$ “wyjmujemy” przedział $\left(y;z\right.⟩$.

   R1Q4yCrCDXGTu

   Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczone są cztery punkty. Kolejno od lewej punkty zamalowane: $x$ oraz $y$ oraz niezamalowane $z$ oraz $t$. Dla porządku dodajmy, że relacja między oznaczonymi na osi liczbami jest następująca: $x<y<z<t$. Między punktami $x$ oraz $y$ zaznaczono część osi, która opisana jest jako zbiór obustronnie domknięty $A$. Między punktami $z$ oraz $t$ zaznaczono część osi, która opisana jest jako zbiór otwarty $B$.

   

Przykład 2

Wyznaczymy sumy dla trójek przedziałów z przykładu 1.
a) $A=\left(-6;2\right)$, $B=\left(-10;-2\right.⟩$, $C=\left(-1;5\right.⟩$.
Ponownie będziemy posługiwać się interpretacją przedziałów na osi liczbowej.

R5CC6CUCE66C7

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczonych jest sześć punktów. Punkty niezamalowane to: $-10; -6; -1; 2$. Punkty zamalowane to: $-2; 5$. Na osi zaznaczono następujące przedziały: Przedział otwarty $A=\left(-6, 2\right)$. Przedział prawostronnie domknięty $B=(-10, -2⟩$. Przedział prawostronnie domknięty $C=(-1, 5⟩$.

Przypomnijmy, że liczba należy do sumy przedziałów dokładnie wtedy, gdy należy przynajmniej do jednego z nich. Zatem $A\cup B\cup C=\left(-10;5\right.⟩$.

b) $A=\left(-2;4\right.⟩$, $B=\left.⟨1;7\right)$, $C=\left(-5;1\right.⟩$.
Ponownie ilustrujemy przedziały na osi liczbowej.

RCC7N3yvclWLZ

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczonych jest pięć punktów. Punkty niezamalowane to: $-5; -2; 7$. Punkty zamalowane to: $1; 4$. Na osi zaznaczono następujące przedziały: Przedział prawostronnie domknięty $A=(-2, 4⟩$. Przedział lewostronnie domknięty $B=⟨1, 7)$. Przedział prawostronnie domknięty $C=(-5, 1⟩$.

Z ilustracji odczytujemy, że $A\cup B\cup C=\left(-5;7\right)$.

c) $A=\left(-6;4\right)$, $B=\left.⟨-3;2\right)$,$C=\left(-5;-1\right)$

R2JPJ2R9NB7J6

Rysunek przedstawia poziomą oś $X$ bez podziałki. Na osi zaznaczonych jest sześć punktów. Punkty niezamalowane to: $-6, -5, -1, 2, 4$. Punkt zamalowany to: $-3$. Na osi zaznaczono następujące przedziały: Przedział otwarty $A=\left(-6, 4\right)$. Przedział lewostronnie domknięty $B=⟨-3, 2)$. Przedział otwarty $C=\left(-5, -1\right)$.

Z rysunku możemy odczytać, że $A\cup B\cup C=\left(-6;4\right)$. Zauważmy, że suma przedziałów $A$, $B$, $C$ jest równa przedziałowi $A$. Dzieje się tak dlatego, że przedziały $B$ i $C$ są zawarte w przedziale $A$, czyli $B\subset A$ oraz $C\subset A$.

Przykład 3

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których iloczyn przedziałówiloczyn zbiorów $A$ i $B$iloczyn przedziałów $\left(-2;2m-1\right)$ oraz $\left(m+3;10\right)$ jest zbiorem niepustym.

Do rozwiązania zadania możesz użyć apletu. Używając suwaka, zmieniaj wartości parametru $m$ i obserwuj położenie przedziałów na osi liczbowej.

R85slio4NWd5p

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1GOpLMSj

Zadanie można też rozwiązać algebraicznie. Najpierw zapiszemy warunki, dzięki którym żaden z przedziałów nie będzie zbiorem pustym:
$2m-1>-2$ oraz $m+3<10$.

Zadanie można rozwiązać algebraicznie. Najpierw zapiszemy warunki, dzięki którym żaden z przedziałów nie będzie zbiorem pustym:
$2m-1>-2$ oraz $m+3<10$.

Aby te warunki rozwiązać, do obu stron pierwszej nierówności dodamy $1$ i podzielimy przez $2$:

$2m-1>-2$

$2m-1+1>-2+1$

$2m>-1$

$\frac{2m}{2}>\frac{-1}{2}$

$m>-\frac{1}{2}$.

Ponadto od obu stron drugiej nierówności odejmujemy $3$:

$m+3<10$

$m+3-3<10-3$

$m<7$.

Z obu nierówności wynika, że $m$ należy do przedziału $\left(-\frac{1}{2};7\right)$. Dla $m$ z tego przedziału żaden z rozważanych przedziałów nie jest pusty. Teraz zapiszemy warunek gwarantujący, że iloczyn przedziałów nie jest pusty:
$2m-1>m+3$

Aby go rozwiązać, do obu stron nierówności dodajemy liczbę $1$, a następnie odejmujemy $m$:

$2m-1+1>m+3+1$

$2m>m+4$

$2m-m>m+4-m$

$m>4$.

Zatem mamy dwa warunki do uwzględnienia: $m\in \left(-\frac{1}{2};7\right)$ oraz $m>4$. Rozwiązaniem zadania jest przedział $\left(4;7\right)$.

Słownik