Iloczyn przedziałów
Definicja: Iloczyn przedziałów

Iloczynem przedziałów liczbowych AB nazywamy zbiór, który zawiera tylko i wyłącznie liczby należące i do przedziału A, i do przedziału B. Iloczyn przedziałów A i B oznaczamy jako AB i nazywamy inaczej częścią wspólną.

Poniżej przedstawiamy kilka różnych położeń dwóch przedziałów względem siebie i ich części wspólne:

  1. Jeśli przedziały A i B nie mają żadnych wspólnych elementów, nazywamy je rozłącznymi. Zapiszemy wówczas, że ich iloczynem jest zbiór pusty: AB=

R1DUOm10vkDua
RECQ4F2kHrzzZ
  1. Iloczyn dwóch przedziałów może być zbiorem jednoelementowym - przedziały mogą mieć wspólny koniec. Na ilustracji poniżej mamy AB=y.

Rfez0UU5GQDpd
  1. Iloczynem przedziałów może być przedział, do którego (zgodnie z definicją) należą tylko i wyłącznie liczby należące do każdego z rozważanych przedziałów:

RhN5QoKBqvcln

Jeśli iloczyn dwóch przedziałów jest równy jednemu z nich, to mówimy, że jeden przedział zawiera się w drugim, co oznaczamy symbolem . Na rysunku poniżej zilustrowano sytuację, w której przedział A zawiera się w przedziale B: AB=AAB. Dzieje się tak, jeśli każda liczba należąca do przedziału A należy do przedziału B (jednocześnie zwróćmy uwagę, że element przedziału B może nie być elementem przedziału A).

RCKNt2Mzcy74M

Zapoznaj się z filmem samouczkiem, w którym omówione są przykłady wyznaczania części wspólnej dwóch przedziałów:

R1RfFI7llj3wm
Film nawiązujący do treści materiału dotyczącej iloczynu przedziałów liczbowych.
Przykład 1

Dla podanych przedziałów A, B, C wyznaczymy ich iloczyn ABC.

a) A=-6;2, B=-10;-2, C=-1;5
Aby rozwiązać zadanie, zilustrujemy przedziały na osi liczbowej.

R1c0xxvuWwXfg

Łatwo zauważyć, że nie istnieje liczba należąca do wszystkich przedziałów, co oznacza, że ich część wspólna jest zbiorem pustym, co zapisujemy ABC=.

b) A=-2;4, B=1;7, C=-5;1
Ponownie ilustrujemy przedziały na osi liczbowej.

RYAadXDbaBkLz

Z ilustracji odczytujemy, że jedyną liczbą należącą do wszystkich przedziałów jest 1. Zatem ABC=1.

c) A=-6;4, B=-3;2,C=-5;-1

REcl6B1g2WioW

Z rysunku możemy odczytać, że częścią wspólną wszystkich trzech przedziałów jest zbiór liczb większych lub równych -3 i jednocześnie mniejszych od -1. Zatem ABC=-3;-1.

Suma przedziałów
Definicja: Suma przedziałów

Sumą przedziałów AB nazywamy taki zbiór, do którego należą tylko i wyłącznie liczby, które należą do co najmniej jednego z przedziałów A lub B. Sumę przedziałów AB oznaczmy używając symbolu : AB.

Poniżej przedstawiamy kilka możliwych położeń względem siebie dwóch przedziałów na osi liczbowej. W każdym przypadku wyznaczymy ich sumy.

  1. Dla przedziałów AB położonych jak poniżej, ich suma jest równa
    AB=x;t.

    R2YqD9VL7Rmmb

  2. W drugim przypadku rozważamy przedziały, które mają jeden wspólny koniec. Wówczas suma zbiorówsuma zbiorów A i Bsuma zbiorów to AB=x;z. Zwróćmy uwagę, że liczba y należy do przedziału B, więc należy również do sumy.

    R1FoZE2f5zPRU

  3. Rozważmy teraz przypadek, który subtelnie, acz istotnie różni się od poprzedniego. Tym razem rozważane przedziały również mają wspólny koniec y, ale nie należy on do żadnego z przedziałów A, B. Zatem nie należy też do sumy. Możemy zapisać AB=x;yy;z lub użyć symbolu oznaczającego odejmowanie zbiorów. Równoważnie możemy zapisać AB=x;zy, co interpretujemy jako przedział z wyłączoną jedną liczbą - liczbą y.

    Rb31jKFBU9VBQ

  4. W ostatnim rozważanym przypadku sumę przedziałów również możemy zapisać na dwa sposoby. Pierwszy z nich to AB=x;yz;t. Drugi sposób ponownie wykorzystuje symbol różnicy zbiorów AB=x;ty;z. Zapis ten akcentuje fakt, że z przedziału x;t “wyjmujemy” przedział y;z.

    R1Q4yCrCDXGTu

Przykład 2

Wyznaczymy sumy dla trójek przedziałów z przykładu 1.
a) A=-6;2, B=-10;-2, C=-1;5.
Ponownie będziemy posługiwać się interpretacją przedziałów na osi liczbowej.

R1dKm8Nmsm71G

Przypomnijmy, że liczba należy do sumy przedziałów dokładnie wtedy, gdy należy przynajmniej do jednego z nich. Zatem ABC=-10;5.

b) A=-2;4, B=1;7, C=-5;1.
Ponownie ilustrujemy przedziały na osi liczbowej.

RCC7N3yvclWLZ

Z ilustracji odczytujemy, że ABC=-5;7.

c) A=-6;4, B=-3;2,C=-5;-1

Rn9MxMg9uxPgm

Z rysunku możemy odczytać, że ABC=-6;4. Zauważmy, że suma przedziałów A, B, C jest równa przedziałowi A. Dzieje się tak dlatego, że przedziały BC są zawarte w przedziale A, czyli BA oraz CA.

Przykład 3

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których iloczyn przedziałówiloczyn zbiorów A i Biloczyn przedziałów -2;2m-1 oraz m+3;10 jest zbiorem niepustym.

Do rozwiązania zadania możesz użyć apletu. Używając suwaka, zmieniaj wartości parametru m i obserwuj położenie przedziałów na osi liczbowej.

R85slio4NWd5p

Zadanie można też rozwiązać algebraicznie. Najpierw zapiszemy warunki, dzięki którym żaden z przedziałów nie będzie zbiorem pustym:
2m-1>-2 oraz m+3<10.

Zadanie można rozwiązać algebraicznie. Najpierw zapiszemy warunki, dzięki którym żaden z przedziałów nie będzie zbiorem pustym:
2m-1>-2 oraz m+3<10.

Aby te warunki rozwiązać, do obu stron pierwszej nierówności dodamy 1 i podzielimy przez 2:

2m-1>-2

2m-1+1>-2+1

2m>-1

2m2>-12

m>-12.

Ponadto od obu stron drugiej nierówności odejmujemy 3:

m+3<10

m+3-3<10-3

m<7.

Z obu nierówności wynika, że m należy do przedziału -12;7. Dla m z tego przedziału żaden z rozważanych przedziałów nie jest pusty. Teraz zapiszemy warunek gwarantujący, że iloczyn przedziałów nie jest pusty:
2m-1>m+3

Aby go rozwiązać, do obu stron nierówności dodajemy liczbę 1, a następnie odejmujemy m:

2m-1+1>m+3+1

2m>m+4

2m-m>m+4-m

m>4.

Zatem mamy dwa warunki do uwzględnienia: m-12;7 oraz m>4. Rozwiązaniem zadania jest przedział 4;7.

Słownik

iloczyn zbiorów A i B
iloczyn zbiorów A i B

zbiór, do którego należą tylko i wyłącznie elementy należące jednocześnie do zbioru A i do zbioru B; iloczyn zbiorów A, B oznaczamy AB

suma zbiorów A i B
suma zbiorów A i B

zbiór, do którego należą tylko i wyłącznie elementy należące przynajmniej do jednego ze zbiorów A lub B; sumę zbiorów A, B oznaczamy AB