Iloczynem przedziałów liczbowych i nazywamy zbiór, który zawiera tylko i wyłącznie liczby należące i do przedziału , i do przedziału . Iloczyn przedziałów i oznaczamy jako i nazywamy inaczej częścią wspólną.
Poniżej przedstawiamy kilka różnych położeń dwóch przedziałów względem siebie i ich części wspólne:
Jeśli przedziały i nie mają żadnych wspólnych elementów, nazywamy je rozłącznymi. Zapiszemy wówczas, że ich iloczynem jest zbiór pusty:
R1DUOm10vkDua
RECQ4F2kHrzzZ
Iloczyn dwóch przedziałów może być zbiorem jednoelementowym - przedziały mogą mieć wspólny koniec. Na ilustracji poniżej mamy .
Rfez0UU5GQDpd
Iloczynem przedziałów może być przedział, do którego (zgodnie z definicją) należą tylko i wyłącznie liczby należące do każdego z rozważanych przedziałów:
RhN5QoKBqvcln
Jeśli iloczyn dwóch przedziałów jest równy jednemu z nich, to mówimy, że jeden przedział zawiera się w drugim, co oznaczamy symbolem . Na rysunku poniżej zilustrowano sytuację, w której przedział zawiera się w przedziale : . Dzieje się tak, jeśli każda liczba należąca do przedziału należy do przedziału (jednocześnie zwróćmy uwagę, że element przedziału może nie być elementem przedziału ).
RCKNt2Mzcy74M
Zapoznaj się z filmem samouczkiem, w którym omówione są przykłady wyznaczania części wspólnej dwóch przedziałów:
R1RfFI7llj3wm
Przykład 1
Dla podanych przedziałów , , wyznaczymy ich iloczyn .
a) , , Aby rozwiązać zadanie, zilustrujemy przedziały na osi liczbowej.
R1c0xxvuWwXfg
Łatwo zauważyć, że nie istnieje liczba należąca do wszystkich przedziałów, co oznacza, że ich część wspólna jest zbiorem pustym, co zapisujemy .
b) , , Ponownie ilustrujemy przedziały na osi liczbowej.
RYAadXDbaBkLz
Z ilustracji odczytujemy, że jedyną liczbą należącą do wszystkich przedziałów jest . Zatem .
c) , ,
REcl6B1g2WioW
Z rysunku możemy odczytać, że częścią wspólną wszystkich trzech przedziałów jest zbiór liczb większych lub równych i jednocześnie mniejszych od . Zatem .
Suma przedziałów
Definicja: Suma przedziałów
Sumą przedziałów i nazywamy taki zbiór, do którego należą tylko i wyłącznie liczby, które należą do co najmniej jednego z przedziałów lub . Sumę przedziałów i oznaczmy używając symbolu : .
Poniżej przedstawiamy kilka możliwych położeń względem siebie dwóch przedziałów na osi liczbowej. W każdym przypadku wyznaczymy ich sumy.
Dla przedziałów i położonych jak poniżej, ich suma jest równa .
R2YqD9VL7Rmmb
W drugim przypadku rozważamy przedziały, które mają jeden wspólny koniec. Wówczas suma zbiorówsuma zbiorów i suma zbiorów to . Zwróćmy uwagę, że liczba należy do przedziału , więc należy również do sumy.
R1FoZE2f5zPRU
Rozważmy teraz przypadek, który subtelnie, acz istotnie różni się od poprzedniego. Tym razem rozważane przedziały również mają wspólny koniec , ale nie należy on do żadnego z przedziałów , . Zatem nie należy też do sumy. Możemy zapisać lub użyć symbolu oznaczającego odejmowanie zbiorów. Równoważnie możemy zapisać , co interpretujemy jako przedział z wyłączoną jedną liczbą - liczbą .
Rb31jKFBU9VBQ
W ostatnim rozważanym przypadku sumę przedziałów również możemy zapisać na dwa sposoby. Pierwszy z nich to . Drugi sposób ponownie wykorzystuje symbol różnicy zbiorów . Zapis ten akcentuje fakt, że z przedziału “wyjmujemy” przedział .
R1Q4yCrCDXGTu
Przykład 2
Wyznaczymy sumy dla trójek przedziałów z przykładu 1. a) , , . Ponownie będziemy posługiwać się interpretacją przedziałów na osi liczbowej.
R1dKm8Nmsm71G
Przypomnijmy, że liczba należy do sumy przedziałów dokładnie wtedy, gdy należy przynajmniej do jednego z nich. Zatem .
b) , , . Ponownie ilustrujemy przedziały na osi liczbowej.
RCC7N3yvclWLZ
Z ilustracji odczytujemy, że .
c) , ,
Rn9MxMg9uxPgm
Z rysunku możemy odczytać, że . Zauważmy, że suma przedziałów , , jest równa przedziałowi . Dzieje się tak dlatego, że przedziały i są zawarte w przedziale , czyli oraz .
Przykład 3
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których iloczyn przedziałówiloczyn zbiorów i iloczyn przedziałów oraz jest zbiorem niepustym.
Do rozwiązania zadania możesz użyć apletu. Używając suwaka, zmieniaj wartości parametru i obserwuj położenie przedziałów na osi liczbowej.
R85slio4NWd5p
Zadanie można też rozwiązać algebraicznie. Najpierw zapiszemy warunki, dzięki którym żaden z przedziałów nie będzie zbiorem pustym: oraz .
Zadanie można rozwiązać algebraicznie. Najpierw zapiszemy warunki, dzięki którym żaden z przedziałów nie będzie zbiorem pustym: oraz .
Aby te warunki rozwiązać, do obu stron pierwszej nierówności dodamy i podzielimy przez :
.
Ponadto od obu stron drugiej nierówności odejmujemy :
.
Z obu nierówności wynika, że należy do przedziału . Dla z tego przedziału żaden z rozważanych przedziałów nie jest pusty. Teraz zapiszemy warunek gwarantujący, że iloczyn przedziałów nie jest pusty:
Aby go rozwiązać, do obu stron nierówności dodajemy liczbę , a następnie odejmujemy :
.
Zatem mamy dwa warunki do uwzględnienia: oraz . Rozwiązaniem zadania jest przedział .
Słownik
iloczyn zbiorów i
iloczyn zbiorów i
zbiór, do którego należą tylko i wyłącznie elementy należące jednocześnie do zbioru i do zbioru ; iloczyn zbiorów , oznaczamy
suma zbiorów i
suma zbiorów i
zbiór, do którego należą tylko i wyłącznie elementy należące przynajmniej do jednego ze zbiorów lub ; sumę zbiorów , oznaczamy