Warto przeczytać

Efekt Dopplera – zmiana częstotliwości i długości fali

Efekt Dopplera polega na zmianie długości fali odbieranej przez obserwatora w wyniku ruchu źródła fal. Przeanalizujmy prostą falę mechaniczną – falę wytworzoną na powierzchni wody w wyniku uderzeń wykonywanych w regularnych odstępach czasu.

RXPvoKnVhLGcc

Rys. 1. to czarno‑biała fotografia efektu rozchodzenia się na wodzie fal pochodzących z jednego źródła drgań (czarny element w centrum zdjęcia). Fale kuliste są emitowane we wszystkich kierunkach. W efekcie powstaje typowy obraz – koncentryczne okręgi, na przemian jasne i ciemne, rozchodzące się od źródła drgań.

ROxMJ8ZN7niP1

Rys. 2. to czarno‑biała fotografia efektu rozchodzenia się na wodzie fal pochodzących z jednego źródła drgań (czarny element w centrum zdjęcia). Fale kuliste są emitowane we wszystkich kierunkach. W efekcie powstaje typowy obraz – koncentryczne okręgi, na przemian jasne i ciemne, rozchodzące się od źródła drgań. Na tle zdjęcia widnieje biała strzałka wskazująca kierunek ruchu źródła. Wskutek ruchu źródła odległości między okręgami nie są jednakowe – w górnej części jasne okręgi są bliżej siebie, co świadczy o zmniejszeniu długości fali w kierunku ruchu źródła.

Rys. 1. przedstawia falę, która powstaje, kiedy źródło się nie porusza. Grzbiety fal tworzą układ okręgów ze środkami w jednym punkcie, czyli w miejscu pobudzającego falę źródła. Długość fali $\lambda$ (odległość między grzbietami fali) jest jednakowa dla wszystkich kierunków.

Rys. 2. przedstawia falę, która powstaje, kiedy źródło porusza się ruchem jednostajnym w kierunku i ze zwrotem wskazanym strzałką. Grzbiety fal też tworzą układ okręgów. Tym razem jednak środki tych okręgów znajdują się w różnych punktach. Długość fali nie jest jednakowa dla wszystkich kierunków. Najmniejsza jest w obszarze przed poruszającym się źródłem, największa zaś za poruszającym się źródłem.

Przyjmijmy, że źródło dźwięku (czerwona kropka na Rys. 3.) porusza się z prędkością $\overrightarrow{v}$ i przybliża się do obserwatora. Obserwator, który odbiera dźwięk, znajduje się w punkcie O.

RFtO1B8Wu2t47

Rys. 3 przedstawia schemat obrazujący zależność geometryczną między wektorem prędkości poruszającego się źródła z kierunkiem rozchodzenia się w stronę odbiornika dźwięku. Źródło dźwięku porusza się w kierunku poziomym w prawo, co obrazuje czerwony wektor z opisany małą literą v. Kierunek rozchodzenia się dźwięku obrazuje czarny wektor skierowany pod kątem opisanym małą grecką literą fi około 30 stopni do poziomu. Zielony wektor obrazuje rzut prostopadły wektora prędkości na kierunek rozchodzenia się fali.

Częstotliwość $f_{\phi }$ fali odbieranej przez obserwatora będzie zależeć od jego położenia poprzez kąt $\phi$ znajdujący się między wektorem prędkości a odcinkiem łączącym punkt O ze źródłem fali. Częstotliwość źródła $f$ jest powiązana z częstotliwością $f_{\phi }$ wyrażeniem:

gdzie $V$ jest to prędkość rozchodzenia się fali, natomiast $v_r$ jest to rzut prędkości źródła $\overrightarrow{v}$ na odcinek łączący obserwatora ze źródłem (tzw. prędkość radialna).

Związek ten możemy też przedstawić przy pomocy długości fali $\lambda$ wysyłanej przez źródło oraz długości fali ${\lambda }_{ȹ}$ odbieranej w punkcie O korzystając z wyrażenia $f=\frac{V}{\lambda }:$

Zjawisko Dopplera dla fal elektromagnetycznych

Zjawisko Doppleraefekt DoppleraZjawisko Dopplera najłatwiej zaobserwować dla fal mechanicznych. Najciekawsze są jednak jego konsekwencje dla fal elektromagnetycznych. Prędkość wszystkich fal elektromagnetycznych jest taka sama i nazywamy ją prędkością światła (ponieważ światło też jest falą elektromagnetyczną). Oznaczamy ją symbolem $c$, więc w naszych wzorach prędkość $V$ musimy zastąpić poprzez $c$.

Dostajemy wtedy:

Otrzymane wzory nie są jednak zawsze prawdziwe: obowiązują w przypadku, kiedy prędkość źródła $v$ ma wartość znacznie mniejszą od prędkości światła $c$. Gdy źródło fali porusza się z dużą prędkością, zaczynają ujawniać się dodatkowe efekty (tzw. efekty relatywistyczne), których tutaj nie uwzględnimy.

Dopplerowskie poszerzenie linii widmowych

Pojedyncze atomy, podobnie jak i związki chemiczne, świecą (promieniują) promieniowaniem elektromagnetycznym o bardzo konkretnej długości fali. Promieniowanie to jest związane ze zmianą energii elektronów w tych atomach. W widmie świecącego gazu atomowego obserwujemy wąskie linie. Przykłady takich widm dla kilku atomów przedstawiono na Rys. 4.

R17rFyY7qWueA

Rys. 4. przedstawia zestaw pięciu widm różnego rodzaju umieszczonych na czarnym tle. W dolnej części ilustracji oś liczbowa przedstawia długość fali w mikrometrach wyskalowana co 0,01. Powyżej widnieje emisyjne widmo ciągłe (barwy układają się w sposób ciągły, od fioletowej z lewej, przez niebieską, zieloną, żółtą, pomarańczową, po czerwoną z prawej strony). Powyżej umieszczono cztery widma emisyjne liniowe dla rtęci, sodu, litu i wodoru. Symbole pierwiastków widnieją z prawej strony ilustracji w postaci opisów w kolorze białym: Hg, Na, Li , H. Widma są układem linii poziomych różnej barwy i szerokości w zależności od pierwiastka.

Linie te nie są jednak nieskończenie wąskie. Jednym z powodów tego faktu jest efekt Dopplera. Atomy gazu nie spoczywają, ale poruszają się we wszystkich kierunkach ruchami termicznymi (Rys. 5.). Powoduje to, że w widmie obserwuje się bardzo wiele bliskich sobie, ale różnych długości fali. Długość fali od atomów zbliżających się do obserwatora jest mniejsza, a od oddalających się – większa. W efekcie zamiast uzyskiwać za każdym razem tę samą długość fali, dostajemy jej różne, ale zbliżone do siebie wartości. Mówimy wtedy o poszerzeniu linii widmowej. Poszerzenie to zależy od prędkości atomów, a te rosną wraz z wzrostem temperatury. Omawiany efekt ma znacznie większe znaczenie dla atmosfer gwiazd, w których temperatury są rzędu milionów kelwinów. Średnia prędkość kwadratowa $v_{\mathrm{\text{kw}}}$ cząsteczek rośnie wraz z temperaturą $T$ zgodnie z wzorem:

gdzie $k_B$ oznacza stałą Boltzmanna, a $m$ masę atomu.

R1Lo8uCcHS66K

Rys. 5 przedstawia zbiór atomów w postaci małych niebieskich kółek poruszających się chaotycznie (czarne małe strzałki obrazują wektory prędkości cząstek). Atomy są zamknięte w naczyniu w kształcie prostokąta. o zaokrąglonych rogach

Wyznaczanie prędkości pojazdów

Bez porównania lepiej znanym przykładem zastosowania zjawiska Doppleraefekt Dopplerazjawiska Dopplera jest wyznaczanie prędkości pojazdów, czyli tak zwany radar dopplerowski. Podstawa działania takiego urządzenia jest następująca: jeżeli na poruszającą się płaszczyznę padnie fala elektromagnetyczna o częstotliwości $f$, fala odbita będzie miała częstotliwość zmienioną:

• podwyższoną, kiedy płaszczyzna odbijająca zbliża się do źródła;

• obniżoną, kiedy płaszczyzna odbijająca oddala się od źródła.

Urządzeń działających w ten sposób używają policjanci oraz fotoradary do pomiarów prędkości.

Dokładny opis tego zjawiska przekracza nasze możliwości. Możemy jednak uzyskać poprawny wynik, posługując się opisem przybliżonym. Jeżeli lustro zbliża się do źródła fali z prędkością vIndeks dolny L_L, obraz źródła w lustrze – w ramach optyki geometrycznej – zbliża się do źródła z prędkością 2vIndeks dolny L_L. Ilustruje to Rys. 6., na którym przedstawione są dwa promienie światła padające na płaskie lustro. W lustrze przedmiot obserwujemy na przedłużeniu promienia odbitego w punkcie PIndeks dolny 1₁. Porusza się ono z prędkością vIndeks dolny L_L w stronę obserwatora. Pomiędzy wysłaniem dwóch promieni światła minął czas Δdeltat, podczas którego lustro przesunęło się o odległość vIndeks dolny L_LΔdeltat, jednak obraz przedmiotu przesunął się o dwukrotność tej odległości, od punktu PIndeks dolny 1₁ do punktu PIndeks dolny 2₂, więc obraz zbliża się do obserwatora z prędkością 2vIndeks dolny L._L.

R1U3y0cwMwYif

Rys. 6. obrazuje zasadę działania fotoradaru. Pośrodku rysunku znajduje się poziomy odcinek, na którym z lewej strony leżą dwa punkty: wielkie P z indeksem dolnym jeden i wielkie P z indeksem dolnym dwa w postaci małych czerwonych kółek. Od punktów odchodzą dwa pionowe odcinki, między którymi jest obustronna pozioma strzałka opisana dwa mała litera v z indeksem dolnym wielkie L delta małe t. Na prawym końcu poziomego odcinka leży źródło światła w postaci czerwonej gwiazdki. Od źródła odchodzą dwa promienie: czerwony skierowany w prawo, lekko w górę oraz zielony – w prawo lekko w dół. Oba promienie natrafiają na lustra (niebieskie pionowe odcinki w centrum) i ulegają odbiciu pod takim samym kątem jak kąt padania. Linią przerywaną zaznaczono przedłużenia promieni odbitych.

Tę prędkość możemy wykorzystać we wcześniej podanych wzorach. W sytuacji przedstawionej na Rys. 3. kąt $\phi$ jest równy zero stopni – lustro porusza się prosto na miejsce, z którego wysyłamy falę. Cosinus zera stopni równy jest 1. Zatem zmiana częstotliwości fali:

gdzie $f_{\phi }$ jest częstotliwością fali odbieranej przez radar, natomiast $c$ to prędkość fali, która w naszym przypadku jest równa prędkości światła. Oznacza to, że mierząc zmianę częstotliwości wysłanej fali możemy zmierzyć prędkość samochodu vIndeks dolny L_L ze wzoru

W przypadku, gdy mierzymy prędkość samochodu pod pewnym kątem $\phi$ wzory te przyjmują następującą postać:

Prędkość naddźwiękowa

Efekt Dopplera ma bardzo duże znaczenie dla źródeł poruszających się szybciej od dźwięku. Grzbiety kilku kolejnych fal dźwiękowych emitowanych przez źródło poruszające się szybciej od dźwięku przedstawiono na Rys. 7a.

RXt0mdQe1XPfY

Rys. 7 składa się z dwóch części: rysunek a) z lewej strony obrazuje powierzchnię falową w kolejnych odstępach czasu w postaci trzech okręgów o zmniejszających się promieniach. Przez środki okręgów przechodzi poziomo wektor skierowany w prawo. Od środka najmniejszego okręgu odchodzi czerwony wektor skierowany poziomo w prawo, z opisem małe v wielkie T. Ze wszystkich środków okręgów odchodzą w lewo lekko w dół czarne wektory opisane kolejno, od lewej:3 wielkie V wielkie T, 2 wielkie V wielkie T i wielkie V wielkie T. Rysunek b) po prawej stronie przedstawia jeden okrąg z zaznaczonym środkiem oraz prostą biegnącą poziomo przez środek. Ze środka odchodzi czerwony poziomy wektor opisany: małe v małe t skierowany w prawo o końcu w punkcie zaznaczonym czerwonym małym kółkiem. Od tego punktu odchodzą dwie proste, które jednocześnie są stycznymi do okręgu, usytuowanymi symetrycznie względem czarnej prostej poziomej. Ze środka okręgu narysowano wektor w kolorze czarnym o długości równej promieniowi okręgu z opisem: wielkie V małe t. Zaznaczono łukiem kąt nachylenia tego wektora do poziomu.

Za poruszającym się źródłem wszystkie wytworzone fale dźwiękowe mieszczą się w stożku, nazywanym stożkiem Macha. Został on zaznaczony na Rys. 7b. Do powierzchni tego stożka wszystkie fale docierają w tym samym momencie. To zjawisko nazywamy gromem dźwiękowymgrom dźwiękowygromem dźwiękowym i odbieramy je jako głośny huk. Jednym z samolotów pasażerskich mogących rozwinąć prędkość naddźwiękową był Concorde. Ze względu na zjawisko gromu dźwiękowego nie mógł on jednak rozwijać naddźwiękowych prędkości nad terenem zabudowanym. Przekraczał on prędkość dźwięku podczas lotów transatlantyckich z Ameryki Północnej do Europy nad oceanem.

Sytuacja graniczna, w której samolot leci z prędkością dźwięku, jest bardzo niebezpieczna. Powstające wtedy fale mają bardzo dużą amplitudę i mogą doprowadzić do samozniszczenia samolotu.

Słowniczek