Nierównością wielomianową stopnia nazywamy każdą z nierówności postaci:
lub lub lub
gdzie: – jest wielomianem stopnia .
Zapisanie nierówności w postaci iloczynowej polega na zapisaniu jej za pomocą iloczynu sum algebraicznych, w których niewiadoma jest jak najmniejszego stopnia.
Aby rozwiązać nierówność wielomianowąnierówność wielomianowanierówność wielomianową postępujemy podobnie, jak podczas rozwiązywania równań.
Jeżeli wielomian jest przedstawiony w postaci iloczynowej, obliczamy jego pierwiastki, a następnie za pomocą siatki znaków lub metodą graficzną odczytujemy, dla jakich wielomian przyjmuje żądane wartości.
Przykład 1
Rozwiążemy nierówność .
Lewa strona nierówności jest wielomianem zapisanym w postaci iloczynowej
.
Obliczamy pierwiastki wielomianu.
lub lub
lub lub
Szkicujemy wykres wielomianu.
RwGfb0uB8i1dR
Zbiór rozwiązań nierówności tworzą wszystkie liczby takie, że .
Przykład 2
Obliczymy zbiór rozwiązań nierówności .
Wyłączymy przed nawias, aby otrzymać postać iloczynową nierównościpostać iloczynowa nierównościpostać iloczynową nierówności
Ze wzorów Viete’a łatwo zauważymy, że liczby i są miejscami zerowymi trójmianu kwadratowego .
.
Szkicujemy wykres wielomianu , a następnie z wykresu odczytamy dla jakich wartość wielomianu jest nieujemna.
R1JZETPoZBa2s
Zauważymy, że jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu .
Zatem wykres wielomianu nie przecina osi , ale jest do niej styczny.
Zbiór rozwiązań nierówności to .
Przykład 3
Rozwiążemy nierówność .
Zapiszemy nierówność w postaci iloczynowej.
Podamy teraz miejsca zerowe wielomianu .
lub lub lub
lub lub lub
Określimy krotność pierwiastków:
– pierwiastek trzykrotny
– pierwiastek jednokrotny
– pierwiastek dwukrotny
– pierwiastek jednokrotny
Wykres szkicujemy od prawej strony i od dołu, ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny .
Zauważymy, że dla pierwiastka dwukrotnego wykres wielomianu jest styczny do osi , natomiast dla pierwiastka trzykrotnego wykres wielomianu przecina oś .
R5Um5iUmGF8ts
Zbiór rozwiązań nierówności to .
Przykład 4
Rozwiążemy nierówność .
lub
Wykres funkcji wielomianowej zaczniemy rysować od prawej strony i od dołu.
R1OdFu4Icbu2N
Wielomian jest stopnia , więc potrafimy już naszkicować jego wykres.
Jest to parabola, której ramiona są skierowane „do dołu”.
Zbiór rozwiązań nierówności to .
Przykład 5
Rozwiążemy nierówność .
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia i wyłączania wspólnego czynnika przed nawias otrzymamy:
Obliczymy miejsce zerowe wielomianu
lub lub lub
(podwójny) lub (podwójny) lub (podwójny) lub (brak pierwiastków)
R1YEHTgSBNpQf
Nierówność nie posiada rozwiązania.
Przykład 6
Rozwiążemy nierówność .
Korzystając z rozwiązania z przykładu możemy naszkicować wykres.
R1VVBRsIZC5WT
.
Słownik
nierówność wielomianowa
nierówność wielomianowa
każda z nierówności postaci:
lub lub lub
gdzie: – jest wielomianem stopnia
postać iloczynowa nierówności
postać iloczynowa nierówności
zapisanie nierówności za pomocą iloczynu sum algebraicznych, w których niewiadoma jest jak najniższego stopnia