Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Wszystkie wzory na funkcje podwojonego argumentu wyprowadzimy ze wzorów na funkcje trygonometryczne sumy argumentów. Zatem przypomnijmy te wzory.

sinus sumy argumentów
Twierdzenie: sinus sumy argumentów
sinx+y=sinx·cosy+cosx·siny, dla x,y
cosinus sumy argumentów
Twierdzenie: cosinus sumy argumentów
cosx+y=cosx·cosy-sinx·siny, dla x,y
tangens sumy argumentów
Twierdzenie: tangens sumy argumentów

Załóżmy, że xπ2+kπ, yπ2+kπ, x+yπ2+kπ, gdzie k. Wówczas

tgx+y=tgx+tgy1tgxtgy

Zatem wyprowadźmy wzory na funkcje trygonometryczne podwojonego argumentu.

Sinus podwojonego argumentu

Zapiszemy sin2x jako sinx+x i skorzystamy ze wzoru na sinus sumy argumentówsinus sumy argumentówsinus sumy argumentów podstawiając we wzorze za y=x.

sin2x=sinx+x=sinxcosx+sinxcosx=2sinxcosx

Stąd otrzymujemy wzór

sin2x=2sinxcosx.

Cosinus podwojonego argumentu

Zapiszemy cos2x jako cosx+x i skorzystamy ze wzoru na cosinus sumy argumentówcosinus sumy argumentówcosinus sumy argumentów podstawiając we wzorze za y=x.

cos2x=cosx+x=cosxcosx-sinxsinx=cos2x-sin2x

Stąd otrzymujemy wzór

cos2x=cos2x-sin2x.

Korzystając z jedynki trygonometrycznejjedynka trygonometrycznajedynki trygonometrycznej możemy wzór na cosinus podwojonego argumentu zapisać w dwóch innych, przydatnych postaciach:

  • cos2x=cos2x-sin2x=(1-sin2x)-sin2x=1-2sin2x,

  • cos2x=cos2x-sin2x=cos2x-(1-cos2x)=2cos2x-1.

Tangens podwojonego argumentu

Zapiszemy tg2x jako tgx+x i skorzystamy ze wzoru na tangens sumy argumentówtangens sumy argumentówtangens sumy argumentów podstawiając we wzorze za y=x.

tg2x=tgx+x=tgx+tgx1tgxtgx=2tgx1tg2x

Stąd otrzymujemy wzór

tg2x=2tgx1tg2x,

dla xπ4+kπ2xπ2+kπ, gdzie k.

funkcje podwojonego argumentu
Twierdzenie: funkcje podwojonego argumentu
  • sin2x=2sinxcosx, dla x

  • cos2x=cos2x=sin2x=1-2sin2x=2cos2x-1, dla x

  • tg2x=2tgx1tg2x, dla xπ4+kπ2xπ2+kπ, gdzie k

Przykład 1

Obliczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta 15°.

1. Zapisujemy wzór na cosinus kąta 30° jako kąta 2·15°.

32=cos30°=cos2·15°=2cos215°-1

32=2cos215°-1

32+1=2cos215°

32+12=cos215°

Ponieważ kąt 15° jest kątem pierwszej ćwiartki, zatem cos15° jest liczbą dodatnią. Zatem

cos15°=32+12.

Zapiszemy inaczej wartość cos15°.

32+12=34+12=23+48=3+128=3+122=6+24

2. Zapisujemy wzór na cosinus kąta 30° jako kąta 2·15°.

32=cos30°=cos2·15°=1-2sin215°

32=1-2sin215°

1-32=2sin215°

1-322=sin215°

Ponieważ kąt 15° jest kątem pierwszej ćwiartki, zatem sin15° jest liczbą dodatnią. Zatem

sin15°=1-322.

Zapiszemy inaczej wartość sin15°.

1-322=12-34=4-238=3-128=3-122=6-24

3. Obliczymy tangens 15° jako wynik ilorazu wartości funkcji sinus 15° i wartości funkcji cosinus 15°.

tg15°=sin15°cos15°=6-246+24=6-26+2=

=6-26-26+26-2=6-226-2=6-262+24=2-3

Przykład 2

Obliczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta 22,5°.

1. Zapisujemy wzór na cosinus kąta 45° jako kąta 2·22,5°.

22=cos45°=cos222,5°=2cos222,5°1

22=2cos222,5°1

22+1=2cos222,5°

22+12=cos222,5°

Ponieważ kąt 22,5° jest kątem pierwszej ćwiartki, zatem cos22,5° jest liczbą dodatnią. Zatem

cos22,5°=22+12.

Zapiszemy inaczej wartość cos22,5°:

22+12=24+12=2+24=2+22.

2. Zapisujemy wzór na cosinus kąta 45 jako kąta 2·22,5°:

22=cos45°=cos222,5°=12sin222,5°

22=12sin222,5°

122=2sin222,5°

1222=sin222,5°

Ponieważ kąt 22,5° jest kątem pierwszej ćwiartki, zatem sin22,5° jest liczbą dodatnią. Zatem

sin22,5°=1222.

Spróbujemy zapisać inaczej wartość sin22,5°:

1222=1224=224=222.

3. Obliczymy tangens 22,5° jako wynik ilorazu wartości funkcji sinus 22,5° i wartości funkcji cosinus 22,5°:

tg22,5°=sin22,5°cos22,5°=2-222+22=2-22+2=

=2-22+2=(2-2)22=6-422=

=3-22=2-12=2-1.

Przykład 3

Obliczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta 7,5°.

  1. Zapisujemy wzór na cosinus kąta 15° jako kąta 2·7,5°.

6+24=cos15°=cos27,5°=2cos27,5°1

6+24=2cos27,5°1

6+24+1=2cos27,5°

6+2+48=cos27,5°

Ponieważ kąt 7,5° jest kątem pierwszej ćwiartki, zatem cos7,5° jest liczbą dodatnią. Zatem

cos7,5°=6+2+48.

  1. Zapisujemy wzór na cosinus kąta 15° jako kąta 2·7,5°:

6+24=cos15°=cos27,5°=12sin27,5°

6+24=12sin27,5°

16+24=2sin215°

4628=sin27,5°

Ponieważ kąt 7,5° jest kątem pierwszej ćwiartki, zatem sin7,5° jest liczbą dodatnią. Zatem

sin7,5°=4628.

  1. Obliczymy tangens 7,5° jako wynik ilorazu wartości funkcji sinus 7,5° i wartości funkcji cosinus 7,5°:

tg7,5°=sin7,5°cos7,5°=46284+6+28=4624+6+2.

Przykład 4

Obliczymy wartości funkcji trygonometrycznych kątów 67,5°, 75°, 82,5°.

Rozwiązanie

Skorzystamy ze wzorów redukcyjnych prawdziwych dla kątów ostrych:

sin90°-x=cosx

cos90°-x=sinx

tg90°-x=1tgx

Zatem możemy zapisać zależności dla poszukiwanych kątów:

sin67,5°=cos22,5°

cos67,5°=sin22,5°

tg67,5°=1tg22,5°

sin75°=cos15°

cos75°=sin15°

tg75°=1tg15°

sin82,5°=cos7,5°

cos82,5°=sin7,5°

tg82,5°=1tg7,5°

Wyniki możemy zapisać w tabeli:

α

7,5°

15°

22,5°

67,5°

75°

82,5°

sinα

4-6-28

6-24

2-22

2+22

6+24

4+6+28

cosα

4+6+28

6+24

2+22

222

6-24

4-6-28

tgα

4-6-24+6+2

2-3

2-1

2+1

2+3

4+6+24-6-2

Słownik

jedynka trygonometryczna
jedynka trygonometryczna

sin2x+cos2x=1

sinus sumy argumentów
sinus sumy argumentów

sinx+y=sinx·cosy+cosx·siny, dla x,y

cosinus sumy argumentów
cosinus sumy argumentów

cosx+y=cosx·cosy-sinx·siny, dla x,y

tangens sumy argumentów
tangens sumy argumentów

tgx+y=tgx+tgy1tgxtgy, dla xπ2+kπ, yπ2+kπ, x+yπ2+kπ, gdzie k