Przeczytaj

Wszystkie wzory na funkcje podwojonego argumentu wyprowadzimy ze wzorów na funkcje trygonometryczne sumy argumentów. Zatem przypomnijmy te wzory.

sinus sumy argumentów

Twierdzenie: sinus sumy argumentów

\sin (x + y) = \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y

, dla

x, y \in ℝ

cosinus sumy argumentów

Twierdzenie: cosinus sumy argumentów

\cos (x + y) = \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y

, dla

x, y \in ℝ

tangens sumy argumentów

Twierdzenie: tangens sumy argumentów

Załóżmy, że $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , $y \neq \frac{π}{2} + k π$ , $x + y \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ . Wówczas

tg (x + y) = \frac{tg x + tg y}{1 - tg x \cdot tg y}

Zatem wyprowadźmy wzory na funkcje trygonometryczne podwojonego argumentu.

Sinus podwojonego argumentu

Zapiszemy $\sin 2 x$ jako $\sin (x + x)$ i skorzystamy ze wzoru na sinus sumy argumentówsinus sumy argumentówsinus sumy argumentów podstawiając we wzorze za $y = x$ .

$\sin 2 x = \sin (x + x) = \sin x \cos x + \sin x \cos x = 2 \sin x \cos x$

Stąd otrzymujemy wzór

\sin 2 x = 2 \sin x \cos x

Cosinus podwojonego argumentu

Zapiszemy $\cos 2 x$ jako $\cos (x + x)$ i skorzystamy ze wzoru na cosinus sumy argumentówcosinus sumy argumentówcosinus sumy argumentów podstawiając we wzorze za $y = x$ .

$\cos 2 x = \cos (x + x) = \cos x \cos x - \sin x \sin x = \cos^{2} x - \sin^{2} x$

Stąd otrzymujemy wzór

\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x

Korzystając z jedynki trygonometrycznejjedynka trygonometrycznajedynki trygonometrycznej możemy wzór na cosinus podwojonego argumentu zapisać w dwóch innych, przydatnych postaciach:

$\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x = (1 - \sin^{2} x) - \sin^{2} x = 1 - 2 \sin^{2} x$ ,

$\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x = \cos^{2} x - (1 - \cos^{2} x) = 2 \cos^{2} x - 1$ .

Tangens podwojonego argumentu

Zapiszemy $tg 2 x$ jako $tg (x + x)$ i skorzystamy ze wzoru na tangens sumy argumentówtangens sumy argumentówtangens sumy argumentów podstawiając we wzorze za $y = x$ .

$tg 2 x = tg (x + x) = \frac{tg x + tg x}{1 - tg x \cdot tg x} = \frac{2 tg x}{1 - {tg}^{2} x}$

Stąd otrzymujemy wzór

t g 2 x = \frac{2 t g x}{1 - {t g}^{2} x}

dla $x \neq \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}$ i $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

funkcje podwojonego argumentu

Twierdzenie: funkcje podwojonego argumentu

$\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$ , dla $x \in ℝ$

$\cos 2 x = \cos^{2} x = \sin^{2} x = 1 - 2 \sin^{2} x = 2 \cos^{2} x - 1$ , dla $x \in ℝ$

$tg 2 x = \frac{2 tg x}{1 - {tg}^{2} x}$ , dla $x \neq \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}$ i $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$

Przykład 1

Obliczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta $15 °$ .

1. Zapisujemy wzór na cosinus kąta $30 °$ jako kąta $2 \cdot 15 °$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos 30 ° = \cos (2 \cdot 15 °) = 2 \cos^{2} (15 °) - 1$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cos^{2} (15 °) - 1$

$\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 2 \cos^{2} 15 °$

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + 1}{2} = \cos^{2} 15 °$

Ponieważ kąt $15 °$ jest kątem pierwszej ćwiartki, zatem $\cos 15 °$ jest liczbą dodatnią. Zatem

$\cos 15 ° = \sqrt{\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + 1}{2}}$ .

Zapiszemy inaczej wartość $\cos 15 °$ .

$\sqrt{\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} + 1}{2}} = \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2 \sqrt{3} + 4}{8}} = \sqrt{\frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{2}}{8}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

2. Zapisujemy wzór na cosinus kąta $30 °$ jako kąta $2 \cdot 15 °$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos 30 ° = \cos (2 \cdot 15 °) = 1 - 2 \sin^{2} 15 °$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - 2 \sin^{2} 15 °$

$1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \sin^{2} 15 °$

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \sin^{2} 15 °$

Ponieważ kąt $15 °$ jest kątem pierwszej ćwiartki, zatem $\sin 15 °$ jest liczbą dodatnią. Zatem

$\sin 15 ° = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$ .

Zapiszemy inaczej wartość $\sin 15 °$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}} = \sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{8}} = \sqrt{\frac{{(\sqrt{3} - 1)}^{2}}{8}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

3. Obliczymy tangens $15 °$ jako wynik ilorazu wartości funkcji sinus $15 °$ i wartości funkcji cosinus $15 °$ .

$tg 15 ° = \frac{\sin 15 °}{\cos 15 °} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} =$

$= \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{6 - 2} = \frac{6 - 2 \sqrt{6} \sqrt{2} + 2}{4} = 2 - \sqrt{3}$

Przykład 2

Obliczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta $22, 5 °$ .

1. Zapisujemy wzór na cosinus kąta $45 °$ jako kąta $2 \cdot 22, 5 °$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos 45 ° = \cos (2 \cdot 22, 5 °) = 2 \cos^{2} 22, 5 ° - 1$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cos^{2} 22, 5 ° - 1$

$\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = 2 \cos^{2} 22, 5 °$

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{2} = \cos^{2} 22, 5 °$

Ponieważ kąt $22, 5 °$ jest kątem pierwszej ćwiartki, zatem $\cos 22, 5 °$ jest liczbą dodatnią. Zatem

$\cos 22, 5 ° = \sqrt{\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{2}}$ .

Zapiszemy inaczej wartość $\cos 22, 5 °$ :

$\sqrt{\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{2}} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{\sqrt{2} + 2}{4}} = \frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2}$ .

2. Zapisujemy wzór na cosinus kąta $45^{\circ}$ jako kąta $2 \cdot 22, 5 °$ :

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos 45 ° = \cos (2 \cdot 22, 5 °) = 1 - 2 \sin^{2} 22, 5 °$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = 1 - 2 \sin^{2} 22, 5 °$

$1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \sin^{2} 22, 5 °$

$\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \sin^{2} 22, 5 °$

Ponieważ kąt $22, 5 °$ jest kątem pierwszej ćwiartki, zatem $\sin 22, 5 °$ jest liczbą dodatnią. Zatem

$\sin 22, 5 ° = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Spróbujemy zapisać inaczej wartość $\sin 22, 5 °$ :

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

3. Obliczymy tangens $22, 5 °$ jako wynik ilorazu wartości funkcji sinus $22, 5 °$ i wartości funkcji cosinus $22, 5 °$ :

$tg 22, 5 ° = \frac{\sin 22, 5 °}{\cos 22, 5 °} = \frac{\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}} =$

$= \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}} = \sqrt{\frac{(2 - \sqrt{2})^{2}}{2}} = \sqrt{\frac{6 - 4 \sqrt{2}}{2}} =$

$= \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} = \sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}} = \sqrt{2} - 1$ .

Przykład 3

Obliczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta $7, 5 °$ .

Zapisujemy wzór na cosinus kąta $15 °$ jako kąta $2 \cdot 7, 5 °$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \cos 15 ° = \cos (2 \cdot 7, 5 °) = 2 \cos^{2} 7, 5 ° - 1$

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 2 \cos^{2} 7, 5 ° - 1$

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + 1 = 2 \cos^{2} 7, 5 °$

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + 4}{8} = \cos^{2} 7, 5 °$

Ponieważ kąt $7, 5 °$ jest kątem pierwszej ćwiartki, zatem $\cos 7, 5 °$ jest liczbą dodatnią. Zatem

$\cos 7, 5 ° = \sqrt{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + 4}{8}}$ .

Zapisujemy wzór na cosinus kąta $15 °$ jako kąta $2 \cdot 7, 5 °$ :

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \cos 15 ° = \cos (2 \cdot 7, 5 °) = 1 - 2 \sin^{2} 7, 5 °$

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 1 - 2 \sin^{2} 7, 5 °$

$1 - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 2 \sin^{2} 15 °$

$\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} = \sin^{2} 7, 5 °$

Ponieważ kąt $7, 5 °$ jest kątem pierwszej ćwiartki, zatem $\sin 7, 5 °$ jest liczbą dodatnią. Zatem

$\sin 7, 5 ° = \sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}}$ .

Obliczymy tangens $7, 5 °$ jako wynik ilorazu wartości funkcji sinus $7, 5 °$ i wartości funkcji cosinus $7, 5 °$ :

$tg 7, 5 ° = \frac{\sin 7, 5 °}{\cos 7, 5 °} = \frac{\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}}}{\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}}} = \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}$ .

Przykład 4

Obliczymy wartości funkcji trygonometrycznych kątów $67, 5 °$ , $75 °$ , $82, 5 °$ .

Rozwiązanie

Skorzystamy ze wzorów redukcyjnych prawdziwych dla kątów ostrych:

$\sin (90 ° - x) = \cos x$

$\cos (90 ° - x) = \sin x$

$tg (90 ° - x) = \frac{1}{tg x}$

Zatem możemy zapisać zależności dla poszukiwanych kątów:

$\sin 67, 5 ° = \cos 22, 5 °$

$\cos 67, 5 ° = \sin 22, 5 °$

$tg 67, 5 ° = \frac{1}{tg 22, 5 °}$

$\sin 75 ° = \cos 15 °$

$\cos 75 ° = \sin 15 °$

$tg 75 ° = \frac{1}{tg 15 °}$

$\sin 82, 5 ° = \cos 7, 5 °$

$\cos 82, 5 ° = \sin 7, 5 °$

$tg 82, 5 ° = \frac{1}{tg 7, 5 °}$

Wyniki możemy zapisać w tabeli:

$α$	$7, 5 °$	$15 °$	$22, 5 °$	$67, 5 °$	$75 °$	$82, 5 °$
$\sin α$	$\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}}$	$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$	$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$	$\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}}$
$\cos α$	$\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}}$	$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$	$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$	$\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}}$
$tg α$	$\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}}$	$2 - \sqrt{3}$	$\sqrt{2} - 1$	$\sqrt{2} + 1$	$2 + \sqrt{3}$	$\sqrt{\frac{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}$

Słownik

jedynka trygonometryczna

$\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$

sinus sumy argumentów

$\sin (x + y) = \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y$ , dla $x, y \in ℝ$

cosinus sumy argumentów

$\cos (x + y) = \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y$ , dla $x, y \in ℝ$

tangens sumy argumentów

$tg (x + y) = \frac{tg x + tg y}{1 - tg x \cdot tg y}$ , dla $x \neq \frac{π}{2} + k π$ , $y \neq \frac{π}{2} + k π$ , $x + y \neq \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$

Wprowadzenie

Gra edukacyjna

Sinus podwojonego argumentu

Cosinus podwojonego argumentu

Tangens podwojonego argumentu

Słownik