Warto przeczytać

O strumieniu indukcji magnetycznej możesz przeczytać więcej w e‑materiale „Czym jest strumień indukcji magnetycznej?”. Tutaj tylko przypomnimy tę wielkość fizyczną.

Wyobraź sobie jednorodne pole magnetyczne opisane wektorem indukcji magnetycznej $\overrightarrow{B}$. Umieszczamy w tym polu płaską powierzchnię o polu powierzchni o wartości $S$ w zupełnie dowolny sposób tzn. pod dowolnym kątem w stosunku do wektora $\overrightarrow{B}$. Zdefiniujmy teraz wektor $\overrightarrow{S}$, prostopadły do płaszczyzny powierzchni. Długość tego wektora niech będzie równa wartości powierzchni.

R1XIxigSnV0dr

Rys. 1a. Rysunek przedstawia prostokątną powierzchnię o czarnych krawędziach i białym środku umieszczoną w zewnętrznym polu magnetycznym. Powierzchnia jest pochylona w kierunku od lewego i dolnego rogu rysunku do prawego i górnego rogu rysunku. Płaszczyzna wyznaczona przez powierzchnię jest pochylona w prawo. Wektor powierzchni wielka litera S, narysowano w postaci czerwonej strzałki, prostopadłej do powierzchni, przyłożonej do jej środka i skierowanej w prawo i w dół. Linie sił pola narysowano szarymi, poziomymi strzałkami skierowanymi w prawo, jedna nad drugą, widoczne wokół ramki.

Strumieniem indukcji magnetycznej przez powierzchnię $S$ nazywamy iloczyn skalarny wektorów $\overrightarrow{B}$ i $\overrightarrow{S}$,

gdzie $\alpha =\sphericalangle \left(\overrightarrow{B},\overrightarrow{S}\right)$.

Strumień jest wielkością skalarną, a jego jednostką jest weber (Wb). 1 Wb = 1 T·mIndeks górny 2²

Zauważ, że możemy sobie wyobrazić ${\Phi }_B$ jako iloczyn wartości $B$ i $S_{\perp }$, gdzie $S_{\perp }=Scos\alpha$. Wielkość ta ma prostą interpretację: patrząc na powierzchnię wzdłuż kierunku pola magnetycznego widzimy jej rzut. Jego pole ma zawsze mniejszą wartość niż pole oryginalnej powierzchni, właśnie o czynnik równy cosinusowi kąta między kierunkiem patrzenia i kierunkiem prostopadłym do powierzchni. Analogicznie, zawsze możesz obliczyć wartość strumienia pola magnetycznego mnożąc składową indukcji magnetycznej prostopadłą do powierzchni $B_{\perp }$ ($B_{\perp }=Bcos\alpha$) przez wartość powierzchni (zobacz Rys. 1b. i 1c.; dla wygody powierzchnia została narysowana z boku, tj. prostokąt zastępujemy odcinkiem).

RwSXwL0aIo3o2

Rys. 1b. Rysunek przedstawia rzut powierzchni płaskiej umieszczonej w polu magnetycznym o indukcji wielka litera B. Rzut widoczny w płaszczyźnie prostopadłej względem kierunku indukcji magnetycznej. Kierunek wyznaczony przez wektor indukcji magnetycznej pokazano w postaci niebieskich poziomych strzałek skierowanych w prawo, obrazujących kierunek wektora indukcji magnetycznej. Jest ich siedem i pokazano je jedna nad drugą. Strzałki obrazujące kierunek wektora indukcji magnetycznej są równoległe względem siebie. Na tle strzałek obrazujących kierunek wektora indukcji magnetycznej pokazano pochylony w prawo względem kierunku pionowego czarny odcinek symbolizujący powierzchnię wielka litera S. Kąt pomiędzy odcinkiem symbolizującym powierzchnię a kierunkiem pionowym oznaczono małą grecką literą alfa. Kąt mała grecka litera alfa jest ostry i widoczny w prawej górnej części rysunku. Wektor powierzchni narysowano w postaci czerwonej strzałki skierowanej w prawo i w dół. Wektor powierzchni oznaczono wielką literą S. Kierunek pionowy oznaczono wielką literą S z indeksem dolnym symbol prostopadłości. Oznacza to, że jest to kierunek prostopadły względem kierunku wyznaczonego przez wektor indukcji magnetycznej.

Rd0RrWyBAS2M9

Rys. 1c. Rysunek przedstawia w centralnej części odcinek opisany wielką literą S, który jest pochylony od kierunku pionowego. Odcinek wyznacza kierunek od lewego dolnego rogu do prawego i górnego rogu rysunku. Odcinek ten symbolizuje rzut powierzchni płaskiej. Powierzchnia płaska umieszczona jest w zewnętrznym polu magnetycznym. Wektor indukcji pola magnetycznego zewnętrznego pola narysowano w postaci niebieskich poziomych strzałek skierowanych w prawo. Jest ich siedem. Pokazano je jedna nad drugą i są względem siebie równoległe. Ze środka odcinka symbolizującego powierzchnią wychodzą trzy wektory. Jeden z wektorów jest poziomy, narysowany niebieską strzałką i pokrywa się z kierunkiem wektora indukcji magnetycznej. Opisano go wielką literą B. Drugi z wektorów również jest niebieski. Jest prostopadły do powierzchni wielka litera S i skierowany w prawo i w dół. Oznaczono go wielką literą B i indeksem dolnym, w którym jest symbol prostopadłości. Trzeci wektor opisany wielką literą S jest prostopadły do powierzchni wielka litera S skierowany w prawo i w dół. Narysowano go w postaci czerwonej strzałki pokrywającej się z wektorem indukcji magnetycznej prostopadłej do powierzchni. Wektor powierzchni wielka litera S jest krótszy od wektora indukcji magnetycznej prostopadłej do powierzchni. Kąt pomiędzy wektorem wielka litera B i wektorem powierzchni oznaczono małą grecką literą alfa. Kąt mała grecka litera alfa jest kątem ostrym. Końce wektorów indukcji magnetycznej wielka litera B i wielka litera B z indeksem dolnym symbol prostopadłości połączono czarnym przerywanym odcinkiem. Czarny przerywany odcinek jest równoległy względem powierzchni wielka litera S.

A jak obliczyć strumień pola magnetycznego, jeśli pole nie jest jednorodne, a powierzchnia jest zakrzywiona? W rozważanych dalej przypadkach warto mieć o tym intuicyjne pojęcie, ponieważ będziemy rozpatrywać strumień przez powierzchnię zamkniętą, a taka powierzchnia nie może być (wszędzie) płaska!

Dzielimy powierzchnię, przez którą mamy obliczyć strumień na tak małe fragmenty $dS$, żeby móc uznać, że są one płaskie i pole jest „na nich” jednorodne. Wszystko po to, żeby móc zastosować definicję strumienia. Obliczamy wobec tego małe „strumyczki” i je sumujemy. Opisana procedura nosi nazwę całkowania po powierzchni, co zapisuje się jako

Wcale nie musisz obliczać takich całek, ale warto rozumieć sens takiej procedury.

Szczególną powierzchnią, dla której obliczanie strumienia przynosi ciekawe wyniki, jest powierzchnia zamknięta, zwana powierzchnią Gaussa. Należy sobie ją wyobrażać jako powierzchnię (brzeg) bryły. Wtedy można określić wektory powierzchni $\overrightarrow{\Delta S}$ – umówiono się, że zwrócone są na zewnątrz bryły (na Rys. 2. zaznaczone są czarnymi strzałkami).

R1B6tU9u1SReG

Rys. 2. Rysunek przedstawia powierzchnię zamkniętą w postaci wydłużonej i wypukłej bryły wygiętej w prawo i w dół. Powierzchnia bryły jest niebieska, podzielona na mniejsze elementy białymi liniami. Z kilku elementów stanowiących powierzchnię bryły wychodzą czarne strzałki. Czarne strzałki obrazują wektory powierzchni prostopadłe do elementów bryły opisanych mniejszymi jej fragmentami. Czarne strzałki skierowane są na zewnątrz bryły.

W elektrostatyce można udowodnić, że strumień natężenia pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy całkowitemu ładunkowi w obszarze ograniczonym tą powierzchnią, podzielonemu przez stałą przenikalności elektrycznej próżni ${\epsilon }_0$,

Jeśli wobec tego otoczymy powierzchnią Gaussa jeden z ładunków dipola elektrycznego (Rys. 3.), to  otrzymamy niezerowy strumień – dodatni dla ładunku dodatniego, ujemny dla ujemnego. Wielkość strumienia nie będzie zależeć od kształtu tej powierzchni ani jej umiejscowienia - byle obejmowała sobą niezerowy ładunek.

Uwaga: strumień pola wektorowego przez powierzchnię jest znaną w geometrii wielkością i w ogólności - dla dowolnych powierzchni i pól - nie ma powyższych własności, wyjątkowych dla elektromagnetyzmu.

RMyo7Yf7OjQ3m

Rys. 3. Rysunek przedstawia powierzchnię Gaussa wytworzoną wokół jednego z ładunków dipola elektrycznego. W centralnej części pokazano dwa ładunki elektryczne, jeden obok drugiego na tej samej wysokości. Ładunek po lewej w postaci czerwonego kółka z wpisanym białym znakiem plus. Ładunek po prawej w postaci niebieskiego kółka z wpisanym białym znakiem minus. Pomiędzy ładunkami widoczne są linie pola elektrycznego narysowane czarnym kolorem. Linie pola elektrycznego tworzą krzywe łączące oba ładunki elektryczne. Linie pola elektrycznego są wypukłe i biegną od ładunku dodatniego ku ładunkowi ujemnemu. Linie pola elektrycznego są wygięte w górę i w dół względem linii łączącej oba ładunki. Kierunek pola elektrycznego zaznaczono w postaci narysowanych grotów czarnych strzałek. Biegnące na zewnątrz obu ładunków są rozbieżne i wygięte w taki sposób, by łączyły oba ładunki tworząc coraz dłuższe łuki. Obszar wokół lewego ładunku dodatniego otoczono zieloną elipsą. Długa oś elipsy wyznacza kierunek poziomy.

Jeśli jednak zwiększymy tę powierzchnię i otoczymy cały dipol powierzchnią Gaussa, to całkowity ładunek wewnątrz powierzchni będzie równy zeru i wobec tego także strumień pola elektrycznego przez tę powierzchnię. Rzeczywiście, jeśli przyjrzymy się Rys. 4., to zobaczymy, że tyle samo linii pola wychodzi z powierzchni na zewnątrz, co wchodzi przez nią do obszaru objętego powierzchnią.

RjkbXKd8C8R4c

Rys. 4. Rysunek przedstawia powierzchnię Gaussa wytworzoną wokół jednego z ładunków dipola elektrycznego. W centralnej części rysunku pokazano dwa ładunki elektryczne jeden obok drugiego, na tej samej wysokości. Ładunek po lewej w postaci czerwonego kółka z wpisanym białym znakiem plus. Ładunek po prawej w postaci niebieskiego kółka z wpisanym białym znakiem minus. Pomiędzy ładunkami widoczne są linie pola elektrycznego narysowane czarnym kolorem. Linie pola elektrycznego tworzą krzywe łączące oba ładunki elektryczne. Linie pola elektrycznego są wypukłe i biegną od ładunku dodatniego ku ładunkowi ujemnemu. Linie pola elektrycznego są wygięte w górę i w dół względem linii łączącej oba ładunki. Kierunek pola elektrycznego zaznaczono w postaci narysowanych grotów czarnych strzałek. Biegnące na zewnątrz obu ładunków są rozbieżne i wygięte w taki sposób, by łączyły oba ładunki tworząc coraz dłuższe łuki. Obszar obejmujący oba ładunki elektryczne zakreślony został poziomą elipsą narysowaną zielonym kolorem. Długa oś elipsy znajduje się w kierunku poziomym.

Z taką samą sytuacją będziemy mieli do czynienia, gdy powierzchnię Gaussa umieścimy tak, że nie będzie obejmowała dipola. Więcej na ten temat dowiesz się z  e‑materiału „Prawo Gaussa dla pola elektrycznego”.

Ciekawe, że zupełnie inaczej jest z polem magnetycznym. Tutaj, gdziekolwiek umieścimy dowolną powierzchnię zamkniętą, zawsze otrzymamy strumień indukcji przez tę powierzchnię równy zeru:

I to jest właśnie treść prawa Gaussa dla pola magnetycznego.

Poglądowo rzecz ujmując: jeśli rozważamy dowolną powierzchnię zamkniętą umieszczoną w polu magnetycznym, to tyle samo linii pola do niej wchodzi, co wychodzi.

Spójrzmy na pole wytworzone przez magnes. Jasne, że gdy otoczymy cały magnes powierzchnią Gaussa (Rys. 5.), to otrzymamy - podobnie jak w przypadku dipola elektrycznego - zerowy strumień indukcji.

RwVnbESwFpWPb

Rys. 5. Rysunek przedstawia linie pola magnetycznego wytworzone przez magnes sztabkowy. Magnes pokazano w postaci poziomego szarego prostokąta. Obok lewej krawędzi magnesu zapisano symbol bieguna wielka litera S. Obok prawej krawędzi magnesu zapisano symbol bieguna wielka litera N. Linie sił pola narysowano czarnym kolorem. Linie pola magnetycznego skierowane są od bieguna wielka litera N do bieguna wielka litera S. Linie pola magnetycznego wychodzą z bocznych krawędzi magnesu i tworzą krzywe zamknięte. Linie pola magnetycznego widoczne blisko prawej i lewej krawędzi magnesu są rozbieżne. Linie pola magnetycznego obiegają magnes z góry i z dołu. Linie pola magnetycznego widoczne są również wewnątrz magnesu. Domykają one krzywe, widoczne na zewnątrz elementu magnetycznego. Jedna z linii pola magnetycznego jest pozioma i pokrywa się z osią symetrii magnesu. Wokół magnesu zaznaczono zieloną linią powierzchnię Gaussa. Jest to okrąg obejmujący cały magnes i przechodzący przez środki biegunów magnesu.

A co by było, gdyby powierzchnią Gaussa objąć tylko jeden biegun magnesu?

Powierzchnię można zmniejszyć, ew. przemieścić, ale tu okazuje się, że pojęcie „jeden biegun” jest w tym sensie puste, że nie da się uzyskać w ten sposób niezerowego strumienia. Dodatni wkład do strumienia (od bieguna N) jest dokładnie taki sam, jak ujemny pochodzący od bieguna S (Rys. 6.). Zauważ, że wprawdzie powierzchnia, przez którą linie pola magnetycznegolinie pola magnetycznegolinie pola magnetycznego wchodzą jest mniejsza (przekrój magnesu), ale za to wartość indukcji magnetycznej jest większa, co poglądowo obrazuje się przez większe zagęszczenie linii pola.

R1UEHUhxkfxcO

Rys. 6. Rysunek przedstawia linie pola magnetycznego wytworzone przez magnes sztabkowy. Magnes pokazano w postaci poziomego szarego prostokąta. Obok lewej krawędzi magnesu zapisano symbol bieguna wielka litera S. Obok prawej krawędzi magnesu zapisano symbol bieguna wielka litera N. Linie sił pola narysowano czarnym kolorem. Linie pola magnetycznego skierowane są od bieguna wielka litera N do bieguna wielka litera S. Linie pola magnetycznego wychodzą z bocznych krawędzi magnesu i tworzą krzywe zamknięte. Linie pola magnetycznego widoczne blisko prawej i lewej krawędzi magnezu są rozbieżne. Linie pola magnetycznego obiegają magnes z góry i z dołu. Linie pola magnetycznego widoczne są również wewnątrz magnesu. Domykają one krzywe, widoczne na zewnątrz elementu magnetycznego. Jedna z linii pola magnetycznego jest pozioma i pokrywa się z osią symetrii magnesu. Obszar wokół prawego bieguna magnetycznego magnesu wielka litera N zakreślono okręgiem narysowanym zielonym kolorem.

Opisany został tu jedynie jakościowo pewien przypadek szczególny. Fizycy jednak dokonali dokładnych pomiarów i obliczeń i za każdym razem uzyskali ten sam wynik – prawo Gaussa jest faktem doświadczalnym i jednym z podstawowych praw teorii elektromagnetyzmu.

Zerowanie się strumienia indukcji magnetycznej przez dowolną zamkniętą powierzchnię ma swoją interpretację. Mówimy, że pole magnetyczne jest bezźródłowe, w tym sensie, że nie ma punktowych źródeł, jak np. elektrostatyczne. Linie pola magnetycznegolinie pola magnetycznegoLinie pola magnetycznego są krzywymi zamkniętymi, ewentualnie zamykają się w nieskończoności. Nie zaczynają się wobec tego od punktowych „ładunków” ani na nich nie kończą.

Słowniczek