Przeczytaj

W zbiorze liczb całkowitych mamy zdefiniowane dzielenie z resztą.
Wiemy, że przy dzieleniu liczby $a$ przez liczbę $b$ możemy uzyskać całkowity iloraz $c$ oraz resztę $r$ , przy czym reszta jest liczbą całkowitą taką, że $0 \leq r < |b|$ .
Zachodzi wtedy równość $a = b \cdot c + r$ .

Wielomian $W (x)$ jest podzielny przez niezerowy wielomian $P (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian $Q (x)$ taki, że $W (x) = P (x) \cdot Q (x)$ .

Przykład 1

Obliczymy sposobem pisemnym iloraz wielomianów $W (x) = 2 x^{6} + x^{5} - x^{3} - 40 x^{2} + 24 x + 40$ oraz $P (x) = 2 x^{2} + x + 10$ .

R1WjhM0qutvfs

Etapy dzielenia.

Zastosowany zapis przypomina dzielenie pisemne liczb naturalnych. Zapiszmy oba wielomiany i narysujmy poziomą linię nad pierwszym z nich.
Podzielmy pierwsze wyrazy obu wielomianów: $2 x^{6} : 2 x^{2}$ . Uzyskany wynik $x^{4}$ zapiszmy nad pierwszym wyrazem pierwszego wielomianu.
Obliczmy iloczyn zapisanego wyrażenia przez drugi wielomian:
$x^{4} \cdot (2 x^{2} + x + 10)$ . Uzyskany wynik zapiszmy pod pierwszym wielomianem dopisując znak odejmowania, czyli $-2x^6-x^5-10x^4$ .
Wykonajmy odejmowanie. Wynik zapiszmy pod kreską. Wynosi on $-10x^4$ . Nie trzeba zapisywać wszystkich wyrazów różnicy, wystarczy o jeden więcej niż stopień wielomianu, przez który dzielimy. Otrzymujemy więc wielomian: $-10x^4-x^3-40x^2$ .
Podzielmy pierwszy wyraz uzyskanej różnicy przez pierwszy wyraz wielomianu, przez który dzielimy: $- 10 x^{4} : 2 x^{2}$ . Dodajemy uzyskany wynik $- 5 x^{2}$ do zapisu nad kreską.
Teraz podobnie jak poprzednio obliczymy iloczyn wyniku ostatniego dzielenia przez drugi wielomian: $- 5 x^{2} \cdot (2 x^{2} + x + 10)$ . Uzyskany wynik analogicznie dopisujemy ze znakiem minus.
Podobnie jak wcześniej wykonujemy odejmowanie, uzupełniając wynik składnikami pierwszego wielomianu. Mamy więc odejmowanie pisemne. Od wielomianu $-10x^4-x^3-40x^2$ odejmujemy wielomian $10x^4+5x^3+50x^2$ . Wynikiem odejmowania wielomianów jest $4x^3+10x^2$ . Następnie dopisujemy do tego wielomianu $+24x$ .
Powtarzamy cały schemat, dopóki stopień wielomianu uzyskanego po odejmowaniu nie jest mniejszy od stopnia wielomianu, przez który dzielimy.
Jeżeli uzyskana różnica będzie stopnia mniejszego niż wielomian, przez który dzielimy lub będzie wielomianem zerowym, kończymy wykonywanie algorytmu.
Jednomian $4x^3$ dzielimy przez pierwszy jednomian dzielnika, czyli przez $2x^2$ . Otrzymujemy $2x$ , zatem dopisujemy w wierszu wynikowym $+2x$ i mnożymy jednomian $2x$ przez wielomian będący dzielnikiem. Poniżej zapisujemy iloczyn ze zmienionym znakiem, czyli $-4x^3-2x^2-20x$ .
Dodajemy do siebie te wielomiany. Pod kreską zapisujemy wynik: $8x^2+4x$ . Dopisujemy do niego ostatni jednomian wielomianu $W$ , czyli $+40$ .
Jednomian $8x^2$ dzielimy przez pierwszy jednomian dzielnika $P$ , czyli $2x^2$ . Otrzymany wynik $4$ zapisujemy w wierszu wynikowym jako $+4$ i mnożymy przez ten jednomian dzielnik $P$ . Poniżej w wierszu zapisujemy iloczyn ze zmienionym znakiem, czyli $-8x^2-4x-40$ .
Dodajemy do siebie dwa otrzymane wielomiany i pod kreską zapisujemy wynik, który wynosi $0$ .
Wielomian zapisany u góry nad kreską jest ilorazem. Wynosi on $x^4-5x^2+2x+4$ .
Uwaga! Jeśli ostatnia uzyskana różnica jest wielomianem zerowym (jak w podanym przykładzie), to pierwszy wielomian jest podzielny przez drugi wielomian. W przeciwnym wypadku uzyskana różnica jest resztą z dzielenia.

Przykład 2

Pokażemy, jak podzielićpodzielność wielomianówpodzielić wielomian $W (x) = 2 x^{6} + x^{5} - 17 x^{4} - x^{3} + 45 x^{2} - 10 x - 28$ przez wielomian $P (x) = 2 x^{2} + x - 7$ sposobem pisemnym.

Metoda dzielenia w pewnym stopniu przypomina sposób, w jaki pisemnie dzielimy dwie liczby całkowite.

Po ułożeniu puzzli zobaczysz, jak można zapisywać takie dzielenie.

Kolejne etapy dzielenia pisemnego wielomianów.

Zapisujemy wielomian wu od x dzielony przez wielomian P od x.
Pierwszy jednomian z wielomianu wu dzielimy kolejno przez pierwszy jednomian wielomianu P i wynik zapisujemy nad górną poziomą kreską oddzielającą wynik główny od dzielenia pisemnego.
Następnie mnożymy jednomian wyniku głównego przez kolejne składniki dzielnika czyli wielomianu pe od x i zapisujemy je z przeciwnym znakiem pod dzielną, czyli pod wielomianem wu od x.
Odkreślamy poziomą kreską i dodajemy pisemnie oba nowe wielomiany. Wynik tego działania zapisujemy pod kreską.
Przepisujemy po prawej stronie wyniku dodawania nowo powstałych wielomianów, kolejne pozostałe jednomiany dzielnej wu od x, ale nie wszystkie, tylko tyle, żeby nowa dzielna i dzielnik składały się z takiej samej liczby jednomianów.
Pierwszy jednomian tego wyniku jest naszą nową dzielną, którą dzielimy przez pierwszy jednomian wielomianu p od x.
Powtarzamy schemat od punktu drugiego, aż otrzymamy wynik dzielenia całego wielomianu.

Dzielenie w kolejnych etapach na podanym przykładzie.
Dzielna to wielomian wu postaci dwa x do potęgi szóstej dodać x do potęgi piątej odjąć siedemnaście x do potęgi czwartej odjąć x do sześcianu dodać 45 x kwadrat odjąć 10 x odjąć dwadzieścia osiem.
Dzielnik to wielomian p od x postaci: dwa x kwadrat dodać x odjąć siedem.
Kolejne etapy dzielenia na przykładzie wymienimy poniżej w kolejnych punktach.

Bierzemy pierwszy jednomian wielomianu wu od x, czyli jednomian postaci 2 x do potęgi szóstej i dzielimy go po kolei przez jednomiany składowe wielomianu pe od x. Nad kreską wyniku głównego zapisujemy x do potęgi czwartej, ponieważ 2 x do potęgi szóstej podzielić na 2 x kwadrat równa się x do potęgi czwartej.
Następnie pod wielomianem wu od x zapisujemy minus 2 x do potęgi szóstej i dzielimy kolejne iloczyny jednomianu x do potęgi czwartej z pozostałymi jednomianami dzielnika. Czyli mamy drugi jednomian: x do potęgi czwartej razy x równa się x do potęgi piątej oraz x do potęgi czwartej razy minus siedem równa się minus 7 x do potęgo czwartej. Zatem pod wielomianem wu od x mamy wielomian minus 2 x do potęgi szóstej odjąć x do potęgi piątej dodać siedem x. Oddzielamy kreską pionową kolejny wiersz i zapisujemy pod kreską sumę. Potęgi szóste i piąte redukują się, więc wynikiem jest jednomian minus 10 x do potęgi czwartej.
Powtarzamy schemat. Przez jednomian minus 10 x do potęgi czwartej dzielimy pierwszy jednomian wielomianu p od x. To daje minus 5 x kwadrat. Wynik ten zapisujemy jako drugi jednomian wyniku głównego. Następnie zapisujemy za jednomianem minus 10 x do potęgi czwartej dwa kolejne jednomiany wielomiany wu od x, czyli minus x do sześcianu dodać 45 x kwadrat. W kolejnym wierszu zapisujemy iloczyny jednomianu minus 5 x kwadrat wielomianu p od x, ale z przeciwnym znakiem. Mamy więc 10 x do potęgi czwartej dodać 5 x do sześcianu odjąć 35 x kwadrat. Po dodaniu wielomianów w obu wierszach, otrzymujemy wielomian: x do sześcianu dodać 10 x kwadrat.
Przepisujemy za nowym wynikiem kolejny jednomian wielomianu wu od x, czyli minus 10 x. Ponawiamy schemat. Naszą nową dzielną jest jednomian 4 x do sześcianu. Dzielimy ten jednomian przez 2 x kwadrat, otrzymując 2 x. Zapisujemy wynik dalej nad kreską wynikową. Przepisujemy ostatni jednomian wielomianu wu od x, czyli minus 10 x. Mnożymy kolejne jednomiany dzielnika przez 2 x i zapisujemy iloczyny ze zmienionym znakiem w wierszu poniżej. Mamy więc minus 4 x do sześcianu odjąć 2 x kwadrat dodać 14 x. Pod wielomianem wykreślamy poziomą kreskę oddzielającą. Dodajemy oba wielomiany.
Trzecie potęgi się redukują, więc wynikiem dodawania jest wielomian 8 x kwadrat dodać 4 x i przepisujemy ostatni już jednomian wielomianu wu od x, czyli minus dwadzieścia osiem. Naszą nową dzielną jest 8 x kwadrat, którą dzielimy przez 2 x kwadrat. Zapisujemy w wierszu wynikowym iloraz cztery. Mnożymy teraz przez 4 wielomian p od x. Iloczyn zapisujemy w kolejnym wierszu, ale ze zmienionym znakiem. Mamy więc: minus 8 x kwadrat odjąć 4 x dodać 28, a po dodaniu tych dwóch wielomianów otrzymujemy zero. Zatem wynik to x do potęgi czwartej odjąć 5 x kwadrat dodać 2 x dodać cztery.

R169hV2YCBhlc

Ćwiczenie 1

A co w sytuacji, gdy dla danego wielomianu $W (x)$ i niezerowego wielomianu $P (x)$ nie istnieje wielomian $Q (x)$ taki, że $W (x) = P (x) \cdot Q (x)$ ?

Dzielenie wielomianów z resztą

Twierdzenie: Dzielenie wielomianów z resztą

Dla każdego wielomianu $W (x)$ i niezerowego wielomianu $P (x)$ istnieją wielomiany $Q (x)$ i $R (x)$ takie, że $W (x) = P (x) \cdot Q (x) + R (x)$ , przy czym wielomian $R (x)$ , nazywany resztą z dzielenia, jest stopnia mniejszego niż stopień wielomianu $P (x)$ lub jest wielomianem zerowym.

Przykład 3

Wykonamy dzielenie: $(2 x^{4} - 12 x^{3} + 8 x^{2} - 21 x + 7) : (2 x^{2} + 4)$ .

Rozwiązanie

R1ThrXYyz93iX

Ilustracja przedstawia dzielenie pisemne wielomianów 8x3-22x2+36x-24 oraz 4x-5, nad działaniem znajduje się pozioma linia wyniku, pod działaniem zapisujemy wyniki dzielenia. Rozważmy pierwszy składnik dzielnej, czyli 8x3 i podzielmy go przez pierwszy składnik dzielnika, czyli 4x. Wynik 2x2 zapisujemy nad linią wyniku nad 8x3, następnie mnożymy 2x2 razy 4x i wynik 8x3 zapisujemy z przeciwnym znakiem pod 8x3, dalej mnożymy 2x2 razy minus pięć i otrzymujemy wynik -10x2, który zapisujemy z przeciwnym znakiem pod drugim składnikiem dzielnej. Kreślimy pionową linię Dokonujemy odejmowania między 8x3,a 8x3 , otrzymujemy zero, którego nie zapisujemy pod kreską, następnie dodajemy -22x2 oraz 10x2 i dostajemy -12x2, dalej przepisujemy dwa ostatnie składniki dzielnej czyli 36x-24. Otrzymujemy -12x2+36x-24, dzielimy pierwszy składnik tej sumy przez 4x i wynik -3x zapisujemy nad linią wyniku nad -22x2, następnie mnożymy -3x razy 4x i wynik -12x2 zapisujemy z przeciwnym znakiem pod -12x2, dalej mnożymy -3x razy minus pięć i wynik 15x zapisujemy z przeciwnym znakiem pod 36x. Kreślimy pionową kreskę. Dokonujemy dodawania między -12x2 , a 12x2, wynik zero nie zapisujemy pod kreską, dalej odejmujemy od 36x 15x i otrzymujemy 21x, co zapisujemy pod kreską oraz przepisujemy ostatni składnik dzielnej minus dwadzieścia cztery. Otrzymujemy 21x-24, dzielimy 21x przez 4x, wynik 5 zapisujemy nad linią wyniku nad 36x. Mnożymy pięć razy 4x i wynik 20x zapisujemy z przeciwnym znakiem pod 21x, dalej mnożymy pięć razy minus pięć i wynik minus 25 zapisujemy pod minus 24. Kreślimy pionową kreskę. Dokonujemy odejmowania 21x odjąć 20x, wynik x zapisujemy pod pionową kreską, dalej dodajemy minus 24 dodać 25 i otrzymujemy jeden co zapisujemy również pod pionową kreską. Zatem dzielenie zakończyło się z resztą równą x+1.

Wielomian $W (x) = 2 x^{4} - 12 x^{3} + 8 x^{2} - 21 x + 7$ zapiszemy zatem w postaci:

$W (x) = (x^{2} - 6 x + 2) (2 x^{2} + 4) + 3 x - 1$

Dwumian $R (x) = 3 x - 1$ jest resztą z dzielenia wielomianu $W (x)$ przez trójmian $P (x) = 2 x^{2} + 4$ .

Przykład 4

Resztą z dzielenia pewnego wielomianu $W (x)$ przez wielomian $P_{1} (x) = x + 2$ jest wielomian stopnia zerowego $R_{1} (x) = - 67$ , a resztą z dzielenia $W (x)$ przez $P_{2} (x) = x - 2$ jest $R_{2} (x) = 65$ .
Wyznaczymy wielomian, który jest resztą z dzielenia $W (x)$ przez $P (x) = x^{2} - 4$ .

Rozwiązanie

Wiadomo, że $\{\begin{cases} W (x) = P_{1} (x) \cdot Q_{1} (x) + R_{1} (x) \\ W (x) = P_{2} (x) \cdot Q_{2} (x) + R_{2} (x) \end{cases}$ .

Ponadto reszta z dzieleniadzielenie wielomianów z resztądzielenia $W (x)$ przez wielomian stopnia drugiego $P (x) = x^{2} - 4$ jest wielomianem stopnia co najwyżej pierwszego lub wielomianem zerowym, czyli można ją zapisać w postaci $R (x) = a x + b$ .

Zatem $\{\begin{cases} W (x) = (x + 2) \cdot Q_{1} (x) - 67 \\ W (x) = (x - 2) \cdot Q_{2} (x) + 65 \\ W (x) = (x^{2} - 4) \cdot Q (x) + (a x + b) \end{cases}$

Zauważmy, że z pierwszej równości wiadomo, że
$W (- 2) = (- 2 + 2) \cdot Q_{1} (- 2) - 67 = - 67$
zaś z drugiej
$W (2) = (2 - 2) \cdot Q_{2} (2) + 65 = 65$ .

Wykorzystajmy to w trzeciej równości:
$\{\begin{cases} W (- 2) = (4 - 4) \cdot Q (- 2) + (- 2 a + b) = - 67 \\ W (2) = (4 - 4) \cdot Q (2) + (2 a + b) = 65 \end{cases}$ ,
czyli $\{\begin{cases} - 2 a + b = - 67 \\ 2 a + b = 65 \end{cases}$ .

Rozwiązując ten układ równań uzyskujemy $a = 33$ i $b = - 1$ , czyli $R (x) = 33 x - 1$ .

Przykład 5

Wyznaczymy takie wartości parametrów $a$ i $b$ , dla których reszta z dzielenia wielomianu $W (x) = 2 x^{5} - x^{4} + a x^{2} + b x + 1$ przez wielomian $P (x) = x^{2} + 3 x + 1$ jest równa $R (x) = 144 x + 54$ .

R1eVkQUYPP32O

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D1NA4xHnC

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącej dzielenia wielomianów.

Słownik

dzielenie wielomianów z resztą

dla każdego wielomianu $W (x)$ i niezerowego wielomianu $P (x)$ istnieją wielomiany $Q (x)$ i $R (x)$ takie, że $W (x) = P (x) \cdot Q (x) + R (x)$ , przy czym wielomian $R (x)$ nazywany resztą z dzielenia jest stopnia mniejszego niż stopień wielomianu $P (x)$ lub jest wielomianem zerowym

podzielność wielomianów

wielomian $W (x)$ jest podzielny przez niezerowy wielomian $P (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian $Q (x)$ taki, że $W (x) = P (x) \cdot Q (x)$

Wprowadzenie

Animacja

Słownik