Przeczytaj
Na lekcji nauczymy się rozwiązywać równania typu: , , , , gdzie jest liczbą rzeczywistą. W tym celu będziemy korzystać z metody rozwiązywania równań trygonometrycznych typu . Przypomnijmy stosowne twierdzenie:
Algorytm szukania rozwiązań równania .
Znajdujemy jedno rozwiązanie takie, że .
Zapisujemy pierwszą serię rozwiązań: , gdzie .
Znajdujemy drugie rozwiązanie .
Zapisujemy drugą serię rozwiązań: , gdzie .
Pokażemy, jak rozwiązać nierówność .
Rozważmy przypadki:
Niech . Wówczas nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.
Niech . Wówczas rozwiązaniem nierówności jest zbiór pusty.
Niech .
Najpierw rozwiążemy nierówność w przedziale . Dlaczego wybieramy taki przedział? Po pierwsze okresem zasadniczym funkcji sinus jest , a wybrany przedział ma długość . Po drugie, jak zobaczymy na rysunku, w tym przedziale rozwiązanie nierówności będzie można przedstawić w postaci jednego przedziału (a nie sumy przedziałów); dzięki temu dostaniemy wygodniejszą formę zapisu rozwiązania nierówności.
Spójrzmy na rysunek. Skoro chcemy rozwiązać nierówność , będziemy w istocie badać, w jakich przedziałach funkcja przyjmuje wartości większe od wartości funkcji .
Zaznaczmy na pomarańczowo ten fragment wykresu funkcji , który leży powyżej prostej . Zauważmy, że prosta przecina wykres funkcji w dwóch punktach, których pierwsze współrzędne to i - są to rozwiązania równania .
Zatem w przedziale funkcja przyjmuje wartości większe od wartości funkcji dla argumentów .
Wykorzystując okresowość funkcji sinus podajemy rozwiązanie nierówności : jest to suma wszystkich przedziałów , gdzie .
Rozwiążemy nierówność .
Rozwiązanie:
Spójrzmy na poniższy wykres.
Najpierw, korzystając z twierdzenia o rozwiązywaniu równania trygonometycznego twierdzenia o rozwiązywaniu równania trygonometycznego rozwiązujemy równanie w przedziale : lub .
Zatem w przedziale rozwiązaniem nierówności jest przedział .
Wykorzystując okresowość funkcji sinus podajemy rozwiązanie nierówności : jest to suma wszystkich przedziałów , gdzie .
Rozwiążemy nierówność .
Rozwiązanie:
Rozwiążemy tę nierówność bazując na nierówności rozwiązanej w przykładzie 1.
Skoro rozwiązaniem nierówności była suma wszystkich przedziałów , gdzie , to rozwiązaniem nierówności będzie suma wszystkich przedziałów , gdzie .
Pokażemy, jak rozwiązać nierówność .
Rozważmy przypadki:
Niech . Wówczas nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.
Niech . Wówczas rozwiązaniem nierówności jest zbiór pusty.
Niech .
Najpierw rozwiążemy nierówność w przedziale . Dlaczego wybieramy taki przedział? Po pierwsze okresem zasadniczym funkcji sinus jest , a wybrany przedział ma długość . Po drugie, jak zobaczymy na poniższym rysunku, w tym przedziale rozwiązanie nierówności będzie można przedstawić w postaci jednego przedziału (a nie sumy przedziałów); dzięki temu uzyskamy wygodniejszą formę zapisu rozwiązania nierówności.
Spójrzmy na rysunek. Skoro chcemy rozwiązać nierówność , będziemy w istocie badać, w jakich przedziałach funkcja przyjmuje wartości mniejsze od wartości funkcji .
Zaznaczmy na pomarańczowo ten fragment wykresu funkcji , który leży poniżej prostej . Zauważmy, że prosta przecina wykres funkcji w dwóch punktach, których pierwsze współrzędne to i - są to rozwiązania równania .
Zatem w przedziale funkcja przyjmuje wartości mniejsze od wartości funkcji dla argumentów .
Wykorzystując okresowość funkcji sinus podajemy rozwiązanie nierówności : jest to suma wszystkich przedziałów , gdzie .
Rozwiążemy nierówność .
Rozwiązanie:
Spójrzmy na poniższy wykres.
Najpierw, korzystając z twierdzenia o rozwiązywaniu równania trygonometycznego twierdzenia o rozwiązywaniu równania trygonometycznego , rozwiązujemy równanie w przedziale : lub .
Zatem w przedziale rozwiązaniem nierówności jest przedział .
Wykorzystując okresowość funkcji sinus podajemy rozwiązanie nierówności w zbiorze liczb rzeczywistych: jest to suma wszystkich przedziałów , gdzie .
Słownik
Algorytm szukania rozwiązań równania .
Znajdujemy jedno rozwiązanie takie, że .
Zapisujemy pierwszą serię rozwiązań: , gdzie .
Znajdujemy drugie rozwiązanie .
Zapisujemy drugą serię rozwiązań: , gdzie .