W graniastosłupie $ABCDEFGHIJ$ na rysunku kąt pomiędzy ścianą $ABGF$ a podstawą ma miarę taką, jak kąt $\alpha$.

R30Rlnllj0yhY

Ilustracja przedstawia graniastosłup A B C D E F G H I J. Z górnej podstawy z wierzchołka F poprowadzono odcinek kierujący się do połowy krawędzi dolnej podstawy. Tworzy on z dolną podstawą kąt 90 stopni. Powstał wierzchołek K. Wyprowadzono z niego odcinek K L. Punkt L jest umiejscowiony na odcinku DC. Kąt między odcinkiem F K a K L ma miarę alfa.

W graniastosłupie $ABCA\text{'}B\text{'}C\text{'}$ na rysunku kąt między ścianami $A{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}B$ i $B{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}C$ ma miarę $25°$. Wyznaczymy miarę kąta między ścianą $BCC\text{'}B\text{'}$ i ścianą $CAA\text{'}C\text{'}$ oraz miarę kąta między ścianami $CAA\text{'}C\text{'}$ i $ABB\text{'}A\text{'}$.

R1BvZKASF0Mpe

Ilustracja przedstawiająca graniastosłup A B C A' B' C' o podstawie trójkąta. Kąt przy wierzchołku A dolnej podstawy ma miarę $54°$, a przy wierzchołku B miarę $25°$

Rozwiązanie

Kąt między ścianą $BCC\text{'}B\text{'}$ i ścianą $CAA\text{'}C\text{'}$ ma miarę

$180°-25°-54°=101°$,

a kąt między ścianami $CAA\text{'}C\text{'}$ i $ABB\text{'}A\text{'}$ ma miarę $54°$.

Wróćmy do zagadnienia poruszonego we Wprowadzeniu. Weźmy basen w kształcie graniastosłupa prostego czworokątnego o podstawie trapezu prostokątnego. Długość basenu wynosi $20 \mathrm{m}$, a szerokość $10 \mathrm{m}$. W najpłytszym miejscu basen ma głębokość 1m, a w najgłębszym $1,6 \mathrm{m}$. Obliczymy, jaką miarę ma kąt nachylenia dna basenu do ściany bocznej, z którą tworzy kąt ostry.

Rozwiązanie

Zróbmy rysunek pomocniczy.

R3Gn4Y635EQMu

Ilustracja przedstawia graniastosłup prosty czworokątny o podstawie trapezu prostokątnego. Jedna ściana boczna pochylona jest do krawędzi podstawy o kąt alfa. Wysokość tej ściany bocznej wynosi jeden przecinek 6 metra, a jej długość to 10 metrów. Wysokość przeciwległej ściany bocznej to jeden metr. Szerokość całego graniastosłupa ma miarę 20 metrów.

Szukany kąt nachylenia ścian bocznych jest kątem ostrym w trapezie, który jest podstawą tego graniastosłupa.

RcBwrYcjUMMW4

Ilustracja przedstawia trapez o wysokości 20 metrów. Wysokość trapezu dzieli górną podstawę na dwa odcinki, jeden o długości zero przecinek 6 metra. Kąt między ścianą boczną, a krawędzią podstawy wynosi alfa.

Mamy $\mathrm{tg}\alpha =\frac{20}{0,6}\approx 33,3333$.

A stąd $\alpha \approx 88,3°$.

Rz2YykYQzBgsI

Ilustracja przedstawia graniastosłup pochyły A B C D E F G H I J. Poprowadzono wysokości ścian bocznych A B F G oraz A E F J. Wysokości BK oraz L K spotykają się we wspólnym punkcie K. Tworzą między sobą kąt alfa.

Miara kąta pomiędzy ścianami $AFJE$ i $AFGB$ w graniastosłupie powyżej wynosi $\alpha$.

Na rysunku poniżej zilustrowaliśmy kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy w graniastosłupie pochyłym pięciokątnym

R1PH3ZFo8UuX2

Ilustracja przedstawia graniastosłup pochyły pięciokątny A B C D E F G H I J. Zaznaczono kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy graniastosłupa. Kąt oznaczono jako alfa.

W graniastosłupie pochyłym czworokątnym $ABCDEFGH$ podstawy $ABCD$ i $EFGH$ są kwadratami o boku długości $4$. Wysokość tego graniastosłupa wynosi $2\sqrt{2}$. Rzutem prostokątnym krawędzi $AE$ na podstawę $ABCD$ jest odcinek $AS$, gdzie $S$ jest środkiem przekątnej podstawy. Obliczymy miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

Rozwiązanie

Przekątna tego kwadratu ma długość $4\sqrt{2}$. A zatem

$\left|AS\right|=2\sqrt{2}$.

Zróbmy rysunek pomocniczy. Oznaczmy kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy przez $\alpha$.

R14FkuwJX91Gq

Ilustracja przedstawia graniastosłup pochyły A B C D E F G H. Zaznaczono kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy graniastosłupa. Kąt nachylenia zaznaczono jako alfa. Wysokość graniastosłupa to odcinek E S.

$ES$ jest wysokością tego graniastosłupa, czyli

$\left|ES\right|=2\sqrt{2}$.

A zatem trójkąt $SAE$ jest prostokątny równoramienny. Stąd kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę $45°$.

Na rysunku poniżej zaznaczyliśmy kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej $CF$ a płaszczyzną podstawy w graniastosłupie pochyłym.

R1DZ4Y0FRvJbX

Ilustracja przedstawia graniastosłup pochyły A B C D E F G H. Zaznaczono przekątną ściany bocznej C F oraz wysokość graniastosłupa I F. Zaznaczono kąt między odcinkami CF i  IF.

Na rysunku poniżej kąt pomiędzy przekątną $A_{1}C$ graniastosłupa prostego a podstawą został oznaczony przez $\alpha$.

RkpgLVik42zWj

Ilustracja przedstawia graniastosłup A B C D A indeks dolny 1 koniec indeksu B indeks dolny 1 koniec indeksu C indeks dolny 1 koniec indeksu D indeks dolny 1 koniec indeksu. Zaznaczono przekątną A indeks dolny 1 koniec indeksu C. oraz dolną podstawą. Kąt między przekątną a płaszczyzną podstawy ma miarę alfa.

Zobaczmy teraz jak wygląda kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do podstawy w graniastosłupie pochyłym.

R13DX0nyNDAGN

Ilustracja przedstawia graniastosłup pochyły A B C D E F G H. Zaznaczono wysokość graniastosłupa E I oraz przekątną graniastosłupa E C. Zaznaczono kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do dolnej podstawy graniastosłupa.

Na rysunku poniżej zaznaczony został kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej $CF$ i krawędzią podstawy $BC$.

RuCzSx8ZV7LeE

Ilustracja przedstawia graniastosłup A B C D E F G H o podstawie trapezu. Zaznaczono przekątną ściany bocznej B C F G. Kąt między przekątną a krawędzią podstawy A B ma miarę alfa.

Na rysunku poniżej zaznaczony został kąt pomiędzy przekątną ściany bocznej $CF$ i krawędzią podstawy $BF$.

RyaFNvq3iu24f

Ilustracja przedstawia graniastosłup A B C D E F G H o podstawie trapezu. Zaznaczono przekątną ściany bocznej B C F G. Kąt między przekątną a krawędzią ściany bocznej B F ma miarę alfa.

Na rysunku poniżej zaznaczony został kąt pomiędzy przekątnymi $DG$ i $BG$.

R7ocEE9wSKmPv

Ilustracja przedstawia graniastosłup pochyły o podstawie trapezu A B C D E F G H. Zaznaczono przekątną ściany bocznej B C F G oraz przekątną ściany bocznej C D G H. Przekątne mają wspólny wierzchołek G. Kąt między przekątnymi ma miarę alfa.

Na rysunku poniżej zaznaczony został kąt pomiędzy przekątną $DF$ graniastosłupa a krawędzią boczną $BF$.

R8gGd1gl98C3z

Ilustracja przedstawia graniastosłup A B C D E F G H o podstawie trapezu. Zaznaczono na nim przekątną graniastosłupa D F. Kąt między przekątną, a krawędzią ściany bocznej B F ma miarę alfa.

Na rysunku poniżej zaznaczony został kąt pomiędzy przekątną $DF$ graniastosłupa a krawędzią podstawy $DC$.

R6Mh3nHRgC590

Ilustracja przedstawia graniastosłup A B C D E F G H o podstawie trapezu. Zaznaczono na nim przekątną graniastosłupa D F. Kąt między przekątną, a krawędzią podstawy C D ma miarę beta.

Na rysunku poniżej zaznaczony został kąt pomiędzy przekątną $DF$ graniastosłupa a przekątną ściany bocznej $FC$.

RntF4jHsyrAcq

Ilustracja przedstawia graniastosłup A B C D E F G H o podstawie trapezu. Zaznaczono na nim przekątną graniastosłupa D F oraz przekątną ściany bocznej CF. Kąt między przekątnymi ma miarę gamma.

graniastosłup, którego wszystkie ściany boczne są prostopadłe do podstawy

przekątna równoległoboku, który jest ścianą boczną graniastosłupa

odcinek łączący dwa wierzchołki różnych podstaw nie leżące na jednej ścianie graniastosłupa