to taka funkcja , która parom punktów przyporządkowuje pewną liczbę. Funkcja spełnia następujące warunki:
1. odległość dowolnego punktu od siebie samego jest równa zeru, czyli ,
R1IBqxCyahfMT
2. odległość dowolnego punktu od dowolnego punktu jest równa odległości punktu od punktu , czyli ,
RV5aGIIoIelZr
3. suma odległości dowolnego punktu od dowolnego punktu oraz odległości punktu od dowolnego punktu jest większa lub równa odległości punktu od punktu , czyli .
R1PixzlUj0EJZ
Przypomnijmy ponadto, że odległość między punktami i to długość najkrótszej drogi od do . W przypadku płaszczyzny euklidesowej najkrótszą drogą między punktami jest odcinek.
Odległość punktówodległość punktów w układzie współrzędnychOdległość punktów i w układzie współrzędnychodległość punktów w układzie współrzędnychw układzie współrzędnych możemy zatem obliczyć jako długość odcinka AB korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Zauważmy, że jeśli , nie leżą na prostej równoległej do żadnej z osi układu, to dla punktu trójkąt jest prostokątny.
R1DkXAWmXbB8V
RGlWIsBXxKdIN
Jeśli zrzutujemy prostopadle punkty i na oś , zaś punkty i na oś , to otrzymamy odpowiednio punkty , na osi oraz punkty , na osi . Ponadto odległość między punktami i jest równa odległości między punktami i , zaś odległość między punktami i jest równa odległości między punktami i .
Z określenia odległości punktów na osi wynika, że oraz .
Podsumowując powyższe rozważania możemy zapisać wzór na odległość punktów , w układzie współrzędnych , który jest prawdziwy dla dowolnie wybranych punktów i .
Oczywiście jest to ten sam wzór, który uzyskaliśmy wyznaczając długość odcinka o podanych końcach, jedynie jego interpretacja jest nieco inna.
Przykład 1
Dane są punkty , , . Wyznaczymy kolejno odległości między nimi:
Zanim podamy kolejny przykład, wprowadzimy nowe pojęcie.
Linia łamanałamanałamana - linia utworzona z ciągu odcinków w taki sposób, że:
żadne dwa sąsiednie odcinki nie leżą na jednej prostej;
punkt będący końcem pierwszego odcinka jest jednocześnie początkiem drugiego, punkt będący końcem drugiego odcinka jest początkiem trzeciego, itd.
Przykład 2
Dane są punkty , , , . Aby obliczyć długość krzywej wystarczy dodać odległości między kolejnymi końcami odcinków tworzących tę łamaną:
RQv7zZOVCSapH
Słownik
łamana
łamana
krzywa zbudowana z odcinków w taki sposób, że żadne dwa kolejne odcinki nie leżą na jednej prostej oraz koniec jednego odcinka jest jednocześnie początkiem następnego