Przypomnijmy, czym jest odległość.

Odległość

Definicja: Odległość

to taka funkcja $d$, która parom punktów przyporządkowuje pewną liczbę. Funkcja $d$ spełnia następujące warunki:

1. odległość dowolnego punktu $A$ od siebie samego jest równa zeru, czyli $d\left(A;A\right)=0$,

R1IBqxCyahfMT

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych. Oś pozioma została oznaczona jako X, znajdują się na niej liczby od minus 3 do 5, natomiast oś pionowa została oznaczona jako Y, znajdują się na niej liczby od minus 3 do dwa. W pierwszej ćwiartce zaznaczono punkt A. Zapisano informację: $d\left(A;A\right)=0$, oznacza to że odległość punktu od niego samego jest równa zero.

2. odległość dowolnego punktu $A$ od dowolnego punktu $B$ jest równa odległości punktu $B$ od punktu $A$, czyli $d\left(A;B\right)=d\left(B;A\right)$,

RV5aGIIoIelZr

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Na osi poziomej X zaznaczono liczby od minus 5 do 5, na osi pionowej Y zaznaczono liczby od minus 2 do dwa. W pierwszej ćwiartce zaznaczono dwa punkty A oraz B. Linią przerywaną zaznaczono odległość pomiędzy nimi. Zapisano również informację: $d\left(A;B\right)=d\left(B;A\right)$.

3. suma odległości dowolnego punktu $A$ od dowolnego punktu $B$ oraz odległości punktu $B$ od dowolnego punktu $C$ jest większa lub równa odległości punktu $A$ od punktu $C$, czyli $d\left(A;B\right)+d\left(B;C\right)\ge d\left(A;C\right)$.

R1PixzlUj0EJZ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Oś pozioma X ma liczby z zakresu od minus 5 do 5, oś pionowa Y ma liczby z zakresu od minus 2 do dwa. W pierwszej ćwiartce zaznaczono trzy punkty A, B oraz C. Linią przerywaną zaznaczono odległości pomiędzy punktami. Powstał trójkąt A B C o bokach: $d\left(A;B\right)$, $d\left(B;C\right)$ oraz $d\left(A;C\right)$.

Przypomnijmy ponadto, że odległość między punktami $A$ i $B$ to długość najkrótszej drogi od $A$ do $B$. W przypadku płaszczyzny euklidesowej najkrótszą drogą między punktami jest odcinek.

Odległość punktówodległość punktów w układzie współrzędnychOdległość punktów $A$ i $B$ w układzie współrzędnychodległość punktów w układzie współrzędnychw układzie współrzędnych możemy zatem obliczyć jako długość odcinka AB korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Zauważmy, że jeśli $A=\left(x_A,y_A\right)$, $B=\left(x_B,y_B\right)$ nie leżą na prostej równoległej do żadnej z osi układu, to dla punktu $C=\left(x_A,y_B\right)$ trójkąt $ABC$ jest prostokątny.

R1DkXAWmXbB8V

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych, oś pozioma została oznaczona jako X, pionowa jako Y. Na osi poziomej X znajdują się liczby od minus 7 do 9, natomiast na pionowej Y od minus 1 do sześć. W pierwszej ćwiartce zaznaczono trzy punkty A, B oraz C o współrzędnych kolejno: $\left(2;4\right)$, $\left(6;1\right)$, $\left(2;1\right)$. Poprowadzono przerywane linie pomiędzy punktami, tworzą one trójkąt prostokątny A B C o bokach: $d\left(A;C\right)$, $d\left(B;C\right)$ oraz $d\left(A;B\right)$.

${\left[d\left(A;C\right)\right]}^2+{\left[d\left(B;C\right)\right]}^2=\left[d\left(A;B\right)\right]{}^2$

$d\left(A;B\right)=\sqrt{{\left[d\left(A;C\right)\right]}^2+{\left[d\left(B;C\right)\right]}^2}$

RGlWIsBXxKdIN

Ilustracja przedstawia dwuwymiarowy układ współrzędnych o osi poziomej X i osi pionowej Y. Na osi X znajdują się liczby z zakresu od minus 7 do 9, a na osi Y od minus 1 do sześć. Zaznaczono trzy punkty: punkt A o współrzędnych $\left(2;4\right)$, punkt B o współrzędnych $\left(6;1\right)$, punkt C o współrzędnych $\left(2;1\right)$. Linią przerywaną połączono te trzy odcinki. Powstał trójkąt prostokątny A B C. Długości boków tego trójkąta są równe odległościom pomiędzy punktami: $d\left(A;C\right)$, $d\left(B;C\right)$ oraz $d\left(A;B\right)$. Punkty A B i C rzutowano na obie osie. Na osi Y powstały punkty A prim oraz C prim, a na osi X powstały punkty C bis oraz B prim. Pomiędzy rzutami na tej samej osi poprowadzono linię przerywaną oraz zapisano informację: $d\left(A\text{'};C\text{'}\right)=d\left(A;C\right)$ oraz $d\left(C\text{'}\text{'};B\text{'}\right)=d\left(B;C\right)$.

Jeśli zrzutujemy prostopadle punkty $A$ i $C$ na oś $Y$, zaś punkty $B$ i $C$ na oś $X$, to otrzymamy odpowiednio punkty $A^{\text{'}}=\left(0,y_A\right)$, $C^{\text{'}}=\left(0,y_B\right)$ na osi $Y$ oraz punkty $B^{\text{'}}=\left(x_B,0\right)$, $C^{\text{'}\text{'}}=\left(x_A,0\right)$ na osi $X$. Ponadto odległość między punktami $A$ i $C$ jest równa odległości między punktami $A’$ i $C’$, zaś odległość między punktami $B$ i $C$ jest równa odległości między punktami $B’$ i $C’$.

Z określenia odległości punktów na osi wynika, że $d\left(A;C\right)=d\left(A^{\text{'}};C^{\text{'}}\right)=\left|y_A-y_B\right|$ oraz $d\left(B;C\right)=d\left(B^{\text{'}};C^{\text{'}\text{'}}\right)=\left|x_B-x_A\right|$.

Podsumowując powyższe rozważania możemy zapisać wzór na odległość punktów $A=\left(x_A;y_A\right)$, $B=\left(x_B;y_B\right)$ w układzie współrzędnych $d\left(A;B\right)=\sqrt{{\left|x_B-x_A\right|}^2+{\left|y_B-y_A\right|}^2}=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$, który jest prawdziwy dla dowolnie wybranych punktów $A$ i $B$.

Oczywiście jest to ten sam wzór, który uzyskaliśmy wyznaczając długość odcinka o podanych końcach, jedynie jego interpretacja jest nieco inna.

Zanim podamy kolejny przykład, wprowadzimy nowe pojęcie.

Linia łamanałamanałamana - linia utworzona z ciągu odcinków w taki sposób, że:

• żadne dwa sąsiednie odcinki nie leżą na jednej prostej;

• punkt będący końcem pierwszego odcinka jest jednocześnie początkiem drugiego, punkt będący końcem drugiego odcinka jest początkiem trzeciego, itd.

Przykład 2

Dane są punkty $A=\left(-8;4\right)$, $B=\left(-5;1\right)$, $C=\left(1;1\right)$, $D=\left(3;-3\right)$. Aby obliczyć długość krzywej $ABCD$ wystarczy dodać odległości między kolejnymi końcami odcinków tworzących tę łamaną:

$d\left(A;B\right)+d\left(B;C\right)+d\left(C;D\right)=$

$=\sqrt{{\left(-8-\left(-5\right)\right)}^2+\left(4-1\right){}^2}+\sqrt{{\left(-5-1\right)}^2+{\left(1-1\right)}^2}+$

$+\sqrt{\left(1-3\right){}^2+{\left(1-\left(-3\right)\right)}^2}=$

$=\sqrt{9+9}+\sqrt{36+0}+\sqrt{4+16}=\sqrt{18}+\sqrt{36}+\sqrt{20}=$

$=3\sqrt{2}+6+2\sqrt{5}$

RQv7zZOVCSapH

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Oś pozioma X ma na sobie liczby od minus 9 do 7, natomiast oś pionowa Y ma na sobie liczby od minus 3 do pięciu. Zaznaczono punkty: $A=\left(-8;4\right)$, $B=\left(-5;1\right)$, $C=\left(1;1\right)$ oraz $D=\left(3;-3\right)$. Połączono sąsiadujące punkty ze sobą, tworząc linię łamaną A B C D.

Słownik