Wyznaczymy długość promienia kulikulakuli powstałej przez obrót koła o obwodzie $8$ wokół prostej zawierającej średnicę tego koła.

Rozwiązanie

Mamy, że $2\pi r=8$, a stąd $r=\frac{4}{\pi }$.

Obliczymy obwód półkola, jeśli przez jego obrót wokół prostej zawierającej średnicę powstaje kula o promieniupromień kulipromieniu $6 \mathrm{cm}$.

Rozwiązanie

Promień półkola jest równy promieniowi kuli. Tak więc obwód tego półkola wynosi $\pi r+2r=6\pi +12 \mathrm{cm}$.

Obliczymy długość średnicy kuli, której promień jest równy sumie wysokości i promienia walca o przekroju osiowym będącym kwadratem o boku długości $7$.

Rozwiązanie

Ponieważ przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości $7$, to $h=7$ i $r=3,5$.

A zatem $r_{\text{kuli}}=7+3,5=10,5$. Ostatecznie $d_{\mathrm{kuli}}=2\cdot 10,5=21$.

Na sferzesferasferze o promieniu $8 \mathrm{cm}$ wybrano dwa punkty $A$ i $B$. Długość odcinka $AB$ również wynosi $8 \mathrm{cm}$. Obliczymy odległość odcinka $AB$ od środka tej kuli $S$.

Rozwiązanie

Wykonamy najpierw rysunek pomocniczy.

R1UXR0fzRJZxo

Ilustracja przedstawia sferę o środku w punkcie S. Na sferze umieszczono także dwa punkty A i B. Oba punkty zostały połączone z punktem S. Odcinki A S oraz A B są promieniami sfery. Powstał trójkąt równoramienny A S B o ramionach A S i A B oraz podstawie A B. Z punktu S na odcinek A B w punkcie C upuszczona została wysokość trójkąta.

Zauważmy, że trójkąt $ABS$ jest równoboczny, a zatem odległość odcinka $AB$ od środka kuli jest długością wysokości tego trójkąta. Zatem:

$\left|SC\right|=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3} \left[\mathrm{cm}\right]$

Na sferze wybrano dwa punkty $A$ i $B$. Kąt $ASB$, gdzie $S$ jest środkiem kuli, ma miarę $150°$ a pole trójkąta $ABS$ wynosi $8$. Obliczymy długości promienia kuli i odcinka $AB$.

Rozwiązanie

Wykonamy najpierw rysunek pomocniczy.

RIgdiR2rV5rt1

Ilustracja przedstawia sferę o środku w punkcie S. Na sferze umieszczono także dwa punkty A i B. Oba punkty zostały połączone z punktem S. Odcinek A S oraz A B są promieniami sfery. Powstał trójkąt równoramienny A S B, gdzie ramionami trójkąta są odcinki A S i A B, natomiast jego podstawą jest odcinek A B. W trójkącie zaznaczono także kąt A S B o wartości 150 stopni.

Zauważmy, że $\left|AS\right|=\left|SB\right|=r$. Zatem:

$P_{ABS}=\frac{1}{2}·r^2·\sin 150°$

Mamy: $8=\frac{1}{2}·r^2·\frac{1}{2}$ a stąd: $r^2=32$ i $r=4\sqrt{2}$.

Długość odcinka $AB$ obliczymy z twierdzenia cosinusów:

${\left|AB\right|}^2=32+32-2·32·\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$,

czyli:

$\left|AB\right|=\sqrt{64+32\sqrt{3}}=4\sqrt{4+2\sqrt{3}}=4\sqrt{{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}=4\left(1+\sqrt{3}\right)$.

bryła powstała przez obrót koła lub półkola wokół prostej zawierającej średnicę

powierzchnia kuli

odcinek łączący środek kuli z punktem na sferze