To ciekawe

Wyobraźmy sobie satelitę geostacjonarnego, tj. takiego, który cały czas znajduje się w jednym punkcie nad powierzchnią Ziemi. Gdybyśmy chcieli zmienić położenie satelity, tj. pozycję kątową względem nieruchomego obserwatora znajdującego się na Ziemi, oznaczałoby to, że musiałby zmienić prędkość, z jaką porusza się wokół środka Ziemi. W związku z tym satelita musi przez pewien czas poruszać się po orbicie kołowej ruchem niejednostajnym. W tym materiale dokonamy opisu takiego ruchu, wykorzystując parametry nazywane przemieszczeniem i przyspieszeniem kątowym.

Warto przeczytać

Ruch przyspieszony po okręgu

Rozpatrując ruch ciała po okręgu, nie zawsze analizujemy przypadek, w którym zmiana położenia kątowego $\Delta\alpha$ ciała w jednostce czasu jest taka sama. Wyobraźmy sobie na przykład sprintera, który rozpędza się po fragmencie toru w kształcie okręgu.

W chwili początkowej, $t_{0}$, prędkość sprintera jest równa zero. W chwili $t_{1}$ stwierdzamy, że sprinter przebiegł dystans $\Delta s_{1}$. Oznaczmy czas, jaki upłynął od startu przez $\Delta t=t_1-t_0$. Niech $t_2 = t_1 + \Delta t$. Jeśli droga przebyta przez biegacza wynosi w tym drugim przedziale czasu $\Delta s_2$, przy czym

to ruch biegacza na pewno nie jest jednostajny. Przedstawia to Rys. 1.:

RXipVDxAEeIAb

Rys. 1. Rysunek przedstawia okrąg narysowany czarną linią. Ze środka okręgu wychodzą trzy promienie narysowane linią przerywaną, opisane małą literą r. Jeden z promieni biegnie pionowo w górę. Na obwodzie okręgu, w punkcie stycznym z promieniem zaznaczono czerwony punkt opisany małą literą t z indeksem dolnym zero – oznacza czas początkowy. Nad punktem umieszczono informację małe v równa się zero. Drugi promień biegnie w prawo i w górę, a na jego końcu na obwodzie także zaznaczono czerwony punkt, z którego wychodzi wektor prędkości opisany małą literą v z indeksem dolnym jeden. Wektor prędkości jest styczny do okręgu i wyznacza kierunek w prawo i w dół. Punkt oznacza czas opisany małą literą t z indeksem dolnym jeden. Łuk na obwodzie okręgu, pomiędzy czerwonymi punktami t z indeksem dolnym zero i t z indeksem dolnym jeden narysowano niebieską linią i opisano wielką grecką literą delta i małą literą s z indeksem dolnym jeden. Jest to droga pokonana przez ciało poruszające się po okręgu. Kąt ostry pomiędzy promieniami biegnącymi do tych punktów opisano wielką grecką literą delta małą grecką literą alfa z indeksem dolnym jeden. Jest to przemieszczenie kątowe ciała w ruchu po okręgu, które odbyło się pomiędzy czasami t z indeksem dolnym zero i t z indeksem dolnym jeden. Trzeci promień skierowany jest w prawo i w dół. Na jego końcu również umieszczono czerwony punkt i opisano czas mała litera t z indeksem dolnym dwa. Łuk pomiędzy czerwonymi punktami w czasach t z indeksem dolnym jeden i t z indeksem dolnym dwa narysowano zieloną linią i opisano wielką grecką literą delta małą literą s z indeksem dolnym dwa. Jest to przemieszczenie liniowe ciała pomiędzy tymi czasami. Kąt pomiędzy drugim i trzecim promieniem, oznaczający przemieszczenie kątowe ciała opisano wielką grecką literą delta małą grecką literą alfa z indeksem dolnym dwa. Przemieszczenie kątowe wielka grecka litera delta mała grecka litera alfa z indeksem dolnym dwa jest większe niż przemieszczenie kątowe wielka grecka litera delta mała grecka litera alfa z indeksem dolnym jeden.

Na tej podstawie na pewno możemy stwierdzić, że prędkość liniowa biegacza nie tylko zmienia kierunek (co musi zawsze mieć miejsce w ruchu po okręgu!), ale także jej długość jest zmienna w czasie, skoro średnie prędkości na tych odcinkach spełniają nierówność

Przyspieszenie styczne

Oznacza to, że niezerowa jest składowa przyspieszenia styczna do toruPrzyspieszenie styczneskładowa przyspieszenia styczna do toru. W sytuacji opisanej przez Rys. 1. możemy napisać, że w czasie $t_0 \leqslant t \leqslant t_1$ średnie przyspieszenie styczne ma wartość

skoro założyliśmy $v(t_1) = 0$. Natomiast dla drugiego przedziału czasu - analogicznie

Relacji między $a_{2-1}$ i $a_{1-0}$ - przy tych danych - nie znamy. Nie możemy np. wnioskować o jakiejkolwiek nierówności między tymi wielkościami tylko z faktu, że np. $v(t)$ wzrasta. Jeśli, na przykład, $v(t)$ wzrasta jednostajnie, to przyspieszenia te są sobie równe. Ale tak być nie musi - prędkość sprintera, po początkowej kilkusekundowej fazie przyspieszania, na ogół ustala się.

Przemieszczenie kątowe

Możemy także opisać zmienność $v$, wykorzystując parametry kątowe. Zmiany kąta, pod jakim obserwator stojący w centralnym punkcie toru widzi biegacza po kolejnych odcinkach czasowych $\Delta t$ nie są takie same, skoro zadeklarowaliśmy, że odcinki toru są różne. Oznaczmy odpowiednie zmiany położeń kątowych (wyrażonych w radianach) przez $\Delta\alpha_1$ i $\Delta\alpha_2$. Wiemy, że długość łuku to iloczyn jego promienia przez miarę kąta, jaki ten łuk określa, tj.

Mamy zatem, po podzieleniu (1) przez $r$

Prędkość kątowa

Stosunek zmiany kąta do odpowiadającego mu przedziału czasu to wartość średniej prędkości kątowej $\omega$. Mamy więc

w zgodzie z (2) i faktem, że $v = \omega r$ i $r = \text{const}$.

Przyspieszenie kątowe

Stosunek zmiany prędkości kątowej do czasu, w którym zmiana ta jest obserwowana, to przyspieszenie kątowe, typowo oznaczane grecką literą $\varepsilon$ (epsilon). Np. jeśli $\Delta \omega_{2-1} = \omega(t_2) - \omega(t_1)$, to średnie przyspieszenie kątowe na tym odcinku wynosi

przy czym $[\varepsilon]=\text{rad/s}^2$.

Przeanalizujmy jeszcze związek pomiędzy przyspieszeniem kątowym $\varepsilon$ i przyspieszeniem stycznym $a_{s}$, jakiego doznaje ciało w ruchu niejednostajnym po okręgu. Skoro

Zatem wartość przyspieszenia stycznego jest iloczynem promienia toru przez wartość przyspieszenienia kątowego.

RlMIYnYJ9azge

Rys. 2. Przedstawiono okrąg narysowany czarną linią, który wyznacza ruch po okręgu w płaszczyźnie poziomej. Przez środek okręgu przechodzi pionowa, czarna przerywana linia, która stanowi oś symetrii okręgu. Na obwodzie okręgu zaznaczono w postaci grotu strzałki kierunek hipotetycznego ruchu ciała przeciwny do ruchu wskazówek zegara. Ze środka okręgu wychodzi zielona pozioma strzałka, skierowana w prawo, opisana jako promień mała litera r. Ze środka okręgu wychodzi również czerwona, pionowa strzałka skierowana w górę. Strzałka ta reprezentuje wektor przyspieszenia kątowego mała grecka litera epsilon ze strzałką oznaczającą wektor.

Słowniczek