Przeczytaj

Warto przeczytać

Bilans cieplny polega na porównaniu ciepła oddanego i ciepła pobranego przez ciała znajdujące się w układzie izolowanym, czyli takim, który nie wymienia ciepła z otoczeniem. Taki proces przedstawiono schematycznie na Rys. 1.

R1A2QxibPnzqK

Rys. 1. Rysunek przedstawia trzy ramki z umieszczonymi w nich ciałami. W pierwszej ramce pokazano dwa ciała: jedno czerwone, oznaczone wielką literą A i drugie niebieskie, oznaczone wielką literą B. Nad nimi zapisano nierówność: temperatura wielkie T z indeksem dolnym wielkie A jest większa niż temperatura wielkie T z indeksem dolnym wielkie B. W drugiej ramce umieszczono te same dwa ciała, ale zetknięte ze sobą. Od czerwonego ciała, oznaczonego wielką literą A, do niebieskiego ciała, oznaczonego wielką literą B, narysowano grubą strzałkę. Pod strzałką opisano: ciepło wielką literą Q . U góry zapisano nierówność: temperatura wielkie T z indeksem dolnym wielkie A jest większa niż temperatura wielkie T z indeksem dolnym wielkie B. W trzeciej ramce umieszczono te same, zetknięte ze sobą, ciała. Oba ciała mają teraz barwę pomarańczową. U góry zapisano równanie: temperatura wielkie T z indeksem dolnym wielkie A równa się temperatura wielkie T z indeksem dolnym wielkie B. — Rys. 1. Gdy dwa ciała o różnych temperaturach stanowią układ izolowany, to ciepło płynie od ciała o wyższej temperaturze do ciała o niższej temperaturze.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Pobranie ciepła przez ciało może spowodować wzrost temperatury lub przemianę fazową, czyli zmianę stanu skupienia. Topnienie – przemiana ciała stałego w ciecz i parowanie lub wrzenie – zamiana cieczy w stan gazowy, wymagają pobrania ciepła. Natomiast krzepnięcie – przemiana cieczy w ciało stałe oraz skraplanie – powstawanie cieczy ze stanu gazowego, przebiegają z oddawaniem ciepła. Oczywiście skutkiem oddania ciepła może być też zmniejszenie temperatury ciała.

Dla potrzeb bilansu cieplnego ciepło pobrane lub oddane przez ciało w procesie zmiany temperatury obliczamy mnożąc ciepło właściweCiepło właściweciepło właściwe substancji $c_{w}$ przez jej masę $m$ i wartość bezwzględną zmiany temperatury ciała $| Δ T |$ :

Q = m c_{w} | Δ T | .

W powyższym wyrażeniu zastosowano konwencję, w myśl której kierunek strumienia ciepła opisany jest jednym z dwóch określeń „pobrane” lub „oddane”. Z tego właśnie powodu zmiana temperatury ciała występuje w tym wzorze w wartości bezwzględnej.

Analogiczną konwencję stosujemy do ciepła wymienianego w przemianach fazowych. Ciepło pobrane lub oddane przez ciało w przemianie fazowej, takiej jak krzepnięcie, wrzenie, skraplanie, obliczamy mnożąc ciepło przemiany przez masę substancji, która uległa przemianie.

W szczególności, ciepło pobrane na stopienie masy $m$ substancji to iloczyn ciepła topnienia $c_{t}$ i masy:

Q = m c_{t} .

Ciepło oddane podczas krzepnięcia masy $m$ wyraża się takim samym wzorem.

Podobnie wartość ciepło pobrane podczas parowania lub wrzenia i oddanego podczas skraplania masy $m$ substancji jest opisane wzorem:

Q = m c_{p},

Ciepło parowaniaCiepło parowaniagdzie $c_{p}$ jest ciepłem parowaniaCiepło parowaniaciepłem parowania.

Przykład 1. Temperatura końcowa układu ciał o różnych temperaturach początkowych

R7SOYucjYzxUi

Rys. 2. Zdjęcie przedstawia filiżankę z odrobiną esencji herbaty i pochylonym nad nią imbryczkiem nalewającym gorącą wodę. Filiżanka stoi na talerzyku z łyżeczką. — Rys. 2. Do filiżanki zawierającej letnią herbatę dolewamy nieco gorącej wody. Jaka będzie końcowa temperatura układu: herbata i filiżanka?
Źródło: dostępny w internecie: https://www.istockphoto.com/pl/zdj%C4%99cie/czas-na-herbat%C4%99-gm466073662-59566150 [dostęp 20.07.2022], iStockphoto, tylko do użytku edukacyjnego na zpe.gov.pl.

Przeanalizujmy sytuację pokazaną na zdjęciu (Rys. 2.). W filiżance znajduje się woda o masie $m_{1} = 200 g$ i o temperaturze $t_{1} = 30 ° C$ . Dolano do niej $m_{2} = 60 g$ wody o temperaturze $t_{2} = 98 ° C$ . Jaka będzie temperatura wody po wyrównaniu się temperatur? Masa filiżanki wynosi $m_{3} = 120 g$ , ciepło właściweCiepło właściweciepło właściwe wody $c_{w} = 4200 \frac{J}{k g \cdot K}$ , a ciepło właściweCiepło właściweciepło właściwe porcelany $c_{porc} = 800 \frac{J}{k g \cdot K}$ .

Ułóżmy bilans cieplny, zapisując w tabeli ciepła pobrane i oddane:

121

Ciepło pobrane	Ciepło oddane
Ciepło pobrane przez chłodną wodę podczas ogrzewania od temperatury $t_{1} = 30 ° C$ do temperatury końcowej $t_{k}$ , wyższej niż $t_{1}$ : $m_{1} c_{w} (t_{k} - t_{1})$	Ciepło oddane przez gorącą wodę podczas obniżania temperatury od $t_{2} = 98 ° C$ do temperatury końcowej $t_{k}$ , niższej niż $t_{2}$ : $m_{2} c_{w} \| (t_{k} - t_{2}) \| = m_{2} c_{w} (t_{2} - t_{k})$
Ciepło pobrane przez filiżankę podczas ogrzewania od temperatury $t_{1} = 30 ° C$ do temperatury końcowej $t_{k}$ : $m_{3} c_{p o r c} (t_{k} - t_{1})$
Całkowite ciepło pobrane: $Q_{p o b r a n e} = m_{1} c_{w} (t_{k} - t_{1}) + m_{3} c_{p o r c} (t_{k} - t_{1})$	Całkowite ciepło oddane: $Q_{o d d a n e} = m_{2} c_{w} (t_{2} - t_{k})$

Możemy teraz zapisać bilans cieplny:

Q_{p o b r a n e} = Q_{o d d a n e},

czyli

m_{1} c_{w} (t_{k} - t_{1}) + m_{3} c_{p o r c} (t_{k} - t_{1}) = m_{2} c_{w} (t_{2} - t_{k}) .

Zauważmy, że w powyższym równaniu występują tylko różnice temperatur. Różnice te, niezależnie od tego, czy są wyrażone w skali Celsjusza, czy KelwinaKelwina, są jednakowe: $Δ T = Δ t$ .

Z równania bilansu wyznaczamy temperaturę końcową:

t_{k} = \frac{m_{2} c_{w} t_{2} + m_{1} c_{w} t_{1} + m_{3} c_{p o r c} t_{1}}{m_{1} c_{w} + m_{2} c_{w} + m_{3} c_{p o r c}} .

Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:

t_{k} = \frac{0, 06 k g \cdot 4200 \frac{J}{k g \cdot K} \cdot 98^{\circ} C + 0, 2 k g \cdot 4200 \frac{J}{k g \cdot K} \cdot 30^{\circ} C + 0, 12 k g \cdot 800 \frac{J}{k g \cdot K} \cdot 30^{\circ} C}{0, 2 k g \cdot 4200 \frac{J}{k g \cdot K} + 0, 06 k g \cdot 4200 \frac{J}{k g \cdot K} + 0, 12 k g \cdot 800 \frac{J}{k g \cdot K}} = 44^{\circ} C .

Temperatura końcowa wody i filiżanki wynosi $44 ° C$ .

Przykład 2. Ile lodu potrzeba, by obniżyć temperaturę układu do zadanej wartości?

R1U4I25hZID5N

Rys. 3. Zdjęcie przedstawia oszronioną szklankę wypełnioną wodą i lodem. Na brzegu szklanki umieszczono nacięty plasterek limonki, a w wodzie z lodem listki świeżej mięty. — Rys. 3. W szklance jest letnia woda. Ile lodu trzeba do niej wrzucić, by schłodzić ją, wraz ze szklanką, do przyjemnej (w upale) temperatury?
Źródło: dostępny w internecie: https://pixabay.com/pl/photos/zimny-nap%C3%B3j-limonka-drink-koktajl-1535766/ [dostęp 20.07.2022]. https://pixabay.com/pl/service/license/.

A teraz sprawdźmy, jak przygotować napój odpowiedni na upalny dzień. W szklance znajduje się woda o masie $m_{1} = 190 g$ i o temperaturze $t_{1} = 28 ° C$ . Jaka powinna być masa kostek lodu o temperaturze $t_{2} = -5 ° C$ , wrzuconych do wody, aby po stopieniu lodu temperatura wody obniżyła się do $t_{3} = 8 ° C$ ? Ciepło topnieniaCiepło topnieniaCiepło topnienia lodu wynosi $c_{t} = 333 \frac{kJ}{k g}$ , ciepło właściweCiepło właściweciepło właściwe wody $c_{w} = 4200 \frac{J}{k g \cdot K}$ , a ciepło właściwe lodu $c_{l} = 2100 \frac{J}{k g \cdot K}$ . Masa szklanki wynosi $m_{2} = 150 g$ , a jej ciepło właściwe $c_{sz} = 840 \frac{J}{k g \cdot K}$ .

Aby lód zaczął się topić, jego temperatura musi wzrosnąć do temperatury topnienia, czyli $t_{t} = 0 ° C$ . Woda powstała ze stopionego lodu ma temperaturę $0 ° C$ i następnie jej temperatura zwiększa się do $t_{3} = 8 ° C$ . W tych trzech procesach lód i woda z niego powstała pobierają ciepło od wody o masie $m_{1}$ oraz od szklanki.

Masę lodu oznaczmy przez $m_{x}$ , a ciepła pobrane i oddane zapiszmy w tabeli:

121

Ciepło pobrane	Ciepło oddane
Ciepło pobrane przez lód na zwiększenie temperatury od temperatury $t_{2} = -5 ° C$ do $t_{t} = 0 ° C$ : $m_{x} c_{l} (t_{t} - t_{2})$	Ciepło oddane przez ciepłą wodę o masie $m_{1}$ podczas obniżania temperatury od $t_{1} = 28 ° C$ do temperatury końcowej $t_{3} = 8 ° C$ : $m_{1} c_{w} (t_{1} - t_{3})$
Ciepło pobrane przez lód na stopienie: $m_{x} c_{t}$	Ciepło oddane przez szklankę podczas obniżania temperatury od $t_{1} = 28 ° C$ do temperatury końcowej $t_{3} = 8 ° C$ : $m_{2} c_{s z} (t_{1} - t_{3})$
Ciepło pobrane przez wodę powstałą z lodu na zwiększenie temperatury od temperatury $t_{t} = 0 ° C$ do temperatury $t_{3} = 8 ° C$ : $m_{x} c_{w} (t_{3} - t_{t})$
Całkowite ciepło pobrane: $Q_{p o b r a n e} = m_{x} c_{l} (t_{t} - t_{2}) + m_{x} c_{t} + m_{x} c_{w} (t_{3} - t_{t})$	Całkowite ciepło oddane: $Q_{o d d a n e} = m_{1} c_{w} (t_{1} - t_{3}) + m_{2} c_{s z} (t_{1} - t_{3})$

Przyrównując do siebie ciepło pobrane i oddane otrzymujemy równanie:

m_{x} c_{l} (t_{t} - t_{2}) + m_{x} c_{t} + m_{x} c_{w} (t_{3} - t_{t}) = m_{1} c_{w} (t_{1} - t_{3}) + m_{2} c_{s z} (t_{1} - t_{3}) .

Wyznaczamy stąd szukaną masę lodu $m_{x}$ :

m_{x} = \frac{m_{1} c_{w} (t_{1} - t_{3}) + m_{2} c_{s z} (t_{1} - t_{3})}{c_{l} (t_{t} - t_{2}) + c_{t} + c_{w} (t_{3} - t_{t})}

Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:

m_{x} = \frac{0, 19 kg \cdot 4200 \frac{J}{kg \cdot K} \cdot 20 K + 0, 15 kg \cdot 840 \frac{J}{kg \cdot K} \cdot 20 K}{5 K \cdot 2100 \frac{J}{k g \cdot K} + 333000 \frac{J}{kg} + 8 K \cdot 4200 \frac{J}{kg \cdot K}} = 0, 05 kg .

Masa lodu, który obniży temperaturę wody w szklance od $28^{\circ} C$ do $8^{\circ} C$ wynosi $50\text{ g}$ .

Słowniczek

Kalorymetr

(ang.: calorimeter) przyrząd służący do pomiaru zmian temperatury podczas procesów termodynamicznych w warunkach dobrej izolacji cieplnej od otoczenia. Składa się na ogół z dwóch części: właściwego układu kalorymetrycznego, w którym przebiega badany proces, i z płaszcza, zapewniającego izolację cieplną.

Ciepło właściwe

(ang.: specific heat) energia potrzebna do ogrzania 1 kg substancji o 1 K: $c_{w} = \frac{Q}{m Δ T}$ , gdzie $Q$ ciepło pobrane przez ciało o masie $m$ podczas zmiany temperatury o $Δ T$ .

Ciepło topnienia

(ang.: enthalpy of fusion, latent heat of fusion) energia potrzebna do stopienia 1 kg ciała. Ciepło topnienia wyraża się wzorem $c_{t} = \frac{Q}{m}$ , gdzie $Q$ – energia dostarczona podczas topnienia, $m$ – masa ciała.

Ciepło parowania

(ang.: enthalpy of vaporization, latent heat of vaporization) energia potrzebna do wyparowania 1 kg ciała. Ciepło parowania wyraża się wzorem $c_{p} = \frac{Q}{m}$ , gdzie $Q$ – energia dostarczona podczas parowania lub wrzenia, $m$ – masa ciała.

Temperatura w skali Kelvina (skali bezwzględnej)

(ang.: Kelvin scale, absolute temperature scale) miara średniej energii kinetycznej przypadająca na jedną cząsteczkę. Temperaturę w skali Kelwina $T$ obliczamy, dodając do temperatury w skali Celsjusza, $t$ , $273 ° C$ : $T = t + 273 ° C$ .

Wprowadzenie

Film samouczek

Warto przeczytać

Przykład 1. Temperatura końcowa układu ciał o różnych temperaturach początkowych

Przykład 2. Ile lodu potrzeba, by obniżyć temperaturę układu do zadanej wartości?

Słowniczek