Rozważmy punkty $A=\left(x_A;y_A\right)$ i $B=\left(x_B;y_B\right)$. Jak już wiemy, współczynnik kierunkowy prostej $AB$ jest równy ilorazowi różnicy drugich współrzędnych punktów $A$ i $B$ przez równicę ich pierwszych współrzędnych w odpowiedniej kolejności, o ile prosta $AB$ nie jest równoległa do osi $Y$.

R6KEmmPiSviT0

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od zera do sześciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowane są dwie równoległe proste. Pierwsza prosta przechodzi przez punkt zero zero i tworzy z osią X kąt ostry alfa. Druga prosta przecina oś X w punkcie około dwa i dwie dziesiąte również tworząc z osią X kąt alfa. Z punktu zero zero poprowadzony jest wektor X A Y A do punktu A leżącego na drugiej prostej o współrzędnych X A Y A. Wyżej na tej prostej zaznaczony jest punkt B o współrzędnych X B Y B. Od punktu A poprowadzony jest w prawo poziomy odcinek narysowany przerywaną linią i podpisany jest jako X B odjąć X A. Prosta tworzy z odcinkiem kąt alfa. Z punktu B poprowadzony jest linią przerywaną w dół pionowy odcinek w taki sposób, że oba te odcinki tworzą razem z odcinkiem AB trójkąt prostokątny. Odcinek pionowy opisany jest jako Y B odjąć Y A.

Zatem współczynnik kierunkowy takiej prostej jest równy $\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$. Na podstawie wzoru na równanie prostej o danym współczynniku kierunkowym przechodzącej przez punkt o danych współrzędnych możemy podać równanie prostej $AB$ wykorzystując współrzędne punktu $A=\left(x_A;y_A\right)$

$y=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}·x+y_A-\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}·x_A$,

co zwykle zapisujemy w postaci

$\left(x_B-x_A\right)\left(y-y_A\right)=\left(y_B-y_A\right)\left(x-x_A\right)$.

Zwróćmy uwagę, że powyższy wzór obejmuje również przypadek, kiedy prosta $AB$ jest pionowa. Rzeczywiście jeśli $x_A=x_B$, to równanie przyjmuje postać $0=\left(y_B-y_A\right)\left(x-x_A\right)$, z czego wynika, że $x=x_A$.

Jako ćwiczenie pozostawiamy udowodnienie faktu, że dokładnie ten sam wzór uzyskamy wykorzystując współrzędne punktu $B$ zamiast współrzędnych punktu $A$.

Przykład 1

Korzystając z powyższego wzoru wyznaczymy równania prostych przechodzących przez wskazane punkty.

a)

a)

$A=\left(3;-2\right)$, $B=\left(-5;2\right)$

R1ZunOXp2UWhj

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta z zaznaczonymi na niej punktami: A o współrzędnych trzy minus dwa oraz B o współrzędnych minus pięć dwa.

$\left(-5-3\right)\left(y-(\left(-2\right)\right)=\left(2-\left(-2\right)\right)\left(x-3\right)$

$-8\left(y+2\right)=4\left(x-3\right)$

$y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$

b)

b)

$A=\left(-4;2\right)$, $B=\left(5;2\right)$:

REOeCOSWdINRj

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu oraz pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowana jest pozioma prosta z zaznaczonymi na niej punktami: A o współrzędnych minus cztery dwa oraz B o współrzędnych pięć dwa.

$\left(5-\left(-4\right)\right)\left(y-2\right)=\left(2-2\right)\left(x-\left(-4\right)\right)$

$9\left(y-2\right)=0$

$y=2$

c)

c)

$A=\left(-3;5\right)$, $B=\left(-3;-2\right)$:

RrzSkHNdU1j2d

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do czterech oraz pionową osią Y od minus pięciu do pięciu. Na płaszczyźnie narysowana jest pionowa prosta z zaznaczonymi na niej punktami: A o współrzędnych minus trzy pięć oraz B o współrzędnych minus trzy minus dwa.

$\left(-3-\left(-3\right)\right)\left(y-5\right)=\left(-2-5\right)\left(x-\left(-3\right)\right)$

$0=-7\left(x+3\right)$

$x=-3$

Przykład 2

Wyznaczymy równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punktyrównanie prostej przechodzącej przez dwa dane punktyrównanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty, którymi są środki boków $AB$ i $BC$ trójkąta o wierzchołkach $A=\left(2;5\right)$, $B=\left(-3;-1\right)$, $C=\left(5;-2\right)$.

RlJ2iIwbiGl9P

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do sześciu oraz pionową osią Y od minus czterech do sześciu. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta z zaznaczonymi na niej punktami, które są punktami przecięcia z trójkątem ABC. Punkty te mają współrzędne około minus cztery piąte dwa oraz jeden minus trzy drugie. Wierzchołki trójkąta to: A o współrzędnych dwa pięć, B o współrzędnych minus trzy minus jeden oraz C o współrzędnych pięć minus dwa.

Współrzędne środka $M$ boku $AB$ to $\left(\frac{2-3}{2};\frac{5-1}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2};2\right)$, zaś współrzędne środka $N$ boku $BC$ to $\left(\frac{-3+5}{2};\frac{-1-2}{2}\right)=\left(1;-\frac{3}{2}\right)$.

Równanie prostej $MN$ ma postać:

$\left(1-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)\left(y-2\right)=\left(-\frac{3}{2}-2\right)\left(x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$,

$\frac{3}{2}\left(y-2\right)=-\frac{7}{2}\left(x+\frac{1}{2}\right)$,

$y=-\frac{7}{3}x+\frac{5}{6}$.

Słownik