Definicja funkcji

Podczas lekcji będziemy się często powoływać na definicję funkcji. Przypomnijmy ją.

Funkcja
Definicja: Funkcja

Dane są dwa niepuste zbiory XY.

Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie, które każdemu elementowi x ze zbioru X przyporządkowuje dokładnie jeden element y ze zbioru Y.

Symbolicznie oznaczamy f : XY i czytamy „funkcja f odwzorowuje zbiór X w zbiór Y”.

  • Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f, a jego elementy argumentami funkcji f.

  • Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f.

Dziedzinę funkcji oznaczamy symbolicznie Df.

Funkcje możemy opisywać na wiele sposobów. Dla każdego z tych opisów pokażemy sposób wyznaczania dziedziny.

Funkcja opisana słownie

Przykład 1

FunkcjafunkcjaFunkcja f opisana jest słownie.

Funkcja f każdej liczbie naturalnej x takiej, że x27, 39 przyporządkowuje jej największy dzielnik, który jest liczbą pierwszą.

Rozwiązanie:

Z opisu funkcji możemy odczytać, że dziedziną tej funkcji są liczby naturalne należące do przedziału 27, 39.

Symbolicznie możemy zapisać Df=27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39.

Funkcja opisana grafem

Przykład 2

Funkcja f opisana jest za pomocą grafu.

R1EkratbXSlAy

Rozwiązanie:

Analizując graf odczytujemy dziedzinę funkcji.

Do dziedziny funkcji należą elementy umieszczone w lewej części grafu.

Stąd Df=-4, -2, 0, 1, 2, 312.

Przykład 3

Funkcja f opisana jest za pomocą tabelki.

x

-33

-22

-1

0

2

3

25

6

82

fx

27

8

1

0

2

9

20

36

128

Rozwiązanie:

Do dziedziny funkcji należą liczby zapisane w pierwszym wierszu tabelki.

Stąd Df=-33, -22, -1, 0, 2, 3, 25, 6, 82.

Przykład 4

Funkcja f opisana jest za pomocą zbioru par uporządkowanych.

-423, -2,-337, -4,-29, -411,-1, -56,234, 5,338, 645,4, 735,615, 847

Rozwiązanie:

Każda para uporządkowana jest postaci x, fx.

Dziedzinę funkcji tworzą wszystkie liczby, które są umieszczone na pierwszym miejscu w każdej parze.

Stąd Df=-423,-337,-29,-1,234,338,4,615.

Przykład 5

Funkcja f opisana jest za pomocą wykresu.

RvX2LlwUN5MZk

Rozwiązanie:

Wiadomo, że wykres funkcji w prostokątnym układzie współrzędnych, to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych x, fx, gdzie x jest argumentem funkcji, a fx wartością funkcji dla argumentu x.

W celu odczytania z wykresu funkcji dziedziny tej funkcji należy odczytać wszystkie pierwsze współrzędne punktów wykresu.

Wyobraźmy sobie, że wszystkie pierwsze współrzędne punktów wykresu rzutujemy prostopadle na oś X. Na osi X tworzy nam się zbiór wszystkich argumentów funkcji f, czyli dziedzina funkcji.

W przypadku narysowanego wykresu otrzymujemy Df=-5,5; 4.

Funkcję możemy opisać za pomocą wzoru. Bardzo często podawany jest tylko wzór funkcji. W jaki sposób możemy wyznaczyć dziedzinę tak określonej funkcji?

Przez dziedzinę funkcji opisanej wzorem rozumiemy zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których są wykonalne wszystkie działania zapisane we wzorze funkcji. Oznacza to, że dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których można obliczyć wartość funkcji.

Przykład 6

Rozpatrzymy następujące funkcje opisane wzorami. Określimy dziedzinę każdej z tych funkcji.

a) fx=-2x+5

b) fx=x+3

c) fx=x3x-4

d) fx=5x-6

Rozwiązanie:

Ad. a)

W zbiorze liczb rzeczywistych wykonalne jest mnożenie i dodawanie, tzn., każdą liczbę rzeczywistą możemy pomnożyć przez -2 oraz do wyniku dodać liczbę pięć. Wynik tego działania też będzie liczbą rzeczywistą. Stąd wnioskujemy, że dziedziną funkcji x=-2x+5 jest zbiór liczb rzeczywistych i zapisujemy Df=.

Ad. b)

Pierwiastek kwadratowy możemy obliczyć tylko wtedy, gdy liczba podpierwiastkowa jest liczbą rzeczywistą nieujemną. Wynika z tego, że wartość funkcji f możemy obliczyć wtedy, gdy spełniona jest nierówność

x+30, czyli wtedy, gdy x-3.

Dziedziną funkcji fx=x+3 jest przedział -3, .

Zapisujemy, że Df=-3, .

Ad. c)

Dowolną liczbę rzeczywistą można podnieść do sześcianu, od każdej liczby rzeczywistej można odjąć liczbę cztery, dzielenie sześcianu liczby rzeczywistej przez x-4 jest możliwe tylko wtedy, gdy x-40. W zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne.

Otrzymujemy: x4.

Dziedziną funkcji x=x3x-4 jest zbiór 4, czyli Df=4.

Ad. d)

Określając dziedzinę tej funkcji należy uwzględnić objaśnienia z poprzednich podpunktów, tzn. x-60x-60.

Warunki te można zastąpić jedną nierównością: x-6>0.

Stąd wynika, że x>6, czyli Df=6, .

Ważne!

Określając dziedzinę funkcji opisanej za pomocą wzoru musimy pamiętać, że:

  • pierwiastki stopnie parzystego można obliczać tylko z liczb rzeczywistych nieujemnych.

  • mianownik ułamka musi być zawsze liczbą różną od 0.

Słownik

funkcja
funkcja

funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi x ze zbioru X odpowiada dokładnie jeden element y ze zbioru Y