Narysujemy wykres funkcji $f\left(x\right)=\left|-\frac{3}{x}\right|$.

Rozwiązanie

Krok 1. Rysujemy wykres funkcji $g\left(x\right)=-\frac{3}{x}$. Składa się on z dwóch gałęzi, narysowanych czerwoną linią.

R279ymwchoNA2

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 3 do pięć. W układzie zaznaczono wykres funkcji $g\left(x\right)=-\frac{3}{x}$. Ma ona kształt hiperboli, której asymptotami są osie układu współrzędnych. Jedna jej część znajduje się w drugiej ćwiartce i przechodzi przez punkty nawias minus trzy średnik jeden zamknięcie nawiasu i nawias jeden średnik trzy zamkniecie nawiasu. Druga część znajduje się w czwartej ćwiartce i przechodzi przez punkty nawias jeden średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i nawias trzy średnik minus jeden zamknięcie nawiasu.

Krok 2. Następnie część wykresu, która znajduje się poniżej osi $X$ odbijamy symetrycznie względem osi $X$. Część wykresu znajdująca się powyżej osi $X$ pozostaje bez zmian – niebieska przerywana linia

R10mOL9KdGXcU

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 3 do pięć. W układzie zaznaczono dwa wykresy funkcji. Pierwszy z nich ma równanie $g\left(x\right)=-\frac{3}{x}$. Ma ona kształt hiperboli, której asymptotami są osie układu współrzędnych. Jedna jej część znajduje się w drugiej ćwiartce i przechodzi przez punkty nawias minus trzy średnik jeden zamknięcie nawiasu i nawias jeden średnik trzy zamkniecie nawiasu. Druga część znajduje się w czwartej ćwiartce i przechodzi przez punkty nawias jeden średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i nawias trzy średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Drugi ma równanie $f\left(x\right)=\left|-\frac{3}{x}\right|$. Jego pierwsza część pokrywa się z pierwszą częścią pierwszego wykresu. Druga część znajduje się w całości w pierwszej ćwiartce i jest odbiciem lustrzanym drugiej części pierwszego wykresu względem osi x. Część ta przechodzi prze punkty nawias jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu i nawias trzy średnik jeden zamknięcie nawiasu.

Opiszemy teraz własności tej funkcji i podamy równania asymptot jej wykresu:

a) $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$;

b) $Z{W}_f=\left(0; \infty \right)$;

c) funkcja nie posiada miejsc zerowych;

d) funkcja jest rosnąca w przedziale: $\left(-\infty ; 0\right)$

e) funkcja jest malejąca w przedziale: $\left(0; \infty \right)$

f) asymptota pozioma: $y=0$, asymptota pionowa: $x=0$

Narysujemy wykres funkcji $f\left(x\right)=\left|-\frac{3}{x+4}\right|$.

Rozwiązanie

Krok 1. Najpierw rysujemy wykres funkcji $g\left(x\right)=-\frac{3}{x}$ – zielona linia.

Krok 2. Następnie przesuwamy wykres funkcji $g$ o wektor $\left[-4;0\right]$ i otrzymujemy wykres funkcji $h\left(x\right)=-\frac{3}{x+4}$ – czerwona linia.

Krok 3. Następnie część wykresu funkcji $y=h\left(x\right)$, która znajduje się poniżej osi $X$, odbijamy symetrycznie względem osi $X$. Część wykresu znajdująca się powyżej osi $X$ pozostaje bez zmian – niebieska linia.

R1Y0hakr7XIGt

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych poziomą osią x od minus 7 do 3 i pionową osią y od minus 3 do pięć. W układzie zaznaczono trzy wykresy. Pierwszy z nich ma równanie $g\left(x\right)=-\frac{3}{x}$. Ma ona kształt hiperboli, której asymptotami są osie układu współrzędnych. Jedna jej część znajduje się w drugiej ćwiartce i przechodzi przez punkty nawias minus trzy średnik jeden zamknięcie nawiasu i nawias jeden średnik trzy zamkniecie nawiasu. Druga część znajduje się w czwartej ćwiartce i przechodzi przez punkty nawias jeden średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i nawias trzy średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Drugi ma równanie $h\left(x\right)=-\frac{3}{x+4}$. Ma on również kształt hiperboli a jego asymptotami są proste $x=-4$ oraz $y=0$. Jego pierwsza część znajduje się w drugiej ćwiartce i przechodzi przez punkty nawias minus siedem średnik jeden zamknięcie nawias i nawias minus pięć średnik trzy zamknięcie nawiasu. Druga część znajduje się w trzeciej i czwartej ćwiartce i przechodzi przez punkty nawias minus trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i nawias minus jeden średnik minus jeden zamkniecie nawiasu. Trzeci wykres ma równanie $f\left(x\right)=\left|-\frac{3}{x+4}\right|$. Jego pierwsza część pokrywa się z pierwszą częścią drugiego wykresu, a druga część jest odbiciem lustrzanym drugiej części drugiego wykresu., znajduje się ona w drugiej i pierwszej ćwiartce i przechodzi przez punkty nawias minus trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu i nawias minus jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu.

Poniżej przedstawiony jest tylko efekt końcowy.

REn1DElFx1Xy2

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych poziomą osią x od minus 7 do 3 i pionową osią y od minus 1 do pięć. W układzie zaznaczono wykres funkcji o równaniu $f\left(x\right)=\left|-\frac{3}{x+4}\right|$. Wykres ma kształt hiperboli, której asymptotami są proste $x=-4$ oraz $y=0$. Jego pierwsza część znajduje się w drugiej ćwiartce i przechodzi przez punkty nawias minus siedem średnik jeden zamknięcie nawias i nawias minus pięć średnik trzy zamknięcie nawiasu. Druga część znajduje się w drugiej i pierwszej ćwiartce i przechodzi przez punkty nawias minus trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu i nawias minus jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu.

Narysujemy wykres funkcji $f\left(x\right)=\left|\frac{1}{x-2}-3\right|$ i opiszemy jej własności.

Rozwiązanie

Krok 1. Najpierw rysujemy wykres funkcji $g\left(x\right)=\frac{1}{x}$ – zielona linia.

Krok 2. Następnie przesuwamy wykres funkcji $g$ o wektor $\left[2;-3\right]$ i otrzymujemy wykres funkcji $h\left(x\right)=\frac{1}{x-2}-3$ – czerwona linia.

Krok 3. Następnie, część wykresu funkcji $y=h\left(x\right)$, która znajduje się poniżej osi $X$, odbijamy symetrycznie względem osi $X$. Część wykresu znajdująca się powyżej osi $X$ pozostaje bez zmian – niebieska linia.

R1XaMJK5uYgsT

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 4 do pięć. W układzie zaznaczono trzy wykresy. Pierwszy z nich ma równanie $g\left(x\right)=\frac{1}{x}$. Ma ona kształt hiperboli, której asymptotami są osie układu współrzędnych. Jedna jej część znajduje się w trzeciej ćwiartce i przechodzi przez punkt nawias minus jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Druga część znajduje się w pierwszej ćwiartce i przechodzi przez punkt nawias jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu. Drugi wykres ma równanie $h\left(x\right)=\frac{1}{x-2}-3$. Wykres ten również ma kształt asymptoty, jej asymptotami są proste $x=2$ i $y=-3$. Pierwsza część tego wykresy znajduje się w trzeciej i czwartej ćwiartce i przechodzi przez punkt nawias jeden średnik minus cztery zamknięcie nawiasu. Druga część znajduje się w pierwszej i czwartej ćwiartce i przechodzi przez punkt nawias trzy średnik minus dwa. Trzeci wykres ma równanie $f\left(x\right)=\left|\frac{1}{x-2}-3\right|$. Asymptotami tego wykresu są proste $x=2$ i $y=3$. Pierwsza część tego wykresu jest odbiciem lustrzanym względem osi x pierwszej części drugiego wykresu, znajduje się ona w drugiej i pierwszej ćwiartce i przechodzi przez punkt nawias jeden średnik cztery. Druga część tego wykresu pokrywa się z fragmentem drugiej części drugiego wykresu, który znajduje się nad osią x, z kolei część znajdująca się pod osią x została odbita względem osi x i przechodzi ona przez punkt nawias trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu.

Poniżej przedstawiony jest tylko efekt końcowy.

RfCeOr5AstWHV

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 1 do pięć. W układzie zaznaczono wykres o równaniu $f\left(x\right)=\left|\frac{1}{x-2}-3\right|$. Asymptotami tego wykresu są proste $x=2$ i $y=3$. Asymptotami tego wykresu są proste $x=2$ i $y=-3$. Pierwsza część tego wykresu znajduje się w drugiej i pierwszej ćwiartce i przechodzi przez punkt nawias jeden średnik cztery. Druga część tego wykresu biegnie wzdłuż prawej strony pionowej asymptoty aż do osi x, tam się odbija i biegnie po łuku przez punkt nawias trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu, wychodzi poza płaszczyznę układu pod poziomą asymptotą.

Opiszemy teraz własności tej funkcji i podamy równania asymptot jej wykresu:

a) $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{2\right\}$;

b) $Z{W}_f=\left.⟨0;\infty \right)$;

c) $x_0=\frac{7}{3}$;

d) funkcja jest rosnąca w przedziałach: $\left(-\infty ;2\right),\left.⟨\frac{7}{3}; \infty \right)$

e) funkcja jest malejąca w przedziale: $\left(2; \frac{7}{3}\right.⟩$

f) asymptota pozioma: $y=3$, asymptota pionowa: $x=2$

Narysujemy wykres funkcji $f\left(x\right)=\left|\frac{x-1}{x+1}\right|$ i omówimy jej własności.

Rozwiązanie

Krok 1. Przekształcamy wzór funkcji do postaci kanonicznej

$f\left(x\right)=\left|\frac{x-1}{x+1}\right|=\left|\frac{x+1-2}{x+1}\right|=\left|1-\frac{2}{x+1}\right|$

Krok 2. Rysujemy wykres funkcji $g\left(x\right)=-\frac{2}{x}$ – zielona linia

Krok 3. Następnie przesuwamy wykres funkcji $g$ o wektor $\left[-1;1\right]$ i otrzymujemy wykres funkcji $h\left(x\right)=\frac{-2}{x+1}+1$ – czerwona linia

Krok 4. Następnie część wykresu, która znajduje się poniżej osi $X$, odbijamy symetrycznie względem osi $X$. Część wykresu znajdująca się powyżej osi $X$ pozostaje bez zmian – niebieska przerywana linia

R1EL0bRDB44bO

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 3 do pięć. W układzie zaznaczono trzy wykresy. Pierwszy z nich ma równanie $g\left(x\right)=\frac{-2}{x}$. Ma on kształt hiperboli, której asymptotami są osie układu współrzędnych. Pierwsza część znajduje się w drugiej ćwiartce układu i przechodzi przez punkty nawias minus dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu i nawias minus jeden średnik dwa zamkniecie nawiasu. Druga część znajduje się w czwartej ćwiartce i przechodzi przez punkty nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i nawias dwa średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Drugi wykres ma równanie $h\left(x\right)=\frac{-2}{x+1}+1$, również ma on kształt hiperboli. Asymptotami tego wykresu są $x=-1$ oraz $y=1$. Pierwsza część tego wykresu znajduje się w drugiej ćwiartce i przechodzi przez punkty nawias minus trzy średnik dwa zamkniecie nawiasu i nawias minus dwa średnik trzy. Druga część znajduje się w czwartej ćwiartce i przechodzi prze punkty nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu i nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu. Trzeci wykres ma równanie $f\left(x\right)=\left|\frac{-2}{x+1}+1\right|$. Pierwsza część tego wykresu pokrywa się z pierwszą częścią drugiego wykresu. Z kolei druga część prezentuje się następująco: fragment drugiej części drugiego wykresu znajdujący się pod osą x został odbity względem osi x, a dalsza część znajdująca się nad osią pokrywa się z drugą częścią drugiego wykresu.

Poniżej przedstawiony jest tylko efekt końcowy.

R1R2QCJc7YLx9

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 1 do pięć. W układzie zaznaczono wykres o równaniu $f\left(x\right)=\left|\frac{-2}{x+1}+1\right|$. Jego pionową asymptotą jest prosta $x=-1$. Pierwsza część znajduje się w drugiej ćwiartce i przechodzi przez punkty nawias minus trzy średnik dwa zamkniecie nawiasu i nawias minus dwa średnik trzy. Druga część pojawia się na płaszczyźnie w drugiej ćwiartce i biegnie po prawej stronie pionowej asymptoty, następnie przecina oś y w punkcie nawias zero średnik jeden zamknięcie nawiasu i biegnie dalej do punktu nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, odbija się od osi x i wychodzi poza płaszczyznę układu w pierwszej ćwiartce.

Opiszemy teraz własności tej funkcji i podamy równania asymptot jej wykresu:

a) $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-1\right\}$;

b) $Z{W}_f=\left.⟨0;\infty \right)$;

c) $x_0=1$;

d) funkcja jest rosnąca w przedziałach: $\left(-\infty ;-1\right),\left.⟨1; \infty \right)$

e) funkcja jest malejąca w przedziale: $\left(-1; 1\right.⟩$

f) asymptota pozioma: $y=1$, asymptota pionowa: $x=-1$

zależność między dwiema zmieniającymi się wielkościami $x$ i $y$, w której iloczyn tych wielkości jest stały i różny od zera

przekształcenie, w którym współrzędna $x$ obrazu punktu pozostaje bez zmian, a współrzędna $y$ zmienia się na liczbę przeciwną