GraniastosłupgraniastosłupGraniastosłup jest bryłą, która ma dwie przystające, równoległe znajdujące się w różnych płaszczyznach podstawy, które są wielokątami.

Ściany boczne graniastosłupa są równoległobokami.

Przykład 1

Ocenimy, czy któraś z brył przedstawiona na rysunku jest graniastosłupem.

1.

RrH0W5sPeGH2E

Rysunek przedstawia bryłę o czterech ścianach bocznych będących trapezami oraz o dwóch podstawach będących kwadratami. Podstawa górna to mniejszy kwadrat, w podstawa dolna to większy kwadrat.

2.

RJM7eoJPDQsLe

Rysunek przedstawia bryłę o pięciu ścianach bocznych będących prostokątami oraz o dwóch pięciokątnych podstawach. Pięciokąty nie są foremne.

Pierwsza z brył nie jest graniastosłupem, ponieważ tylko dwie z sześciu jej ścian są równoległobokami. W graniastosłupie tylko dwie ze ścian mogą nie być równoległobokami i są to jego podstawy.

Druga z brył jest graniastosłupem. Ma dwie przystające podstawy w kształcie pięciokąta. Jej ściany boczne są prostokątami, a oczywiście każdy prostokąt jest równoległobokiem.

Podział i nazewnictwo graniastosłupów

Graniastosłupy dzielą się na proste i pochyłe.

Graniastosłup nazywamy graniastosłupem prostym, gdy jego wszystkie ściany boczne są prostokątami.

W graniastosłupie prostym każda z podstaw jest rzutem prostokątnym drugiej podstawy na płaszczyznę równoległą.

Graniastosłup nazywamy pochyłym, jeżeli ma ściany boczne, które nie są prostokątami.

W graniastosłupie pochyłym każda z podstaw jest rzutem ukośnym drugiej podstawy na płaszczyznę równoległą.

Przykład 2

Bryły na rysunku są graniastosłupami. Ocenimy, które z nich są proste, a które pochyłe.

1.

RxBatQV4RWGkD

Rysunek przedstawia bryłę o trzech ścianach bocznych będących kwadratami oraz o dwóch trójkątnych podstawach. Pięciokąty nie są foremne.

Jest to graniastosłup prostygraniastosłup prostygraniastosłup prosty.

2.

RhqSSj9rep8Hm

Rysunek przedstawia bryłę o dziesięciu ścianach bocznych w formie pochylonych równoległoboków oraz o dwóch równych podstawach będących dziesięciokątami.

Jest to graniastosłup pochyłygraniastosłup pochyłygraniastosłup pochyły.

3.

RQBekP7MTauCb

Rysunek przedstawia bryłę w kształcie namiotu. Jest to graniastosłup położony na jednej ze swoich trzech prostokątnych ścian. Podstawy bryły to dwa równe trójkąty.

Jest to graniastosłup prosty.

RycY5t2p1JwcR

Ilustracja interaktywna. Nagłówek: Każdy graniastosłup ma dwie równoległe podstawy. Pod nagłówkiem po lewej stronie znajduje się rysunek graniastosłupa o pięciu prostokątnych ścianach bocznych oraz o dwóch identycznych pięciokątnych podstawach. Po prawej stronie umieszczono interaktywny komentarz w formie rozwijanej tabelki zatytułowanej "Graniastosłupy nazywamy zależnie od figury w podstawie" i podano trzy przykłady. 1. Graniastosłup dziewięciokątny.
Figura w podstawie to dziewięciokąt. , 2. Graniastosłup czworokątny.
Figura w podstawie to czworokąt., 3. Graniastosłup sześciokątny.
Figura w podstawie to sześciokąt., W tabeli poniżej przedstawiono dwa różne przypadki i opisano je ze względu na ściany boczne oraz ze względu na krawędzie i wysokości. Opisano tu graniastosłupy pochyłe oraz proste. 4. Graniastosłup pochyły jest bryłą, w której krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw., 5. Graniastosłup pochyły charakteryzuje się tym, że jego krawędzie boczne nie są wysokościami. Poprawnie zaznaczona wysokość w graniastosłupie pochyłym łączy obie podstawy i jest prostopadła jednocześnie do podstawy górnej, jak i dolnej oraz znajduje się wewnątrz bryły., 6. Graniastosłup prosty to bryła, której ściany boczne są prostokątami., 7. Graniastosłup prosty charakteryzuje się tym, że jego krawędź boczna jest wysokością, chociaż wysokość można narysować czy wyznaczyć nie tylko na krawędzi, ale i w środku bryły, wybierając dowolny odcinek łączący obie podstawy, będący jednocześnie prostopadłym do górnej i dolnej podstawy.

Ilustracja interaktywna. Nagłówek: Każdy graniastosłup ma dwie równoległe podstawy. Pod nagłówkiem po lewej stronie znajduje się rysunek graniastosłupa o pięciu prostokątnych ścianach bocznych oraz o dwóch identycznych pięciokątnych podstawach. Po prawej stronie umieszczono interaktywny komentarz w formie rozwijanej tabelki zatytułowanej "Graniastosłupy nazywamy zależnie od figury w podstawie" i podano trzy przykłady. 1. Graniastosłup dziewięciokątny.
Figura w podstawie to dziewięciokąt. , 2. Graniastosłup czworokątny.
Figura w podstawie to czworokąt., 3. Graniastosłup sześciokątny.
Figura w podstawie to sześciokąt., W tabeli poniżej przedstawiono dwa różne przypadki i opisano je ze względu na ściany boczne oraz ze względu na krawędzie i wysokości. Opisano tu graniastosłupy pochyłe oraz proste. 4. Graniastosłup pochyły jest bryłą, w której krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw., 5. Graniastosłup pochyły charakteryzuje się tym, że jego krawędzie boczne nie są wysokościami. Poprawnie zaznaczona wysokość w graniastosłupie pochyłym łączy obie podstawy i jest prostopadła jednocześnie do podstawy górnej, jak i dolnej oraz znajduje się wewnątrz bryły., 6. Graniastosłup prosty to bryła, której ściany boczne są prostokątami., 7. Graniastosłup prosty charakteryzuje się tym, że jego krawędź boczna jest wysokością, chociaż wysokość można narysować czy wyznaczyć nie tylko na krawędzi, ale i w środku bryły, wybierając dowolny odcinek łączący obie podstawy, będący jednocześnie prostopadłym do górnej i dolnej podstawy.

1

2

3

4

5

6

7

1. Graniastosłup dziewięciokątny
Figura w podstawie: dziewięciokąt. {audio}

2. Graniastosłup czworokątny
Figura w podstawie: czworokąt. {audio}

3. Graniastosłup sześciokątny
Figura w podstawie: sześciokąt. {audio}

4. Graniastosłup pochyły
Graniastosłup, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw. {audio}

5. Graniastosłup pochyły
Krawędzie boczne nie są wysokościami.

Poprawnie zaznaczona wysokość: {audio}

6. Graniastosłup prosty
Ściany boczne są prostokątami.{audio}

7. Graniastosłup prosty
Krawędź boczna jest wysokością.

Wysokość nie musi być krawędzią boczną: {audio}

Nazywając graniastosłupy bierzemy pod uwagę wielokąt, który znajduje się w podstawie.

Jeżeli w podstawie graniastosłupa jest czworokąt, to graniastosłup nazywamy czworokątnym – bez względu na to, czy w podstawie jest kwadrat, trapez, romb, czy inny czworokąt.
Analogicznie, gdy w podstawie jest trójkąt, to graniastosłup nazywamy trójkątnym itd.

Graniastosłup, który ma w podstawie trójkąt i jest prosty nazywamy graniastosłupem prostym trójkątnym.

Graniastosłup, który ma w podstawie trójkąt i jest pochyły nazywamy graniastosłupem pochyłym trójkątnym.

Przykład 3

Nazwiemy graniastosłupy na rysunkach.

1.

RjWX7CVNTNgxn

Rysunek przedstawia bryłę o trzech prostokątnych ścianach i dwóch identycznych trójkątnych podstawach.

Graniastosłup prosty trójkątny.

2.

RRNVRHIoghRC8

Rysunek przedstawia bryłę o czterech prostokątnych ścianach i dwóch identycznych podstawach będących czworokątami w kształcie haczyka.

Graniastosłup prosty czworokątny.

3.

R9j6GPpHrtot9

Rysunek przedstawia bryłę o czterech ścianach będących równoległobokami i o dwóch identycznych prostokątnych podstawach.

Graniastosłup pochyły czworokątny.

Graniastosłupy proste, które w podstawie mają wielokąt foremny nazywamy graniastosłupami prawidłowymi.

Przykład 4

1.

RKxHcrde6gw7a

Rysunek przedstawia bryłę o trzech prostokątnych ścianach i dwóch identycznych trójkątnych podstawach. Podstawy te są trójkątami równobocznymi o  boku o długości $a$. Przy jednym z dolnych wierzchołków bryły między krawędzią boczną a krawędzią podstawy zaznaczono kąt prosty.

Graniastosłup prawidłowy trójkątny.

2.

R1dUy2TFcG9be

Rysunek przedstawia bryłę o czterech prostokątnych ścianach i dwóch identycznych kwadratowych podstawach. Podstawy te są kwadratami o długości boku $a$. Przy jednym z dolnych wierzchołków bryły między krawędzią boczną a krawędzią podstawy zaznaczono kąt prosty.

Graniastosłup prawidłowy czworokątny.

3.

R1KzK3NAbH1Ee

Rysunek przedstawia bryłę o sześciu prostokątnych ścianach i dwóch identycznych sześciokątnych podstawach. Podstawy te są sześciokątami foremnymi o długości boku $a$. Przy jednym z dolnych wierzchołków bryły między krawędzią boczną a krawędzią podstawy zaznaczono kąt prosty.

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny.

Elementy graniastosłupa

Każdy graniastosłup ma dwie równoległe podstawy, które są wielokątami. Pozostałe ściany graniastosłupa nazywamy ścianami bocznymi. Boki wielokątów, które są ścianami graniastosłupa nazywamy krawędziamikrawędźkrawędziami – boki wielokątów w podstawach to krawędzie podstawy, pozostałe krawędzie nazywamy krawędziami bocznymi. WierzchołkiwierzchołekWierzchołki wielokątów, które są ścianami graniastosłupa nazywamy wierzchołkami graniastosłupa.

RxV4hm05xgoPg

Rysunek przedstawia bryłę o trzech prostokątnych ścianach i dwóch identycznych trójkątnych podstawach. Podpisano następujące elementy bryły: obie trójkątne podstawy (górną i dolną), krawędź boczną, krawędź podstawy, ścianę boczną oraz wierzchołek.

R1JidVelIeFUU

Pokaz slajdów zatytułowany jest "Charakterystyka graniastosłupa n-kątnego" i zawiera dziewięć ilustracji opisujących kolejne elementy konstrukcyjne graniastosłupa. Rysunki przedstawiają przykładowy graniastosłup, tutaj jest to prostopadłościan
Rysunek pierwszy przedstawia prostopadłościan zamalowany na niebiesko.
Rysunek drugi przedstawia niezamalowany prostopadłościan, w którym zamalowanymi pogrubionymi punktami wyróżniono osiem (w tym przypadku) wierzchołków, które podpisano. Są to wierzchołki obu podstaw bryły.
Rysunek trzeci przedstawia prostopadłościan, w którym zamalowano na różowo tylko prostokątne ściany boczne i podpisano je.
Rysunek czwarty przedstawia niezamalowany prostopadłościan, którego krawędzie ścian bocznych wyróżniono kolorem fioletowym i podpisano. Są to (w tym przypadku cztery) pionowe boki prostokątnych ścian.
Rysunek piąty przedstawia niezamalowany prostopadłościan z zamalowanymi na różowo podstawami, które podpisano.
Rysunek szósty przedstawia niezamalowany prostopadłościan z wyróżnionymi kolorem fioletowym krawędziami obu podstaw, które podpisano. Zaznaczono w tym przypadku cztery boki podstawy górnej i cztery boki podstawy dolnej.
Rysunek siódmy przedstawia zamalowany prostopadłościan, który podpisano następująco: "Ilość ścian w graniastosłupie n-kątnym wynosi: $n+2$, czyli $n$ ścian bocznych i dwie podstawy".
Rysunek ósmy przedstawia niezamalowany prostopadłościan, który podpisano następująco: "Ilość krawędzi w graniastosłupie n-kątnym wynosi $3n$, czyli $n$ krawędzi bocznych i $2n$ krawędzi podstaw".
Rysunek dziewiąty przedstawia niezamalowany prostopadłościan, który podpisano następująco: "Ilość wierzchołków w graniastosłupie n-kątnym wynosi $2n$.

Pokaz slajdów zatytułowany jest "Charakterystyka graniastosłupa n-kątnego" i zawiera dziewięć ilustracji opisujących kolejne elementy konstrukcyjne graniastosłupa. Rysunki przedstawiają przykładowy graniastosłup, tutaj jest to prostopadłościan
Rysunek pierwszy przedstawia prostopadłościan zamalowany na niebiesko.
Rysunek drugi przedstawia niezamalowany prostopadłościan, w którym zamalowanymi pogrubionymi punktami wyróżniono osiem (w tym przypadku) wierzchołków, które podpisano. Są to wierzchołki obu podstaw bryły.
Rysunek trzeci przedstawia prostopadłościan, w którym zamalowano na różowo tylko prostokątne ściany boczne i podpisano je.
Rysunek czwarty przedstawia niezamalowany prostopadłościan, którego krawędzie ścian bocznych wyróżniono kolorem fioletowym i podpisano. Są to (w tym przypadku cztery) pionowe boki prostokątnych ścian.
Rysunek piąty przedstawia niezamalowany prostopadłościan z zamalowanymi na różowo podstawami, które podpisano.
Rysunek szósty przedstawia niezamalowany prostopadłościan z wyróżnionymi kolorem fioletowym krawędziami obu podstaw, które podpisano. Zaznaczono w tym przypadku cztery boki podstawy górnej i cztery boki podstawy dolnej.
Rysunek siódmy przedstawia zamalowany prostopadłościan, który podpisano następująco: "Ilość ścian w graniastosłupie n-kątnym wynosi: $n+2$, czyli $n$ ścian bocznych i dwie podstawy".
Rysunek ósmy przedstawia niezamalowany prostopadłościan, który podpisano następująco: "Ilość krawędzi w graniastosłupie n-kątnym wynosi $3n$, czyli $n$ krawędzi bocznych i $2n$ krawędzi podstaw".
Rysunek dziewiąty przedstawia niezamalowany prostopadłościan, który podpisano następująco: "Ilość wierzchołków w graniastosłupie n-kątnym wynosi $2n$.

Przykład 5

Wymienimy elementy graniastosłupa na rysunku.

RcDMBjQKKMSJO

Rysunek przedstawia graniastosłup pochyły o pięciu ścianach bocznych będących równoległobokami i o dwóch pięciokątnych podstawach. Podstawa dolna to pięciokąt $ABCDE$, a podstawa górna to pięciokąt $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}E\text{'}$.

Podstawy: $ABCDE$, $A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}E\text{'}$

Ściany boczne: $ABB\text{'}A\text{'}$, $BCC\text{'}B\text{'}$, $CDD\text{'}C\text{'}$, $DEE\text{'}D\text{'}$, $EAA\text{'}E\text{'}$

Krawędzie podstawy: $AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EA$, $A\text{'}B\text{'}$, $B\text{'}C\text{'}$, $C\text{'}D\text{'}$, $D\text{'}E\text{'}$, $E\text{'}A\text{'}$

Krawędzie boczne: $AA\text{'}$, $BB\text{'}$, $CC\text{'}$, $DD\text{'}$, $EE\text{'}$

Wierzchołki: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $A\text{'}$, $B\text{'}$, $C\text{'}$, $D\text{'}$, $E\text{'}$

Słownik