Przeczytaj
Jeżeli znasz już wszystkie własności ciągu geometrycznego, wiesz kiedy szereg geometryczny jest zbieżny, zastosujemy tę wiedzę do rozwiązywania zadań o charakterze egzaminacyjnym. Na tej lekcji zebrana została kolekcja zadań, które są zadaniami typu maturalnego.
Dany jest ciąg geometryczny określony wzorem dla . Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznaczymy najmniejszą liczbę całkowitą , dla której nieskończony szereg jest zbieżny. Podamy dla wyznaczonej liczby sumę szeregu .
Rozwiązanie
Zapiszmy założenie:
.
Ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie .
Wyrazy ciągu są dodatnie, zatem i .
Ponieważ , więc
Szereg geometryczny jest zbieżnySzereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy lub .
Ponieważ , zatem musi być spełniony warunek , co jest równoważne warunkowi , skąd dostajemy .
Zatem szereg o wyrazach dodatnich jest zbieżny dla .
Najmniejsza liczba całkowita należąca do przedziału to .
Dla szereg ma postać , zatem jego sumą jest .
Dany jest nieskończony ciąg okręgów o równaniach , gdzie . Niech będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem i wewnętrznym okręgiem . Obliczymy sumę pól wszystkich pierścieni , gdzie .
Rozwiązanie
Okrąg o równaniu jest okręgiem o środku i promieniu .
Pole koła ograniczonego okręgiem jest równe .
Pierścień jest ograniczony z zewnątrz okręgiem o polu i od wewnątrz okręgiem o polu .
Pole pierścienia jest równe .
Ponieważ mamy obliczyć sumę pól wszystkich pierścieni zauważmy, że ciąg pól jest ciągiem geometrycznym o ilorazie
.
Ponieważ iloraz spełnia warunek , zatem szereg geometryczny jest zbieżny i jego suma jest równa: .
Odpowiedź: Suma pól wszystkich pierścieni jest równa .
Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego są liczbami dodatnimi. Suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych jest razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych oraz . Oblicz .
Rozwiązanie
Jeżeli iloraz ciągu jest równy , to iloraz ciągu wyrazów o numerach nieparzystych jest równy oraz iloraz ciągu wyrazów o numerach parzystych jest równy . Ponieważ suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych jest sto razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych, więc . Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, zatem .
Zapiszmy warunek w następujący sposób: suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych jest dziesięć razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych w następujący sposób:
Stąd otrzymujemy, że .
Teraz zajmiemy się drugim warunkiem:
.
Wykorzystując wzór na sumę logarytmówsumę logarytmów przekształcamy równanie do postaci:
.
Wykorzystujemy wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego:
Korzystamy z definicji logarytmu dziesiętnego:
Stąd otrzymujemy odpowiedź: .
Wartości funkcji spełniają dla każdego następujące równanie
, gdzie lewa strona równania jest sumą szeregu geometrycznego. Wyznaczymy dziedzinę, zbiór wartości i wzór funkcji .
Rozwiązanie
Aby szereg z lewej strony równania był zbieżny musi być spełniony warunek .
Wyznaczmy wzór funkcji zakładając, że jest spełniony warunek . Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, mamy
Stąd otrzymujemy:
.
Zatem wzór funkcji ma postać:
.
Podamy dziedzinę korzystając z warunku :
i
Dostajemy zatem układ nierówności:
i .
Rozwiązujemy nierówność :
,
Zatem .
Rozwiązujemy nierówność :
Zatem dziedziną funkcji jest część wspólna zbiorów: oraz .
Zatem dziedziną funkcji jest zbiór: .
Aby odczytać zbiór wartości funkcji , narysujemy wykres.
Zatem z wykresu odczytujemy, że zbiorem wartości jest przedział .
Słownik
jeżeli lub , to szereg geometryczny jest zbieżny
jeżeli , to
jeżeli , to
jeżeli oraz , to