Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Jeżeli znasz już wszystkie własności ciągu geometrycznego, wiesz kiedy szereg geometryczny jest zbieżny, zastosujemy tę wiedzę do rozwiązywania zadań o charakterze egzaminacyjnym. Na tej lekcji zebrana została kolekcja zadań, które są zadaniami typu maturalnego.

Przykład 1

Dany jest ciąg geometryczny an określony wzorem an=12x-371n dla n1. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznaczymy najmniejszą liczbę całkowitą x, dla której nieskończony szereg a1+a2+a3+ jest zbieżny. Podamy dla wyznaczonej liczby sumę szeregu a1+a2+a3+.

Rozwiązanie

Zapiszmy założenie:

2x-3710

x185,5.

Ciąg an jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q=12x-371.

Wyrazy ciągu an są dodatnie, zatem a1>0q>0.

Ponieważ a1=q=12x-371>0, więc x185,5;

Szereg geometryczny jest zbieżnyszereg geometryczny zbieżnySzereg geometryczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |q|<1 lub a1=0.

Ponieważ 12x-371>0, zatem musi być spełniony warunek 12x-371<1, co jest równoważne warunkowi 1<2x-371, skąd dostajemy x>186.

Zatem szereg n=1an o wyrazach dodatnich jest zbieżny dla x186,.

Najmniejsza liczba całkowita należąca do przedziału 186, to 187.

Dla x=187 szereg ma postać n=112·187-371n=n=113n, zatem jego sumą jest 131-13=12.

Przykład 2

Dany jest nieskończony ciąg okręgów on o równaniach x2+y2=211-n, gdzie n1. Niech Pk będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem o2k-1 i wewnętrznym okręgiem o2k. Obliczymy sumę pól wszystkich pierścieni Pk, gdzie k1.

Rozwiązanie

Okrąg on o równaniu x2+y2=211-n jest okręgiem o środku 0,0 i promieniu rn=211-n.

Pole koła ograniczonego okręgiem on jest równe πrn2=π·211-n.

Pierścień Pk jest ograniczony z zewnątrz okręgiem o2k-1 o polu πr2k-12=π·211-2k-1=π·212-2k i od wewnątrz okręgiem o2k o polu πr2k2=π·211-2k.

RCIaILLc6ZIYO

Pole pierścienia Pk jest równe Pk=π·212-2k-π·211-2k=π·211-2k2-1=π·211-2k.

Ponieważ mamy obliczyć sumę pól wszystkich pierścieni Pk zauważmy, że ciąg pól Pk jest ciągiem geometrycznym o ilorazie

q=PkPk-1=π·211-2kπ·211-2k-1=211-2k213-2k=211-2k-13-2k=2-2=14.

Ponieważ iloraz spełnia warunek q<1, zatem szereg geometryczny n=1Pn jest zbieżny i jego suma jest równa: S=29π1-14=29π34=4·29π3=211π3=2048π3.

Odpowiedź. Suma pól wszystkich pierścieni Pk jest równa 2048π3.

Przykład 3

Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego an są liczbami dodatnimi. Suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych jest 100 razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych oraz loga1+loga2+loga3++loga100=100. Oblicz a1.

Rozwiązanie

Jeżeli iloraz ciągu an jest równy q, to iloraz ciągu wyrazów o numerach nieparzystych jest równy q2 oraz iloraz ciągu wyrazów o numerach parzystych jest równy q2. Ponieważ suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych jest sto  razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych, więc q2<1. Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu an są dodatnie, zatem 0<q<1.

Zapiszmy warunek w następujący sposób: suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych jest dziesięć razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych w następujący sposób:

a11-q2=100a1q1-q2

Stąd otrzymujemy, że q=1100.

Teraz zajmiemy się drugim warunkiem:

loga1+loga2+loga3++loga100=100.

Wykorzystując wzór na sumę logarytmówsuma logarytmówsumę logarytmów przekształcamy równanie do postaci:

loga1·a2·a3·a100=100.

Wykorzystujemy wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego:

loga1·a1q·a1q2··a1q99=100

loga110011001+2++99=100

Korzystamy z definicji logarytmu dziesiętnego:

a110011001+2++99=10100

a11001100991002=10100

a11099=10

Stąd otrzymujemy odpowiedź: a1=10100.

Przykład 4

Wartości funkcji f:D spełniają dla każdego xD następujące równanie

1+fx+fx2+fx3+=12x2-3x, gdzie lewa strona równania jest sumą szeregu geometrycznego. Wyznaczymy dziedzinę, zbiór wartości i wzór funkcji f.

Rozwiązanie

Aby szereg z lewej strony równania był zbieżny musi być spełniony warunek fx<1.

Wyznaczmy wzór funkcji f zakładając, że jest spełniony warunek fx<1. Ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, mamy

11-fx=12x2-3x

Stąd otrzymujemy:

2x2-3x=1-fx.

Zatem wzór funkcji ma postać:

fx=-2x2+3x+1.

Podamy dziedzinę korzystając z warunku fx<1:

-1<-2x2+3x+1-2x2+3x+1<1

Dostajemy zatem układ nierówności:

2x2-3x-2<00<2x2-3x.

Rozwiązujemy nierówność 2x2-3x-2<0:

Δ=9+16=25

x1=-12, x2=2

Zatem x-12,2.

Rozwiązujemy nierówność 0<2x2-3x:

0<2xx-32

x-,032,+

Zatem dziedziną funkcji jest część wspólna zbiorów: -12,2 oraz -,032,+.

Zatem dziedziną funkcji jest zbiór: -12,032,2.

Aby odczytać zbiór wartości funkcji f narysujemy wykres.

RYfSBpOCQcPNx

Zatem z wykresu odczytujemy, że zbiorem wartości jest przedział -1,1.

Słownik

szereg geometryczny zbieżny
szereg geometryczny zbieżny

jeżeli q<1 lub a1=0, to szereg geometryczny n=1a1·qn-1 jest zbieżny

jeżeli a1=0, to n=1a1·qn-1=0

jeżeli q<1, to n=1a1·qn-1=limnSn=a11-q

suma logarytmów
suma logarytmów

Jeżeli x,y>0 oraz a0,11,+, to logax+logay=logax·y.