Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

W trakcie lekcji poznamy metody zamiany postaci ogólnej równania okręgu na postać kanoniczną i na odwrót.

Już wiesz

Równanie okręgu możemy zapisać w postaci kanonicznej i ogólnej.

Postać kanoniczną równania okręgu zapisujemy za pomocą równania:

x-a2+y-b2=r2, gdzie S=a,b - środek okręgu, r - promień okręgu.

Równanie okręgu w postaci ogólnej zapiszemy natomiast następująco:

x2+y2-2ax-2by+c=0, przy czym r=a2+b2-c oraz r>0.

Zamiana postaci kanonicznej równania okręgu na postać ogólną

I sposób

Wykorzystując wzory skróconego mnożenia, równanie x-a2+y-b2=r2 przekształcamy do postaci:

x2-2ax+a2+y2-2by+b2-r2=0.

Po uporządkowaniu otrzymujemy, że: x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.

Gdy oznaczymy wyrażenie a2+b2-r2 literą c, otrzymamy postać ogólną równania okręgu:

x2+y2-2ax-2by+c=0.

II sposób

postaci kanonicznejrównanie okręgu w postaci kanonicznejpostaci kanonicznej równania okręgu możemy odczytać wartości a,b oraz r2.

Do wyznaczenia postaci ogólnej wystarczy wykorzystać wzór c=a2+b2-r2.

Mając współczynniki a,b,c możemy zapisać postać ogólną równania okręgu.

Przykład 1

Wyznaczymy równanie ogólne okręgu zadanego w postaci kanonicznej:

x-32+y+22=16.

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia mamy, że:x2-6x+9+y2+4y+4=16.

Po uporządkowaniu otrzymujemy postać ogólną równania okręgu:

x2+y2-6x+4y-3=0.

Przykład 2

Wyznaczymy postać ogólnąrównanie okręgu w postaci ogólnejpostać ogólną równania okręgu zadanego w postaci kanonicznej: x+12+y-32=9.

Odczytujemy wartości: a=-1, b=3 oraz r2=9.

Podstawiamy do wzoru c=a2+b2-r2.

Otrzymujemy, że c=-12+32-9=1+9-9=1.

Wartości współczynników podstawiamy do postaci ogólnej równania okręgu i otrzymujemy, że:

x2+y2-2·-1x-2·3y+1=0.

Po uporządkowaniu, otrzymujemy postać ogólną równania okręgu:

x2+y2+2x-6y+1=0.

Zamiana postaci ogólnej równania okręgu na postać kanoniczną

I sposób

W tym przypadku skorzystamy z metody uzupełniania do kwadratu.

Do obu stron równania x2+y2-2ax-2by+c=0 dodamy wyrażenie a2+b2.

Otrzymujemy, że x2+y2-2ax-2by+a2+b2+c=a2+b2.

Grupujemy następnie wyrazy równania do postaci: x2-2ax+a2+y2-2by+b2=a2+b2-c.

Skorzystamy teraz ze wzorów skróconego mnożenia. Otrzymujemy, że x-a2+y-b2=a2+b2-c.

Wyrażenie a2+b2-c oznaczymy jako r2 i otrzymujemy w ten sposób postać kanoniczną równania okręgu: x-a2+y-b2=r2.

II sposób

Z postaci ogólnej równania okręgu x2+y2-2ax-2by+c=0 możemy odczytać wartości współczynników a,b oraz c.

Po wykorzystaniu wzoru r=a2+b2-c , otrzymamy postać kanoniczną równania okręgu: x-a2+y-b2=r2.

Przykład 3

Równanie okręgu x2+y2-4x+10y+13=0 zapiszemy w postaci kanonicznej.

Zapiszmy podane równanie jako:

x2+y2-4x+10y+13+4+25=29.

Po uporządkowaniu otrzymujemy, że x2-4x+4+y2+10y+25=16.

Wykorzystując metodę zwijania do kwadratu, otrzymujemy: x-22+y+52=16.

Przykład 4

Znajdziemy postać kanoniczną równania okręgu zapisanego w postaci x2+y2+6x-2y+6=0.

Z równania możemy odczytać, że -2a=6, -2b=-2 oraz c=6.

Zatem a=-3, b=1, c=6.

Obliczamy wartość r=-32+12-6=4=2.

Podstawiamy otrzymane liczby do postaci kanonicznej i otrzymujemy:

x+32+y-12=4.

Słownik

równanie okręgu w postaci kanonicznej
równanie okręgu w postaci kanonicznej

x-a2+y-b2=r2, gdzie S=a,b - środek okręgu, r - promień okręgu

równanie okręgu w postaci ogólnej
równanie okręgu w postaci ogólnej

x2+y2-2ax-2by+c=0, gdzie  r=a2+b2-c i  r>0