Warto przeczytać

Jednym z modeli zderzeń rozpatrywanych w fizyce są zderzenia niesprężystezderzenie niesprężystezderzenia niesprężyste. W przypadku takich zderzeń, dwa ciała, pomiędzy którymi dochodzi do kolizji, łączą się w jeden obiekt, którego masa jest równa sumie masie ciał składowych. Ciała po zderzeniu poruszają się z tą samą prędkością. Prędkość ciał po zderzeniu niesprężystym wyznaczana jest z wykorzystaniem zasady zachowania pędu, zgodnie z którą całkowity pęd układupęd układupęd układu przed zderzeniem jest równy pędowi układu po kolizji. Przeanalizujmy trzy przykłady, które przybliżą nam model zderzeń niesprężystych.

Przykład 1.

Wyobraźmy sobie dwa klocki o masach $m_{1}$ = 10 g i $m_{2}$ = 20 g. Klocki poruszają się w tym samym kierunku z prędkościami $v_{1}$ = 4 m/s oraz $v_{2}$ = 2 m/s, tak jak zaprezentowano na Rys. 1.

Rba3B4maQEYDZ

Rys. 1. Rysunek przedstawia doskonale niesprężyste zderzenie dwóch kwadratowych ciał o różnych masach (sytuacja przed zderzeniem). Na rysunki widać ciała przed zderzeniem poruszające się poziomo po powierzchni blatu. Przed zderzeniem czerwone ciało porusza się w prawo z prędkością oznaczoną czarnym wektorem i czarnym tekstem jako mała litera v z indeksem dolnym jeden równą cztery metry na sekundę i przesuwa się w kierunku niebieskiego ciała, którego prędkość oznaczono czarnym wektorem i małą czarną literą v z indeksem dolnym dwa równą dwa metry na sekundę. Masa czerwonego ciała wynosi dziesięć gramów a niebieskiego dwadzieścia gramów.

W pewnej chwili dochodzi do zderzenia pomiędzy klockami, które łączą się w jeden obiekt i wspólnie poruszają się dalej ze zmienioną prędkością $v'$ (Rys. 2.).

R4t80VMZFWmr1

Rys. 2. Rysunek przedstawia doskonale niesprężyste zderzenie dwóch kwadratowych ciał o różnych masach (sytuacja po zderzeniu). Po zderzeniu czerwone ciało porusza się połączone z niebieskim ciałem w prawo z prędkością oznaczoną czarnym wektorem i małą litera v prim równą znakowi zapytania. Masa czerwonego ciała wynosi dziesięć gramów a niebieskiego dwadzieścia gramów.

Wyznaczmy prędkość $v'$, z jaką klocki poruszać się będą po zderzeniu.

Wykorzystajmy zasadę zachowania pędu. Całkowity pęd układu przed zderzeniem jest równy sumie pędów klocka pierwszego $\vec{p_1}$ oraz drugiego $\vec{p_2}$. Suma ta jest równa pędowi układu po zderzeniu $\vec{p^{_{'}}}$:

Możemy zapisać powyższe równanie, wykorzystując parametry układu, podane w treści zadania:

Ponieważ ruch odbywa się wzdłuż prostej, zrezygnujmy z zapisu wektorowego i rozwiążmy powyższe równanie w celu wyznaczenia wartości prędkości klocków po zderzeniu:

W analizowanym przykładzie wyznaczyliśmy prędkość końcową układu wykorzystując zasadę zachowania pędu. Nasuwa się jednak pytanie, dlaczego nie skorzystaliśmy z zasady zachowania energii mechanicznej? Otóż dlatego, że w modelu zderzeń niesprężystych część energii mechanicznej może zostać zużyta np. na odkształcenie, wygenerowanie fali akustycznej lub zostać przekształcona w ciepło.

Przeanalizujmy inny przypadek zderzenia niesprężystego.

Przykład 2.

Naprzeciw siebie stoi dwóch pojedynkujących się rewolwerowców. W tej samej chwili wystrzeliwują oni kule o masach $m_{1}$ = 30 g i $m_{2}$ = 60 g. Kule te, zderzają się centralnie i upadają dokładnie w miejscu zderzenia (Rys. 3.). Wyznaczmy prędkość lżejszej z kul $v_{1}$ = ?, wiedząc że prędkość kuli cięższej przed zderzeniem wynosiła $v_{2}$ = 25 m/s.

RjFAqqhUYH7B8

Rys. 3. Rysunek przedstawia dwie kule: czerwoną mniejszą o masie trzydziestu gramów z lewej oraz niebieską większą o masie sześćdziesięciu gramów z prawej strony. Obie kule lecą poziomo w kierunku środka rysunku z prędkościami oznaczonymi czarnymi wektorami. Kula czerwona leci od lewej strony do środka, a kula niebieska z prawej strony do środka. Na środku rysunku kule się zderzają i zatrzymują co przedstawiono w postaci zarysów ich kształtów narysowanych czarną przerywaną linią. Prędkość kuli czerwonej opisano małą czarną literą v z indeksem dolnym jeden równą znakowi zapytania. Prędkość kuli niebieskiej opisano małą czarną literą v z indeksem dolnym dwa równą dwadzieścia pięć metrów na sekundę.

Ponownie wykorzystamy zasadę zachowania pędu, przyrównując sumę wartości pędów początkowych $\vec{p_1}$ i $\vec{p_2}$ do pędu układu kul po zderzeniu $\vec{p^{_{'}}}$:

Zwróćmy uwagę, że kule początkowo poruszały się naprzeciw siebie. Rezygnując z zapisu wektorowego, musimy uwzględnić zwrot wektorów $\vec{p_1}$ i $\vec{p_2}$.

Wykorzystując parametry układu możemy zapisać zasadę zachowania pędu w postaci:

Zauważmy, że prędkość kul po zderzeniu $v'=0$, a zatem całkowity pęd układu po zderzeniu również wynosi 0

Przekształcając powyższe równanie, możemy wyznaczyć prędkość $v_{1}$:

Zwróćmy uwagę, że zderzające się ciała nie muszą poruszać się w tym samym kierunku. Przeanalizujmy trudniejszy przykład, w którym wykorzystamy rachunek wektorowy.

Przykład 3.

Wyobraźmy sobie dwa ciała o masach $m_{1}$ = 0,5 kg i $m_{2}$ = 1 kg, poruszające się w kierunkach prostopadłych względem siebie, z prędkościami $v_{1}$ = 3 m/s oraz $v_{2}$ = 2 m/s. W pewnej chwili ciała zderzają się niesprężyście i dalej poruszają się w razem. Sytuacja ta zaprezentowana została na Rys. 4.

RLbF96Qtu0V9N

Rys. 4. Rysunek przedstawia prostokątny układ współrzędnych XY narysowany przerywaną linią. Na ujemnej części osi X znajduje się czerwona kulka o masie pół kilograma poruszająca się po tej osi zgodnie ze zwrotem osi X z prędkością oznaczoną czerwonym wektorem oraz małą czarną literą v z indeksem dolnym jeden ze znaczkiem wektora ponad nią, której współrzędna w kierunku x wynosi trzy metry na sekundę a współrzędna w kierunku y zero metrów na sekundę. Na ujemnej części osi Y znajduje się niebieski, kwadratowy klocek o masie jednego kilograma poruszający się po tej osi zgodnie ze zwrotem osi Y z prędkością oznaczoną niebieskim wektorem oraz małą czarną literą v z indeksem dolnym dwa i znaczkiem wektora ponad nią, której współrzędna w kierunku x wynosi zero metrów na sekundę a współrzędna w kierunku y dwa metry na sekundę. Obiekty te zderzają się ze sobą niesprężyście i poruszają się razem ukośnie w stronę prawego górnego rogu rysunku. Razem obiekty te mają masę półtora kilograma i prędkość oznaczoną czarnym wektorem opisanym małą czarną literą v prim ze znaczkiem wektora ponad nią równą znakowi zapytania.

Wyznaczmy wartość prędkości, z jaką ciała poruszać będą się po zderzeniu.

Zauważmy, że w tym przypadku wygodnie będzie zapisać prędkości ciał $v_{1}$ i $v_{2}$ w postaci wektorów o współrzędnych $\vec{v_{1}} = \left[ 3\frac{\text{m}}{\text{s}}; 0\frac{\text{m}}{\text{s}}\right]$ oraz $\vec{v_{2}} = \left[ 0\frac{\text{m}}{\text{s}}; 2\frac{\text{m}}{\text{s}}\right]$. Znaki dodatnie przy współrzędnych oznaczają, że ciała poruszają się w kierunkach dodatnich wartości osi x i y. Zapiszmy zasadę zachowania pędu:

Wykorzystajmy parametry analizowanego układu:

Przekształćmy powyższe wyrażenie, do postaci pozwalającej wyznaczyć wektor prędkości $\vec{v^{_{'}}}$:

Zwróćmy uwagę, że zapis wektorowy jest uniwersalny i niezależnie od zwrotów wektorów w nim występujących (czyli niezależnie od tego, czy ciała poruszają się w tę samą, czy w przeciwne strony), jego postać pozostaje taka, jak w równaniu powyżej.

Wyznaczyliśmy składowe wektora prędkości $\vec{v^{ _{'}}}$:

Wyznaczmy wartość tego wektora:

Słowniczek