Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prostygraniastosłup prostygraniastosłup prosty, w którym podstawy są przystającymi wielokątami foremnymiwielokąt foremnywielokątami foremnymi.

Graniastosłup nazywamy czworokątnymgraniastosłup czworokątnyGraniastosłup nazywamy czworokątnym, jeśli jego podstawą jest czworokąt.

Graniastosłupem prawidłowym czworokątnymgraniastosłup prawidłowy czworokątnyGraniastosłupem prawidłowym czworokątnym nazywamy graniastosłup prosty, którego podstawy są przystającymi kwadratami.

Podstawą graniastosłupa prawidłowegograniastosłup prawidłowygraniastosłupa prawidłowego jest kwadrat, na którym można opisać okrąg o obwodzie $12\sqrt{2}\pi \mathrm{cm}$. Wysokość graniastosłupa jest trzy razy dłuższa od jego krawędzi podstawy. Obliczymy sumę długości wszystkich krawędzi tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Promień okręgu opisanego na podstawie ma długość: $R=12\sqrt{2}\pi :2\pi =6\sqrt{2} \left[\mathrm{cm}\right]$, zatem średnica okręgu, która jest jednocześnie przekatną tego kwadratu ma długość: $2R=12\sqrt{2} \left[\mathrm{cm}\right]$. Stąd długość boku kwadratu jest równa: $a=12 \left[\mathrm{cm}\right]$.

Wysokość tego graniastosłupa ma zatem długość: $H=3 · 12=36 \left[\mathrm{cm}\right]$.

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym jest $8$ krawędzi podstawy i $4$ krawędzie boczne, stąd suma długości wszystkich jego krawędzi jest równa:

$8 · 12 \mathrm{cm}+ 4 · 36 \mathrm{cm} = 96 \mathrm{cm} + 144 \mathrm{cm} = 240 \mathrm{cm}$.

Suma długości krawędzi graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy, wynosi $\sqrt[4]{s}$. Obliczymy pole podstawy tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Oznaczmy długość krawędzi podstawy przez $a$. Krawędź boczna jest dwa razy dłuższa, czyli ma długość $2a$. Możemy więc ułożyć równanie:

$8a+4·2a=\sqrt[4]{s}$,

$16a=\sqrt[4]{s}$,

$a=\frac{\sqrt[4]{s}}{16}$.

Obliczymy pole kwadratu będącego podstawą naszego graniastosłupa:

$P_p={\left(\frac{\sqrt[4]{s}}{16}\right)}^2=\frac{\sqrt{s}}{256}$

Drut o długości $228\mathrm{cm}$ podzielono na trzy różne części. Z każdej części zbudowano graniastosłup prawidłowy czworokątny. Stosunek długości krawędzi podstaw tych graniastosłupów wynosi $1:2:3$, a krawędź boczna w każdym graniastosłupie jest o $1\mathrm{cm}$ dłuższa od krawędzi podstawy. Wyznaczymy długości krawędzi każdego z tych graniastosłupów.

Rozwiązanie

Oznaczymy długości krawędzi podstaw graniastosłupów odpowiednio przez $a$; $2a$ i $3a$.

Wtedy długości krawędzi bocznych tych graniastosłupów będą odpowiednio równe: $a+1$; $2a+1$ i $3a+1$.

Możemy zatem ułożyć równanie:

$8a+4\left(a+1\right) + 8·2a+4\left(2a+1\right) + 8·3a+4\left(3a+1\right) = 228$

$72a = 216$

$a = 3 \left[\mathrm{cm}\right]$

Zatem najmniejszy graniastosłup ma krawędzie długości $3 \mathrm{cm}$ i $4 \mathrm{cm}$; krawędzie drugiego graniastosłupa mają długości $6 \mathrm{cm}$ i $7 \mathrm{cm}$; zaś największy graniastosłup ma krawędzie długości $9 \mathrm{cm}$ i $10 \mathrm{cm}$.

Sprawdzimy, czy z drutu długości $40$ można zbudować szkielet bryły będącej graniastosłupem prawidłowym czworokątnym, w którym długości krawędzi podstaw i długości krawiędzi bocznych wyrażone są liczbą całkowitą dodatnią. Rozważymy wszystkie możliwości.

Rozwiązanie

1. Sprawdzimy najpierw, czy z drutu o podanej długości można zbudować szkielet najprostszej bryły będącej graniastosłupem prawidłowym czworokątnym – szkielet sześcianu. 
   Niech $a\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}_{+}$ oznacza długość krawędzi rozważanego sześcianu. 
   SześciansześcianSześcian ma $12$ krawędzi tej samej długości, zatem otrzymujemy równanie $12a=40$, co daje: $a=\frac{10}{3}$. 
   Zatem nie można zbudować szkieletu sześcianu spełniając warunki zadania – wówczas długość krawędzi nie wyraża się liczbą ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_{+}$.

2. Rozważymy graniastosłup prawidłowy czworokątny nie będący sześcianem. 
   Niech $a\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}_{+}$ oznacza długość krawędzi podstawy a $b\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}_{+}$ długość krawędzi bocznej rozważanego graniastosłupa. 
   Mamy $8$ krawędzi podstaw o długości $a$ oraz $4$ krawędzie boczne o długości $b$, więc otrzymujemy równanie $8a+4b=40$, co daje: $2a+b=10$ . 
   Zatem mamy następujące możliwości długości krawędzi graniastosłupa spełniające warunki zadania: $a=1$ i $b=8$ lub $a=2$ i $b=6$ lub $a=3$ i $b=4$ lub $a=4$ i $b=2$

Istnieją cztery graniastosłupy prawidłowe czworokątne spełniające warunki zadania.

Podstawę graniastosłupa prawidłowego czworkątnego wpisano w trójkąt równoboczny o boku $6$. Wyznaczymy sumę długości krawędzi tego graniastosłupa, jeśli stosunek długości krawędzi podstawy do długości wysokości wynosi $1:\sqrt{3}$.

Rozwiązanie

Wyznaczymy długość krawędzi podstawy graniastosłupa. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R1Sfsrh14vWbv

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoboczny $ABC$, w który wpisano kwadrat KLMN. Długość podstawy $AB$ wynosi 6, natomiast długość boku kwadratu oznaczono a. Wierzchołki K i L kwadratu znajdują się na podstawie AB trójkąta. Natomiast wierzchołki N i M, leżą odpowiednio na ramieniu $AC$ i $BC$ trójkąta. Z wierzchołka C opuszczono wysokość h, do podstawy $AB$. Odległość wierzchołka C od boku MN kwadratu oznaczono $h-a$.

Z podobieństwa trójkątów $ABC$ i $NMC$ mamy:

$\frac{a}{6}=\frac{h-a}{h}$

Wysokość trójkąta $ABC$ ma długość: $h=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$, zatem:

$\frac{a}{6}=\frac{3\sqrt{3}-a}{3\sqrt{3}}$

$3a\sqrt{3}=18\sqrt{3}-6a$

$a\left(6+3\sqrt{3}\right)=18\sqrt{3}$

$a=\frac{18\sqrt{3}}{6+3\sqrt{3}}=12\sqrt{3}-18$

Zatem wysokość tego graniastosłupa ma długość: $H=(12\sqrt{3}-18)\cdot \sqrt{3}=36-18\sqrt{3}$

Suma długości krawędzi tego graniastosłupa wynosi:

$S=8\cdot (12\sqrt{3}-18)+4\cdot (36-18\sqrt{3})=24\sqrt{3}$

Przekątne ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o długości $20$ przecinają się pod kątem $30°$. Wyznaczymy długości krawędzi tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

R1NEePNc9FH49

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan, którego każda ze ścian jest prostokątem. Długość krawędzi podstawy oznaczono literą a, natomiast długość krawędzi bocznej oznaczono literą H. Czerwonym kolorem zaznaczono przekątne ściany bocznej prostopadłościanu. Przekątne mają długość 20 i przecinają się pod kątem $30°$.

Przekątne prostokąta połowią się. Wyznaczymy długość krawędzi podstawy. Wykorzystamy twierdzenie cosinusów:

$a^2={10}^2+{10}^2-2·10·10·\cos 30°$

$a^2=200-200·\frac{\sqrt{3}}{2}$

$a^2=200-100·\sqrt{3}$

$a=\sqrt{200-100·\sqrt{3}}=10\sqrt{2-\sqrt{3}}$

Wyznaczymy długość wysokości graniastosłupa:

$H^2={10}^2+{10}^2-2·10·10·\cos 150°$

$H^2=200-200·\left(-\cos 30°\right)$

$H^2=200+200·\frac{\sqrt{3}}{2}$

$H=\sqrt{200+100\sqrt{3}}=10\sqrt{2+\sqrt{3}}$

bryła której brzeg jest sumą skończonej liczby wielokątów płaskich.

graniastosłup, którego krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw

graniastosłup, którego podstawami są przystające czworokąty

graniastosłup prosty, którego podstawami są przystające wielokąty foremne

graniastosłup prosty, którego podstawy są przystającymi kwadratami

to prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie są równe

wielokąt, którego wszystkie boki są równe i wszystkie kąty mają równe miary