Przeczytaj

Warto przeczytać

Kondensator to urządzenie służące do gromadzenia ładunku, składające się z dwóch przewodników. Po doprowadzeniu napięcia do okładek kondensatora zostaje na nich wyindukowany ładunek elektryczny. Cechą charakteryzującą kondensator jest jego pojemność, czyli informacja, jaki ładunek zostanie zgromadzony na kondensatorze przy zadanym napięciu. Kondensatory możemy ze sobą łączyć, pozwala to skonstruować układ o potrzebnej nam pojemności. Rozróżniamy dwa sposoby łączenia kondensatorów: szeregowo oraz równolegle. Jeśli chcesz się o tym więcej dowiedzieć, informacje te uzyskasz w materiałach „Łączenie szeregowe kondensatorów” oraz „Łączenie równoległe kondensatorów”.

W tabeli poniżej przedstawiono najważniejsze wzory obowiązujące w tych dwóch typach połączeń, dla układu zastępczego n kondensatorów:

Opcja	Połączenie szeregowe	Połączenie równoległe
Ładunek zgromadzony na kondensatorze zastępczym Q	$Q = Q_{1} = Q_{2} = Q_{3} = . . . = Q_{n}$	$Q = \sum_{i = 1}^{n} Q_{i}$
Różnica potencjałów na kondensatorze zastępczym $Δ V$	$Δ V = \sum_{i = 1}^{n} Δ V_{i}$	$Δ V = Δ V_{1} = Δ V_{2} = Δ V_{3} = . . . = Δ V_{n}$
Pojemność kondensatora zastępczego C	$\frac{1}{C} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{C_{i}}$	$C = \sum_{i = 1}^{n} C_{i}$

Przeanalizujmy teraz schemat rozwiązywania zadań, dotyczących łączenia kondensatorów.

Przykład 1

Na początku zastanówmy się, z jakim typem połączenia mamy do czynienia na Rys. 1.

R1FtOlFYpv1eu

Schemat przedstawia trzy kondensatory jako pary krótkich, pionowych odcinków w małej odległości od siebie. Pionowe odcinki symbolizują okładki kondensatora. Kondensatory leżą wzdłuż poziomej linii prostej. Pojemność kondensatora pierwszego oznaczona jest wielką literą C z indeksem dolnym jeden, kondensatora drugiego wielką literą C z indeksem dolnym dwa, kondensatora trzeciego wielką literą C z indeksem dolnym trzy. Do lewej okładki pierwszego kondensatora i prawej okładki trzeciego dołączono poziome przewody. Do końców tych przewodów przyłożono napięcie oznaczone wielka literą U. Prawa okładka pierwszego kondensatora połączona jest z lewą okładką drugiego kondensatora, a prawa okładka drugiego kondensatora połączona jest z lewą okładką trzeciego kondensatora. Dodatkowo punkt na przewodzie na lewo od pierwszego kondensatora połączony jest przewodem z punktem na przewodzie między kondensatorem drugim i trzecim. Punkt między kondensatorem pierwszym i drugim połączony jest przewodem z punktem na przewodzie na prawo od trzeciego kondensatora. — Rys. 1. Schemat układu pomiarowego
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Na pierwszy rzut oka wydaje się, że kondensatory zostały połączone szeregowo. Przyjrzyjmy się jednak uważnie. Widzimy, że części układu są zwarte. Napięcie wprowadzone na poszczególne kondensatory jest więc takie samo. Na rys. 2 elementy o tym samym potencjale zostały oznaczone jednakowym kolorem.

R1ZwgQLNWVSFV

Schemat zawiera wszystkie elementy schematu pierwszego, z tym że elementy o takim samym potencjale zakolorowano – na ten sam kolor. Kolor niebieski mają: przewód na lewo od pierwszego kondensatora i lewa okładka pierwszego kondensatora oraz prawa okładka drugiego kondensatora i lewa okładka trzeciego kondensatora. Również przewód łączący punkt na przewodzie na lewo od pierwszego kondensatora i punkt między kondensatorem drugim i trzecim jest niebieski. Natomiast prawa okładka pierwszego kondensatora, lewa okładka drugiego kondensatora oraz prawa okładka trzeciego kondensatora są zielone. Zielony jest również przewód łączący punkt między kondensatorem pierwszym i drugim z punktem na przewodzie na prawo od trzeciego kondensatora. — Rys. 2. Schemat układu pomiarowego
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Można teraz łatwo zauważyć, że kondensatory te są połączone równolegle.

R13gRXlbKtSra

Schemat przedstawia te same kondensatory, co na poprzednich schematach. Kondensatory położone są jeden pod drugim. Kondensator o pojemności wielkie C z indeksem dolnym jeden leży najwyżej, pod nim kondensator o pojemności wielkie C z indeksem dolnym dwa, a najniżej kondensator o pojemności wielkie C z indeksem dolnym trzy. Lewe okładki kondensatorów połączone są ze sobą i dołączone do poziomego przewodu z lewej strony. Podobnie – prawe okładki kondensatorów połączone są ze sobą i dołączone do poziomego przewodu z prawej strony. — Rys. 3. Schemat układu pomiarowego
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

A teraz obliczenie pojemności zastępczej jest już całkiem proste. Korzystamy z wzoru

C = \sum_{i = 1}^{n} C_{i}

Czyli

C = C_{1} + C_{2} + C_{3}

Przykład 2

Często w zadaniach mamy układ mieszany. Na rys. 4 przedstawiono właśnie taki układ. Jest to schemat połączenia ze sobą sześciu kondensatorów. Widzimy, że kondensatory CIndeks dolny 1 i CIndeks dolny 1 połączone są ze sobą szeregowo. Tak samo jak CIndeks dolny 2 i CIndeks dolny 2, a także CIndeks dolny 3 i CIndeks dolny 3. Następnie wszystkie pary kondensatorów połączono równolegle.

RTljWxkYmUviZ

Schemat przedstawia sześć kondensatorów. Pary kondensatorów położone są jeden pod drugim. Najwyżej leżą dwa kondensatory o jednakowej pojemności oznaczone wielką literą C z indeksem dolnym jeden. Kondensatory te leżą na jednej poziomej linii i połączone są szeregowo, czyli prawa okładka lewego kondensatora połączona jest z lewą okładką prawego kondensatora. Pod nimi znajdują się dwa kondensatory o jednakowej pojemności oznaczone wielką literą C z indeksem dolnym dwa i połączone szeregowo. Najniżej leżą dwa kondensatory o jednakowej pojemności oznaczone wielką literą C z indeksem dolnym trzy, również połączone szeregowo. Lewe okładki kondensatorów położonych na każdym poziomie z lewej strony połączone są ze sobą. Podobnie prawe okładki kondensatorów położonych na każdym poziomie z prawej strony połączone są ze sobą. Cały układ kondensatorów podłączony jest do poziomych przewodów z lewej i z prawej strony. — Rys. 4. Schemat układu pomiarowego
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

W powyższym przypadku najpierw wyznaczamy pojemności zastępcze każdego z połączeń szeregowych:

\frac{1}{C_{11}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{1}} = \frac{2}{C_{1}}

C_{11} = \frac{C_{1}}{2}

C_{22} = \frac{C_{2}}{2}

C_{33} = \frac{C_{3}}{2}

Następnie napiszmy wzór na całkowity opór C, który jest oporem zastępczym dla połączonych równolegle kondensatorów CIndeks dolny 11, CIndeks dolny 22, CIndeks dolny 33:

C = C_{11} + C_{22} + C_{33} = \frac{C_{1}}{2} + \frac{C_{2}}{2} + \frac{C_{3}}{2} = \frac{C_{1} + C_{2} + C_{3}}{2}

Przykład 3

Rozważmy kondensator próżniowy o pojemności $C_{0} = 2 p F$ i odległości między okładkami d. Pomiędzy okładki kondensatora wsuwamy dielektrykDielektrykdielektryk o względnej przenikalności elektrycznej $ε_{r} = 4$ oraz grubości $\frac{1}{2} d$ , jak pokazano na rys. 5.

R19V02AJYKtUr

Rysunek przedstawia dwa pionowe odcinki symbolizujące okładki kondensatora. Z obu okładek wychodzą poziome przewody. Prostokąt zawarty między odcinkami podzielono na połowy pionowym odcinkiem. Część prostokąta po lewej stronie pomalowana jest na szaro, co symbolizuje dielektryk umieszczony między okładkami. Druga część prostokąta po prawej stronie jest biała. — Rys. 5. Ułożenie dielektryka pomiędzy okładkami kondensatora
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Obliczmy nową pojemność takiego kondensatora.

Zwróćmy uwagę, że możemy go traktować jak połączenie szeregowe dwóch kondensatorów CIndeks dolny 1 oraz CIndeks dolny 2, z których jeden zawiera dielektryk, a drugi jest pusty:

R11NiNVYBnlWq

Rysunek przedstawia dwa kondensatory jako pary pionowych odcinków, symbolizujących okładki kondensatora. Kondensatory leżą wzdłuż poziomej linii prostej i są połączone szeregowo. Obszar między okładkami lewego kondensatora pomalowany jest na szaro, co symbolizuje dielektryk umieszczony między okładkami. Prawy kondensator nie zawiera dielektryka. — Rys. 6. Ułożenie dielektryka pomiędzy okładkami kondensatorów
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Wiemy, że

C_{0} = \frac{ε_{0} S}{d}

CIndeks dolny 1 oraz CIndeks dolny 2 możemy wyznaczyć z wzorów:

C_{1} = \frac{ε_{0} ε_{r} S}{\frac{1}{2} d} = 2 ε_{r} \frac{ε_{0} S}{d} = 2 ε_{r} C_{0}

C_{2} = \frac{ε_{0} S}{\frac{1}{2} d} = 2 \frac{ε_{o} S}{d} = 2 C_{0}

Pojemność zastępczą układu, czyli pojemność kondensatora z dielektrykiem, możemy obliczyć z wzoru:

\frac{1}{C} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} = \frac{1}{2 ε_{r} C_{0}} + \frac{1}{2 C_{0}} = \frac{1}{2 ε_{r} C_{0}} + \frac{ε_{r}}{2 ε_{r} C_{0}} = \frac{1 + ε_{r}}{2 ε_{r} C_{0}}

A więc

C = \frac{2 ε_{r} C_{0}}{1 + ε_{r}}

Teraz wystarczy już tylko podstawić dane:

C = \frac{2 \cdot 4 \cdot 2 p F}{1 + 4} = \frac{16}{5} p F = 3, 2 p F

Jeśli dielektryk wsunięty byłby od góry (jak na rys. 7), wtedy możemy traktować tę sytuację, jak układ dwóch kondensatorów (o polu powierzchni okładek równym $\frac{s}{2}$ oraz odległości między nimi równej d) połączonych równolegle.

RdCwh8pQ7OfGY

Pierwszy rysunek przedstawia dwa pionowe odcinki symbolizujące okładki kondensatora. Z obu okładek wychodzą na zewnątrz poziome przewody. Prostokąt zawarty między odcinkami podzielono na połowy poziomym odcinkiem. Górna część prostokąta pomalowana jest na szaro, co symbolizuje dielektryk umieszczony między okładkami. Dolna część prostokąta jest biała. Na drugim rysunku znajdują się dwa kondensatory położone jeden pod drugim i połączone równolegle. Połączone są ze sobą lewe okładki górnego i dolnego kondensatora oraz prawe okładki obu kondensatorów. Obszar między okładkami górnego kondensatora pomalowana jest na szaro, co symbolizuje dielektryk umieszczony między okładkami. Dolny kondensator nie zawiera dielektryka. — Rys. 7. Ułożenie dielektryka pomiędzy okładkami kondensatorów
Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

Pojemność takiego kondensatora C możemy zapisać jako:

C = C_{1} + C_{2} = \frac{ε_{0} \frac{1}{2} S}{d} + \frac{ε_{0} ε_{r} \frac{1}{2} S}{d} = \frac{ε_{0} \frac{1}{2} S + ε_{0} ε_{r} \frac{1}{2} S}{d} = \frac{ε_{0} S}{2 d} (1 + ε_{r})

Słowniczek

Dielektryk

(ang.: dielectric) – materiał który liczba swobodnych elektronów jest bardzo mała, materiał ten bardzo słabo przewodzi prąd elektryczny. Umieszczony między okładkami kondensatora zwiększa jego pojemność elektryczną.

Wprowadzenie

Gra edukacyjna

Warto przeczytać

Przykład 1

Przykład 2

Przykład 3

Słowniczek