Warto przeczytać

Energia kinetyczna (gr. κkappaίνnuηetaσsigmaιiotaς, kínisis - ruch) jest rodzajem energii, którą obdarzone są wszystkie ciała znajdujące się w ruchu. Pewnym zasobem energii kinetycznej dysponuje zarówno samochód jadący drogą, mrówka niosąca na swoim grzbiecie kawałek liścia, jak i elektron związany w jądrze atomowym.

Aby wyznaczyć wartość energii kinetycznej ciała, należy posłużyć się prostym wzorem:

gdzie $m$ jest masą ciała, a $v$ – jego prędkością w danym układzie odniesieniaukład odniesieniaukładzie odniesienia. Energia kinetyczna jest wielkością skalarną – nie ma określonego kierunku, a zatem dwa ciała o tej samej masie, poruszające się z tą samą, lecz różnie zwróconą prędkością, będą miały taką samą energię kinetyczną. Jednostką energii kinetycznej (podobnie jak każdego innego rodzaju energii) jest dżul:

Jeśli ciało pierwotnie spoczywało, a potem zaczęło poruszać się z niezerową prędkością, oznacza to, że ma teraz niezerową energię kinetyczną. Ciało nie może jednak otrzymać energii kinetycznej „z niczego” - jej uzyskanie jest skutkiem wykonania pewnej pracy. Przeanalizujmy to zagadnienie w Przykładzie 1.

Przykład 1

Energia kinetyczna pojazdu przyspieszającego pod wpływem stałej siły

Spoczywający samochód o masie $m = 1800\,\text{kg}$ zaczyna przyspieszać pod wpływem wypadkowej siły o wartości $F = 2700\,\text{N}$, skierowanej równolegle do kierunku ruchu (Rys. 1). Oblicz energię kinetyczną samochodu po $t = 10\,\text{s}$ ruchu.

RthwnjHkKPi59

Rys. 1. Rysunek przedstawia samochód stojący na poziomym podłożu. Przód samochodu zwrócony jest w prawo. Do środkowego punktu samochodu przyłożony jest wektor siły skierowany poziomo w prawo i oznaczony literą wielkie F ze strzałką nad nią. Nad samochodem zapisano jego masę, oznaczoną literą małe m.

Analiza zadania

Samochód początkowo spoczywał, więc nie miał energii kinetycznej. Gdy na samochód zaczęła działać pewna niezrównoważona siła, zaczął on poruszać się ruchem przyspieszonym i zwiększać swoją prędkość oraz energię kinetyczną. Analizując to zagadnienie z punktu widzenia pracy i energii, dochodzimy do wniosku, że energia kinetyczna samochodu wzrosła na skutek pracy wykonanej przez siłę wypadkową.

Rozwiązanie

Energię kinetyczną możemy wyznaczyć, określając prędkość samochodu po podanym czasieruchu. W tym celu wyznaczamy kolejno przyspieszenie, prędkość końcową i ostatecznie energię:

zatem

Rozwiązanie z wykorzystaniem bilansu energii

Spróbujmy teraz rozwiązać to samo zagadnienie z punktu widzenia przemian energii na skutek wykonania pracy. Praca wykonana przez siłę wypadkową wynosi

Ruch samochodu zachodzi po linii prostej, więc przemieszczenie samochodu $\Delta r$ jest równe przebytej przez niego przez czase $t$ drodze $s$. Drogę tę wyznaczymy z własności ruchu jednostajnie przyspieszonego,

Poprzednio korzystaliśmy już ze związku między siłą i przyspieszeniem samochodu. Wstawiając go do powyższego wzoru, otrzymamy

przy czym da się sprawdzić, że jednostką uzyskanego wyniku jest dżul:

Ostatecznie

co pokazuje, że wykonana praca jest równa przyrostowi energii kinetycznej, możemy więc zapisać, że $E_k = W = 202,5\,\text{kJ}$.

Przykład 2

Zmiana energii kinetycznej pod wpływem siły tarcia

Przeanalizujmy teraz zagadnienie odwrotne – w jaki sposób ciało może utracić swoją energię kinetyczną? Zmniejszenie jej wartości oznacza, że prędkość ciała maleje. Zmniejszenie prędkości będzie miało miejsce, gdy do ciała zostanie przyłożona niezrównoważona siła, skierowana przeciwnie do prędkości. Taką siłą może być np. siła tarcia kinetycznegosiła tarcia kinetycznegosiła tarcia kinetycznego.

Łyżwiarka o masie $m = 55\,\text{kg}$ porusza się z prędkością $v_0 = 5\,\text{m/s}$ (Rys. 2). Współczynnik tarciawspółczynnik tarciaWspółczynnik tarcia łyżew o lód wynosi $f = 0,03$ . Wyznacz drogę, po przebyciu której energia kinetyczna łyżwiarki zmaleje o $36\%$.

R3Kh4ZRTiyIDW

Rys. 2. Rysunek przedstawia łyżwiarkę, która ślizga się po lodzie na jednej nodze. Drugą nogę uniosła poziomo do tyłu, a ręce rozłożyła szeroko. Nad łyżwiarką zapisano jej masę, oznaczoną literą małe m. Do łyżwy stykającej się z lodem przyłożony jest wektor prędkości skierowany poziomo w prawo i oznaczony literą małe v z indeksem dolnym zero i ze strzałką nad nią. Do tego samego punktu przyłożony jest wektor siły tarcia kinetycznego skierowany poziomo w lewo i oznaczony literą wielkie T ze strzałką nad nią. Pod powierzchnią lodu zapisano współczynnik tarcia łyżew o lód oznaczony literą małe f.

Analiza zadania

Na łyżwiarkę działa niezrównoważona siła tarciasiła tarcia kinetycznegosiła tarcia, która spowoduje zmniejszenie się jej prędkości. Z punktu widzenia pracy i energii – siła tarcia wykonuje na odcinku $\Delta r$ ujemną pracę $W_T$, gdyż zwroty prędkości i siły tarcia są przeciwna. Powoduje to przekształcenie energii kinetycznej łyżwiarki na ciepło i dźwięk (zarówno ostrza łyżew jak i lód nagrzewają się, a jeździe po lodzie towarzyszy dźwięk).

Rozwiązanie

Początkowa energia kinetyczna maleje kosztem pracy sił tarcia, możemy zatem zapisać następujący bilans energii:

w którym $E_{k_0}$ oznacza początkową wartość energii kinetycznej a $E_k$ oznacza jej wartość końcową. Pracę sił tarcia $W_T$ wyrażamy jako

W ostatnim przekształceniu wykorzystaliśmy fakt, że przy prostoliniowym ruchu łyżwiarki przemieszczenie będzie równe przebytej przez nią drodze. Zatem $E_k$ jest liniową funkcją drogi $\Delta r$:

Wyrazem wolnym w tej zależności jest początkowa energia kinetyczna, zaś jej współczynnik kierunkowy jest ujemny, równy co do wartości bezwzględnej sile tarcia.

Warunek, który musi zostać spełniony w zadaniu, zapiszemy poprzez wyrażenie końcowej energii kinetycznej $E_k$ jako ułamka początkowej energii $E_{k_0}$:

Łącząc dwa ostatnie równania, dostajemy

Komentarze

1. Zwróć uwagę, że uzyskany wynik nie zależy od masy łyżwiarki. Wynika to z faktu, że w rozpatrywanym zagadnieniu od masy zależą dwie wielkości. Energia kinetyczna łyżwiarki (także zmiana tej energii) jest do masy proporcjonalna. Podobnie siła tarcia, której praca zmniejsza energię kinetyczną, jest proporcjonalna do masy. W rezultacie tempo malenia energii jest od masy ciała niezależne.

2. Możesz - już we własnym zakresie - obliczyć czas, po którym łyżwiarka przejechała obliczoną drogę. Zastosuj rozumowanie zbliżone do tego z Przykładu 1. Prawidłowy wynik to około $3,4\,\text{s}$.

3. Zastosuj uzyskany wynik do wyrażenia tzw. drogi hamowania pojazdu na jezdni w ruchu ulicznym. Jest to droga przebyta przez pojazd od chwili rozpoczęcia przez kierowcę hamowania do chwili zatrzymania pojazdu. Wystarczy do wyprowadzonej zależności energii od drogi wstawić zerową wartość końcowej energii kinetycznej. Uzyskasz wtedy

   $\displaystyle \Delta r=\frac{E_{k0}}{fmg}=\frac{v_0^2}{2fg}\ .$

   Choć wynik jest uproszczony (nie jest tu uwzględniony czas reakcji kierowcy), to pokazuje on, że droga hamowania nie jest proporcjonalna do początkowej prędkości, lecz rośnie wraz z nią kwadratowo.

Przykład 3

Wypadek samochodowy - strefa kontrolowanego zgniotu

Ostatni przykład dotyczy dosyć drastycznej sytuacji – wypadku samochodowego. Warto jednak zagadnienie przeanalizować i rozwiązać, by zrozumieć, dlaczego na drogach wprowadzamy ograniczenia prędkości, i dlaczego należy ich przestrzegać. Przedstawimy najprostszy, modelowy opis czołowego zderzenia, w którym dochodzi do zgniecenia pojazdu od przodu.

Samochód jadący z prędkością $v_0$ uderza w stojącą przy drodze kamienną barierę i zatrzymuje się, nie naruszając samej bariery (Rys. 3a.).

R1Qk5pBGxb7BM

Rys. 3a. Rysunek przedstawia samochód, który poruszając się w prawo, wpadł na mur zbudowany z wielkich głazów. Rysunek pokazuje moment, gdy przód samochodu styka się z murem, ale nie jest jeszcze uszkodzony. Nad samochodem narysowano wektor prędkości samochodu, skierowany poziomo w prawo i oznaczony literą małe v z indeksem dolnym zero i ze strzałką nad nią. Do punktu samochodu na styku z murem przyłożony jest wektor siły skierowany poziomo w lewo i oznaczony literą wielkie F ze strzałką nad nią.

Od chwili uderzenia w barierę do chwili zatrzymania pojazd przebył drogę $\Delta r$ (Rys. 3b.). Droga ta jest jednocześnie głębokością wgniecenia, jakie powstało w masce samochodu (oby nie w kabinie pasażera!).

R1IFDsoVqKj0F

Rys. 3b. Rysunek przedstawia ten sam samochód w końcowym momencie zderzenia z murem. Przód maski samochodu jest mocno wgnieciony. Symbolem delta r oznaczono długość, o jaką zmniejszyła się długość samochodu.

Wyraź średnią wartość $F$ siły hamującej działającej na samochód za pomocą jego początkowej prędkości, masy oraz głębokości wgniecenia.

Analiza zderzenia

W trakcie zderzenia energia kinetyczna samochodu zostaje zamieniona na inne formy energii, związane ze skutkami zderzenia – jest to przede wszystkim energia wewnętrzna gniecionych elementów, np. karoserii. Przyczyną tej zmiany jest praca wykonana przez siłę hamującą $\vec{F}$. Można przyjąć, że droga, na której siła $\vec{F}$ wykonuje pracę, jest równa głębokości wgniecenia $\Delta r$. Uzasadnione jest zatem zapisanie bilansu energii kinetycznej w postaci

W zapisie uwzględniliśmy, że wektory siły oraz przemieszczenia samochodu mają przeciwne zwroty. Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy

Z uzyskanego wyrażenia wynika, że - przy ustalonej prędkości początkowej - im głębsze zgniecenie, tym mniejsza siła działa na samochód. Jest to korzystne z punktu widzenia bezpieczeństwa pasażerów. Uśredniona wartość przyspieszenia $a$ samochodu jest wtedy mniejsza:

Pasażerowie przypięci pasami do siedzeń doznają dzięki temu mniejszych przeciążeńprzeciążenieprzeciążeń podczas zderzenia.

Ograniczenie głębokości strefy zgniotu

Producenci samochodów nie mogą jednak tworzyć stref zgniotu dowolnie rozległych. Wynika to z oczywistej konieczności chronienia pasażerów w kabinie, która na ogół jest znacznie sztywniejsza niż przedział silnika czy bagażnik. Można przyjąć, po uwzględnieniu innych stosowanych rozwiązań konstrukcyjnych, że efektywna głębokość strefy zgniotu osiąga maksymalne wartości rzędu niecałego metra. Wyznacz wartości $F$ oraz $a$ dla następujących danych:

Wykorzystamy dwa wyprowadzone wcześniej wyrażenia. Zacznijmy od przyspieszenia.

Trzeba pamiętać, że pasażerowie samochodu doznają, w przybliżeniu, takiego samego przyspieszenia! Wszak mają zapięte pasy bezpieczeństwa, więc ich prędkość także maleje do zera na odcinku niewiele dłuższym niż $\Delta r$.

Wartość siły powodującej takie przyspieszenie samochodu to

Siła ta przewyższa ponad trzydziestokrotnie ciężar samochodu.

Komentarze

1. W trakcie opisywanego zderzenia pasażerowie odczuwają przeciążenieprzeciążenieprzeciążenie około trzydziestu $g$. Na dodatek temu przeciążeniu towarzyszą duże zmiany jego wartości, odczuwane jako niezwykle silne szarpnięcia, ze względu na bardzo krótki czas trwania zderzenia – poniżej $0,1\,\text{s}$. Podczas startu rakiety kosmicznej analogiczne przeciążenie ma wartość rzędu $4$-$5\,g$, trwa kilka minut i narasta oraz opada stosunkowo łagodnie.

2. Widzimy, podobnie jak w przypadku drogi hamowania w przykładzie drugim, że wszystkie wielkości charakteryzujące skutki zderzenia rosną proporcjonalnie do kwadratu początkowej prędkości samochodu. Zrozumiałe więc staje się stwierdzenie, że prędkość $70\,\text{km/h}$ jest na drodze praktycznie dwa razy groźniejsza od prędkości $50\,\text{km/h}$. A jaka prędkość jest – z punktu widzenia zasobu energii kinetycznej pojazdu – dwa razy mniej groźna niż $50\,\text{km/h}$?

3. Rzeczywiste wartości siły i przyspieszenia mogą być większe od obliczonych tutaj. Przyjęliśmy bowiem nieco zawyżoną wartość $\Delta r$ w stosunku do rzeczywistych. Z kolei wartość $v_0$ jest zaniżona. Można przypuszczać, że producenci uwzględniają większe wartości początkowej prędkości pojazdu, na przykład $120\,\text{km/h}$, odpowiadające typowo stosowanym ograniczeniom prędkości na drogach szybkiego ruchu.

4. Zwróć uwagę, że zastosowana analiza zderzenia jest skrajnie uproszczona. W miarę zgniatania kolejnych warstw karoserii i przedziału silnika, coraz większa część samochodu spoczywa, choć nadal może pochłaniać energię. Pozostała część, która nadal się porusza, ma zatem coraz mniejszą masę. To tylko jeden z przykładów komplikacji, jakie muszą uwzględniać inżynierowie zajmujący się projektowaniem samochodów czy planowaniem tzw. testów zderzeniowych oraz opisem i interpretacją ich wyników.

Słowniczek