To ciekawe

Fizycy często stosują uproszczenia i modele (np. model gazu doskonałego, model budowy atomu, model kryształu), aby prowadzić analizę zjawisk fizycznych w idealnych warunkach. Model oscylatora harmonicznego jest jednym z częściej używanych - wiele zjawisk fizycznych w dobrym przybliżeniu (w mechanice zwanym „przybliżeniem małych drgań”) daje się opisać jako będące efektem działania czynnika wprost proporcjonalnego do szeroko pojętego odchylenia od stanu równowagi, i usiłującego układ do tego położenia równowagi „zawrócić”.

Warto przeczytać

Ruch harmoniczny to taki ruch drgającyruch drgający (ang. oscillation)ruch drgający, w którym wypadkowa siła działająca na ciało jest proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi i zwrócona ku niemu. Jej składowa ma postać

gdzie $x$ – wychylenie, $m$ – masa ciała, $\omega$ – wielkość proporcjonalna do częstotliwości drgań, zwana częstością kołową drgań. Znak minus wskazuje, że siła zwrócona jest przeciwnie do wychylenia (ku położeniu równowagi). W ruchu harmonicznym zależność wychylenia ($x$) od czasu ($t$) ma kształt sinusoidalny (Rys. 1.).

RDEGBwgSZRymz

Rys. 1. Rysunek przedstawia układ współrzędnych, na którego osi poziomej odłożono czas w sekundach oznaczony literą małe t a na osi pionowej odłożono wychylenie w metrach oznaczone literą małe x. Wykres to sinusoida, która zaczyna się w punkcie o współrzędnych: czas zero, położenie zero i wznosi się w prawo i w górę, osiągając maksimum w punkcie o współrzędnych: czas 0,025 sekundy, położenie 0,2 metra. Dalej wykres opada w prawo i dół, przecinając oś poziomą w punkcie o współrzędnej 0,05 sekundy i osiąga minimum w punkcie o współrzędnych: czas 0,075 sekundy, położenie minus 0,2 metra. Następnie wykres wznosi się w prawo i w górę i przecina oś czasu w punkcie o współrzędnej 0,1 sekundy. Dalej przebieg krzywej powtarza się. Kolejne punkty przecięcia sinusoidy z osią czasu znajdują się w punktach o współrzędnych 0,15 sekundy i 0,2 sekundy.

Przykładem ruchu harmonicznego są drgania klocka przymocowanego do poziomej sprężyny, poruszającego się po gładkiej powierzchni, drgania ciężarka zawieszonego na sprężynie przy niewielkich oporach ruchu, oraz ruch wahadła matematycznego.

Badanie zachowania ciężarka zawieszonego na sprężynie za pomocą interaktywnej symulacji prowadzi do wniosku, że zmiana amplitudy nie wpływa na zmianę okresu drgań (Rys. 2.).

R1COZPnlbEiN2

Rys. 2. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych, na którego poziomej osi odłożono czas w sekundach oznaczony literą małe t, a na osi pionowej wychylenie w metrach oznaczone literą małe x. Narysowano 2 wykresy: sinusoidę czarną i sinusoidę czerwoną. Obie sinusoidy zaczynają się w punkcie o współrzędnych: czas zero, położenie zero i wznoszą się w prawo i w górę, osiągając maksimum, gdy czas wynosi 0,5 sekundy. Maksimum czerwonej sinusoidy położone jest wyżej niż maksimum czarnej sinusoidy. Największe wychylenie dla czerwonej sinusoidy wynosi 0,03 metra, a dla czarnej 0,02 metra. Dalej obie sinusoidy opadają w prawo i w dół i przecinają oś poziomą w tym samym punkcie o współrzędnej równej jedna sekunda. Kolejne punkty przecięcia obu sinusoid z osią poziomą znajdują się w punktach o współrzędnych dwa, trzy, cztery, pięć, sześć, siedem i osiem sekund. Minima obu sinusoid odpowiadają tym samym chwilom: 1,5 sekundy, 3,5 sekundy, 5,5 sekundy i 7,5 sekundy. Minimum czerwonej sinusoidy położone jest niżej niż minimum czarnej sinusoidy. Wychylenie w minimum czerwonej sinusoidy wynosi minus 0,03 metra, a w minimum czarnej minus 0,02 metra.

Zwiększenie masy ciężarka wydłuża okresokres (ang. period)okres drgań ciężarka zawieszonego na sprężynie (Rys. 3.).

R1Ljgrl91n9cW

Rys. 3. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych, na którego poziomej osi odłożono czas w sekundach oznaczony literą małe t, a na osi pionowej wychylenie w metrach oznaczone literą małe x. Narysowano 2 wykresy: sinusoidę czarną i sinusoidę czerwoną. Dla obu sinusoid maksymalne wychylenie jest jednakowe i wynosi 0,02 metra. Obie sinusoidy zaczynają się w punkcie o współrzędnych: czas zero, położenie zero i wznoszą się w prawo i w górę, osiągając maksimum. Maksimum czerwonej sinusoidy położone jest dalej na prawo niż maksimum czarnej sinusoidy. Dalej obie sinusoidy opadają w prawo i w dół i przecinają oś poziomą, przy czym punkt przecięcia czerwonej sinusoidy położone jest dalej na prawo niż punkt przecięcia czarnej sinusoidy. Czerwona sinusoida ma większy okres niż czarna

Sprężyny o różnym współczynniku sprężystości (mniej lub bardziej sztywne) różnie zachowują się podczas drgań. Okresokres (ang. period)Okres drgań $T$ ciężarka o masie $m$ zawieszonego na sprężynie o współczynniku sprężystości $k$ można obliczyć korzystając z zależności

Częstotliwość drgań ($f$) określa, ile drgań wykonuje ciało w jednostce czasu (np. w ciągu sekundy).

Jednostką częstotliwości w układzie SI jest herc ($1Hz=\frac{1}{s}$).

Gdy zawiesisz na dwóch sprężynach ciężarki o tej samej masie, to stwierdzisz, że krótszy okresokres (ang. period)okres drgań (a więc większą częstotliwość) ma ciężarek zawieszony na sprężynie o większym współczynniku sprężystości (bardziej sztywnej).

Przykład. Jak wyznaczyć współczynnik sprężystości sprężyny?

Współczynnik sprężystości sprężyny możesz wyznaczyć doświadczalnie. Jeśli sprężyna, na której zawieszono ciężarek o masie $m$ wydłuża się o $\Delta l$ i ciężarek jest nieruchomy, to siła ciężkości równoważy siłę sprężystości, proporcjonalną do wydłużenia sprężyny. Zatem $mg=k\Delta l$, stąd współczynnik sprężystości $k=\frac{mg}{\Delta l}$.

Uwaga. Dokładny pomiar wymaga obciążenia sprężyny kilkoma obciążnikami o różnych masach i sporządzenia wykresu zależności siły sprężystości (równej sile rozciągającej $mg$) od wydłużenia sprężyny. Współczynnik sprężystości $k$ jest równy współczynnikowi kierunkowemu prostej dopasowanej do punktów pomiarowych.

Słowniczek