Aby obliczyć kwadraty liczb $37, 98, 2992$, zapisujemy każdą z nich w postaci różnicy  pełnych dziesiątek, setek lub tysięcy oraz liczby jednocyfrowej i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

W podobny sposób jak w powyższym przykładzie, obliczymy kwadraty liczb mieszanych $4\frac{7}{8}$, $5\frac{1}{4}$.

Wykażemy, że liczba $K=\sqrt{11-6\sqrt{2}}-\sqrt{6-4\sqrt{2}}$ jest liczbą całkowitą.

Przedstawiamy liczby $11-6\sqrt{2}$ i $6-4\sqrt{2}$ jako kwadraty liczb rzeczywistych i korzystamy z równości $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$.

Stąd:

$\sqrt{11-6\sqrt{2}}=\sqrt{(3-\sqrt{2}{)}^2}=|3-\sqrt{2}|$

$\sqrt{6-4\sqrt{2}}=\sqrt{(2-\sqrt{2}{)}^2}=|2-\sqrt{2}|$

Zapisujmy wyrażenie określające liczbę $K$ w prostszej postaci.

$K=\sqrt{11-6\sqrt{2}}-\sqrt{6-4\sqrt{2}}=3-\sqrt{2}-2+\sqrt{2}=1$

Liczba $1$ jest liczbą całkowitą, zatem liczba $K$ jest liczbą całkowitą, co należało wykazać.

Rozwiążemy równanie $x^2-10x+25=0$.

Lewą stronę równania zapisujemy w postaci kwadratu dwumianu.

$x^2-10x+25=0$

${(x-5)}^2=0$

Stąd:

$x-5=0$

$x=5$

Rozwiązaniem równania jest liczba $5$.

Rozwiążemy równanie.

Przekształcamy lewą stronę równania i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

Lewa strona równania jest nieujemna (jako kwadrat wyrażenia), a prawa ujemna – otrzymujemy sprzeczność. Równanie nie ma rozwiązania.

Zapiszemy w najprostszej postaci wyrażenie $K=\frac{18x^2+8y^2-24xy}{6y-9x}$, gdy $2y\ne 3x$.

Wyłączyliśmy wspólny czynnik w liczniku i mianowniku wyrażenia.

W liczniku sumę algebraiczną zapisujemy w postaci kwadratu dwumianu.

Skracamy.

Uzasadnimy, że jeśli $x$, $y$ są liczbami dodatnimi  takimi, że x > y , $x-y=4$ i $x^2+y^2=26$ to $x·y=5$. Wartość iloczynu $x·y$ znajdziemy, przekształcając odpowiednio wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicywzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicywzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy liczb $x$ i $y$.

Do wzoru podstawiamy: za $x-y$ liczbę 4, za $x^2+y^2$ liczbę 26.

Stąd:

Zatem $xy=5$, co należało udowodnić.

Wykażemy, że jeśli $a$ jest liczbą naturalną dodatnią, to liczba $M=\frac{a^4}{4}-\frac{a^3}{2}+\frac{a^2}{4}$ jest kwadratem pewnej liczby rzeczywistej.

Sprowadzamy ułamki występujące w wyrażeniu do wspólnego mianownika i zapisujemy na wspólnej kresce ułamkowej.

W liczniku otrzymanego ułamka wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i zapisujemy sumę w postaci iloczynu, wykorzystując odpowiedni wzór skróconego mnożenia.

Otrzymane wyrażenie zapisujemy w postaci kwadratu pewnej liczby.

Wykazaliśmy, że liczba $M$ jest kwadratem liczby $\frac{a(a-1)}{2}$.

kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń minus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie