Znasz już niektóre zastosowania wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń.

Teraz utrwalisz oraz rozwiniesz zdobyte wcześniej umiejętności i poznasz jeszcze inne zastosowania tego wzoru.

Obliczenia arytmetyczne

Wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicywzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicyWzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń można wykorzystać do szybkiego obliczenia kwadratów niektórych liczb.

Przykład 1

Aby obliczyć kwadraty liczb 37, 98, 2992, zapisujemy każdą z nich w postaci różnicy  pełnych dziesiątek, setek lub tysięcy oraz liczby jednocyfrowej i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

372=(40-3)2=402-240+9=1609-240=1369
982=(100-2)2=1002-400+4=10004-400=9604
29922=(3000-8)2=30002-16·3000+82=
=9000000-48000+64=8952064
Przykład 2

W podobny sposób jak w powyższym przykładzie, obliczymy kwadraty liczb mieszanych 478, 514.

4782=5-182=52-108+182=25-114+164=234964
5142=6-342=62-9+342=36-9+916=27916
Przykład 3

Wykażemy, że liczba K=11-62-6-42 jest liczbą całkowitą.

Przedstawiamy liczby 11-62 i 6-42 jako kwadraty liczb rzeczywistych i korzystamy z równości x2=|x|.

11-62=9-62+2=(3-2)2
6-42=4-42+2=(2-2)2

Stąd:

11-62=(3-2)2=|3-2|

6-42=(2-2)2=|2-2|

Zapisujmy wyrażenie określające liczbę K w prostszej postaci.

K=11-62-6-42=3-2-2+2=1

Liczba 1 jest liczbą całkowitą, zatem liczba K jest liczbą całkowitą, co należało wykazać.

Przekształcenia algebraiczne

Wzór (a-b)2 zastosujemy teraz do rozkładu na czynniki sumy algebraicznej w równaniu. Ułatwi to znacznie rozwiązanie równania.

Przykład 4

Rozwiążemy równanie x2-10x+25=0.

Lewą stronę równania zapisujemy w postaci kwadratu dwumianu.

x2-10x+25=0

(x-5)2=0

Stąd:

x-5=0

x=5

Rozwiązaniem równania jest liczba 5.

Przykład 5

Rozwiążemy równanie.

4x2-4x+5=0

Przekształcamy lewą stronę równania i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

4x2-4x+1+4=0
(2x-1)2=-4

Lewa strona równania jest nieujemna (jako kwadrat wyrażenia), a prawa ujemna – otrzymujemy sprzeczność. Równanie nie ma rozwiązania.

Wzór (a-b)2 jest często przydatny w skracaniu wyrażeń wymiernych.

Przykład 6

Zapiszemy w najprostszej postaci wyrażenie K=18x2+8y2-24xy6y-9x, gdy 2y3x.

Wyłączyliśmy wspólny czynnik w liczniku i mianowniku wyrażenia.

K=18x2+8y2-24xy6y-9x=2(9x2+4y2-12xy)3(2y-3x)

W liczniku sumę algebraiczną zapisujemy w postaci kwadratu dwumianu.

K=2(3x-2y)23(3x-2y)

Skracamy.

K=2(3x2y)3

Dowodzenie twierdzeń

Aby wykorzystać wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicywzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicywzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy w dowodzeniu twierdzeń, trzeba najpierw dokładnie przeanalizować założenie oraz tezę twierdzenia. O zastosowaniu wzoru najczęściej wnioskujemy na podstawie zapisanych w treści twierdzenia wyrażeń algebraicznych.

Przykład 7

Uzasadnimy, że jeśli x, y są liczbami dodatnimi  takimi, że x > y , x-y=4x2+y2=26 to x·y=5. Wartość iloczynu x·y znajdziemy, przekształcając odpowiednio wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicywzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicywzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy liczb xy.

(xy)2=x22xy+y2

Do wzoru podstawiamy: za x-y  liczbę 4, za x2+y2 liczbę 26.

42=-2xy+26

Stąd:

2xy=10
xy=5

Zatem xy=5, co należało udowodnić.

Przykład 8

Wykażemy, że jeśli a jest liczbą naturalną dodatnią, to liczba M=a44-a32+a24 jest kwadratem pewnej liczby rzeczywistej.

Sprowadzamy ułamki występujące w wyrażeniu do wspólnego mianownika i zapisujemy na wspólnej kresce ułamkowej.

M=a44-a32+a24=a4-2a3+a24

W liczniku otrzymanego ułamka wyłączamy wspólny czynnik przed nawias i zapisujemy sumę w postaci iloczynu, wykorzystując odpowiedni wzór skróconego mnożenia.

M=a4-2a3+a24=a24a2-2a+1=a24(a-1)2

Otrzymane wyrażenie zapisujemy w postaci kwadratu pewnej liczby.

M=a(a-1)22

Wykazaliśmy, że liczba M jest kwadratem liczby a(a-1)2.

Słownik

wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy
wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy

kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń minus podwojony iloczyn pierwszego wyrażenia przez drugie