Nazwiemy niektóre odcinki w graniastosłupie pochyłym pięciokątnym na rysunku poniżej.

R1WWE7FPAR4vM

Rysunek przedstawia graniastosłup. Postawą graniastosłupa jest nieforemna figura mająca pięć kątów. Podstawy graniastosłupa są przesunięte, nie znajdują się bezpośrednio nad sobą. Graniastosłup wygląda na pochylony. Wierzchołki graniastosłupa zostały oznaczone literami od A do J. Odcinki: AF, BG, CH, DI oraz EJ tworzą krawędzie boczne ostrosłupa. Odcinki: AB, BC, CD, DE i BE tworzą krawędzie dolnej podstawy graniastosłupa. Odcinki FG, GH, HI, IJ, FJ tworzą krawędzie górnej podstawy graniastosłupa. Na rysunku zaznaczone zostały zaznaczone różne odcinki. Odcinek AB będący krawędzią dolnej podstawy. Odcinek AF będący krawędzią boczną. Odcinek cg będący przekątną ściany bocznej graniastosłupa. Odcinek DF łączący wierzchołek górnej podstawy graniastosłupa z wierzchołkiem dolnej podstawy, odcinek ten biegnie po przekątnej graniastosłupa. Odcinek JH leżący w płaszczyźnie górnej podstawy i łączący naprzeciwległe wierzchołki tej podstawy. Poza obrębem graniastosłupa znajduje się punkt K, który leży na tej samej płaszczyźnie co dolna podstawa graniastosłupa ale bezpośrednio pod punktem I należącym do górnej podstawy graniastosłupa. Odcinek łączący punkt I oraz K jest pod kątem prostym do płaszczyzny na której leży dolna podstawa graniastosłupa.

$\overline{AB}$ – krawędź podstawy

$\overline{AF}$ – krawędź boczna

$\overline{KI}$ – wysokość graniastosłupa

$\overline{CG}$ – przekątna ściany bocznej

$\overline{HJ}$ – przekątna podstawy

$\overline{DF}$ – przekątna graniastosłupa

W poniższych graniastosłupach nazwiemy kąty zaznaczone pomiędzy odcinkami.

Zaznaczymy podane kąty:

1. Kąt pomiędzy dłuższą przekątną graniastosłupaprzekątna graniastosłupaprzekątną graniastosłupa, a krawędzią boczną w graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym.

   RXO7bGKheshf0

   Rysunek przedstawia graniastosłup foremny. Podstawą graniastosłupa jest sześciokąt foremny. W graniastosłupie zaznaczone zostały dwie linie. Jedna z nich jest krawędzią boczną graniastosłupa. Druga z nich to przekątna graniastosłupa. Linie te mają wspólny wierzchołek przy górnej podstawie graniastosłupa. Kąt między tymi liniami podpisano literą alfa.

   

2. Kąt pomiędzy krótszą przekątną graniastosłupa o podstawie rombu o przekątnych podstawy $6$ i $8$, a przekątną ściany bocznej.

   R1eI7i19m3J5D

   Rysunek przedstawia graniastosłup. Podstawą graniastosłupa jest romb. W graniastosłupie zaznaczone zostały dwie linie. Jedna z nich jest przekątną ściany bocznej graniastosłupa. Druga z nich to przekątna graniastosłupa. Linie te mają wspólny wierzchołek przy dolnej podstawie graniastosłupa. Kąt między tymi liniami podpisano literą alfa. W dolnej podstawie narysowana jest jej przekątna, która ma wspólny wierzchołek z liniami wyznaczającymi kąt alfa. Przekątna narysowana jest linią przerywaną i ma długość 6.

   

3. Kąt pomiędzy przekątną największej ściany bocznej graniastosłupa prostego o podstawie trójkąta prostokątnego, a krawędzią boczną.

Ry0PiHP69GErS

Rysunek przedstawia graniastosłup. Podstawą graniastosłupa jest trójkąt prostokątny. W graniastosłupie zaznaczone zostały dwie linie. Jedna z nich narysowana została w płaszczyźnie ściany bocznej, która znajduje się przy tej krawędzi podstawy, która stanowi dłuższą przyprostokątną trójkąta w podstawie. Linia ta jest przekątną tej ściany bocznej. Druga linia jest krawędzią graniastosłupa. Linie te mają wspólny wierzchołek przy górnej podstawie graniastosłupa. Kąt pomiędzy tymi liniami został podpisany literą beta.

Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez prostokątny o podstawach $2$ i $4$ oraz wysokości długości $3$. Krawędź boczna graniastosłupa ma długość $7$. Obliczymy miarę kąta pomiędzy dłuższą przekątną graniastosłupaprzekątna graniastosłupaprzekątną graniastosłupa, a krawędzią boczną.

Rozwiązanie:

Najpierw obliczymy długość dłuższej przekątnej podstawy.

RssgrfL0ZMzp2

Rysunek przedstawia trapez prostokątny. Jego dolna podstawa ma długość 4. Górna podstawa ma długość 2. Ramię, które jest pod kątem prostym do podstaw, ma długość 3. Przekątna trapezu została oznaczona literą p. Dolna podstawa trapezu i ramię, narysowane pod kątem prostym do tej podstawy oraz przekątna trapezu p tworzą razem trójkąt prostokątny, gdzie przekątna jest przeciwprostokątną.

Widzimy, że trójkąt, którego przeciwprostokątną jest $p$, jest trójkątem pitagorejskim o przyprostokątnych $3$ i $4$, a zatem $p=5$.

Teraz narysujmy graniastosłup i zaznaczmy w nim szukany kąt.

R14EWLxjlvjNU

Rysunek przedstawia graniastosłup. Podstawą graniastosłupa jest trapez prostokątny. W graniastosłup został wpisany trójkąt prostokątny. Pierwszą przyprostokątną trójkąta stanowi krawędź boczna graniastosłupa o długości 7. Drugą przyprostokątną stanowi przekątna trapezu, który jest podstawą graniastosłupa, przyprostokątna ta ma długość 5. Trzeci bok, czyli przeciwprostokątna, to przekątna graniastosłupa. Pomiędzy linią będącą krawędzią graniastosłupa a linią będącą przekątną graniastosłupa zaznaczony został kąt. Kąt ten podpisano literą alfa.

Korzystając z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym otrzymujemy $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{7}{5}=1,4$. A stąd $\alpha \approx 36°$.

graniastosłup, którego wszystkie ściany boczne są prostokątami

odcinek łączący wierzchołki różnych podstaw niebędące wierzchołkami tej samej ściany bocznej