Przeczytaj
Są sytuacje, w których z określonych przyczyn nie można dokonać pomiaru. Zdarza się to często przy określaniu długości, szerokości i wysokości obiektów w terenie. Przedstawimy tu kilka problemów, których rozwiązanie jest możliwe dzięki zastosowaniu funkcji trygonometrycznych.
Obliczymy wysokość budynku, którego cień ma długość wiedząc, że kąt padania promieni słonecznych wynosi . Wynik podamy z dokładnością do .
Trójkąt jest prostokątny, więc z definicji tangensatangensa mamy:
,
z tablic odczytujemy .
Po przekształceniach otrzymujemy:
, czyli
.
Odpowiedź: Budynek ma około wysokości.
Krzywa wieża w Ząbkowicach Śląskich ma wysokość i jej odchylenie od pionu wynosi . Wyznaczmy kąt, jaki tworzy z powierzchnią ziemi ściana wieży. O ile stopni odchylona jest wieża od pionu? Podamy wynik z dokładnością do .
Powstały trójkąt jest prostokątny.
– kąt, jaki tworzy ściana wieży z powierzchnią ziemi.
Z definicji tangensatangensa mamy:
.
Za pomocą kalkulatora znajdujemy przybliżoną wartość kąta :
, a zatem
.
- kąt odchylenia wieży od pionu.
, a zatem
.
Odpowiedź: Z powierzchnią ziemi ściana wieży tworzy kąt około . Wieża jest odchylona od pionu o około .
Jedną z trzech największych piramid egipskich w Gizie jest piramida Chefrena. Długość boku u podstawy tej piramidy wynosi , a ściany boczne są nachylone do podstawy pod kątem (kąt zaznaczono na rysunku). Obliczymy wysokość tej piramidy. Wynik podamy z dokładnością do .
Piramida ma kształt ostrosłupa o podstawie kwadratu. Na rysunku przedstawiamy sytuację z zadania:
gdzie
– wysokość piramidy,
– kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy piramidy,
.
Rozważany trójkąt jest prostokątny – długości jego przyprostokątnych to: i . Z rysunku wynika, że .
Z definicji tangensa mamy:
.
Podstawiamy dane z zadania:
,
,
.
Odpowiedź: Wysokość piramidy Chefrena wynosi około .
Kolej gondolowa na Stok Izerski ma długość trasy . Stacja dolna tej kolei znajduje się na wysokości , a górna na wysokości Obliczymy średnie nachylenie stoku. Podamy wynik z dokładnością do .
Zakładając, że wjazd gondoli odbywa się po linii prostej, obliczymy, jaka jest odległość stacji dolnej od punktu, który leży na tej samej wysokości, ale pod stacją górną.
Różnica wysokości między stacją górną a dolną jest długością boku trójkąta . Oznaczmy:
.
Trójkąt jest prostokątny, więc z definicji sinusasinusa mamy:
, gdzie
oraz ,
.
Za pomocą kalkulatora obliczamy przybliżoną wartość kąta :
.
Odległość stacji dolnej od punktu, który leży na tej samej wysokości, ale pod stacją górną, policzymy z definicji funkcji cosinuscosinus.
Podstawiając , otrzymujemy
.
Zatem
.
Odpowiedź: Średnie nachylenie stoku wynosi około , a punkt, który leży na tej samej wysokości, ale pod stacją górną jest odległy o około od stacji dolnej.
Wał ochronny ma przekrój trapezu równoramiennego, przy czym górna szerokość wału wynosi , natomiast boczne nasypy o długości są nachylone do poziomu pod kątem . Oblicz dolną szerokość wału oraz jego wysokość.
Trapez jest równoramienny, więc .
Szerokość dolnej części wału wynosi: , a ponieważ , to:
, więc
.
Aby wyznaczyć dolną część wału, należy obliczyć długość odcinka .
Trójkąt jest prostokątny, zatem z definicji funkcji cosinuscosinus mamy:
.
Podstawiając: , , otrzymujemy
.
Z tablic odczytujemy wartość ,
.
Stąd
.
Wynik podamy z przybliżeniem do : .
Szerokość dolnej części wału, czyli długość podstawy trapezu, wynosi:
.
Wysokość wału obliczymy z definicji funkcji sinussinus.
Ponieważ (odczytujemy z tablic trygonometrycznych), to
.
Wynik podamy z przybliżeniem do :
.
Odpowiedź: Dolna część wału ma szerokość około . Wysokość wału wynosi około .
Słownik
nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej kątowi do długości przeciwprostokątnej.
stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta do długości przeciwprostokątnej
stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej kątowi do długości przyprostokątnej przyległej do kąta