Przeczytaj
Przypomnijmy wiadomości dotyczące prostopadłościanu, poznane w szkole podstawowej.
Prostopadłościan to bryła przestrzennabryła przestrzenna (graniastosłup), która posiada dwie prostokątne podstawy oraz cztery prostokątne ściany boczne. Inna, równie trafna definicja prostopadłościanu to graniastosłup, którego każda ściana jest prostokątem, a dowolne dwie przeciwległe ściany są równoległe. Formalnie, definicję prostopadłościanu możemy zapisać jak poniżej.
Prostopadłościanem nazywamy równoległościan, którego każda ściana jest prostokątem, a każde dowolne dwie ściany mające wspólną krawędź są prostopadłe.
Poniżej zaprezentujmy prostopadłościany, z którymi spotykamy się na co dzień:
Aby rozpocząć swoją przygodę z praktycznym wykorzystywaniem wiedzy o prostopadłościanach, najpierw omówimy ich budowę.
Do podstawowych elementów z których zbudowany jest prostopadłościanprostopadłościan zalicza się:
podstawę,
krawędź podstawy,
ścianę boczną,
krawędź boczną,
wierzchołek,
przekątną.
Model prostopadłościanu został zaprezentowany na poniższej ilustracji:
Każdy prostopadłościan jest zbudowany z:
krawędzi,
wierzchołków,
ścian.
Od każdego wierzchołka prostopadłościanu odchodzą krawędzie, które będziemy nazywać wymiarami prostopadłościanu i oznaczać jako:
- długość,
- szerokość
- wysokość.
Zauważmy, że krawędź boczna prostopadłościanu jest również jego wysokością.
Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu:
Ponieważ w prostopadłościanie możemy wyróżnić trzy rodzaje krawędzi o różnych długościach, zatem sumę długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu obliczamy za pomocą wyrażenia:
Szczególnym przypadkiem prostopadłościanu jest sześcian, czyli bryła geometryczna, w której wszystkie ściany są przystającymi kwadratami.
Na rysunku przedstawiono bryły geometryczne ponumerowane od do . Podamy numery brył, które przedstawiają prostopadłościany.
Rozwiązanie:
Prostopadłościanami są bryły z numerami i .
Na rysunku przedstawiono prostopadłościan .
Opiszemy krawędzie, wierzchołki oraz ściany tego prostopadłościanu.
Rozwiązanie:
Wierzchołkami prostopadłościanu są punkty: .
Ścianami prostopadłościanu są prostokąty o wierzchołkach: , , , , , .
Krawędzie prostopadłościanu to: , , , , , , , , , , ,
Z trzech jednakowych sześcianów o krawędzi zbudowano prostopadłościan. Obliczymy sumę długości krawędzi tego prostopadłościanu.
Rozwiązanie:
Jeżeli przez oznaczymy wysokość prostopadłościanu, to jego rysunek przedstawia się następująco:
Wobec tego , a suma długości wszytkich krawędzi tego prostopadłościanu wynosi:
Obliczymy sumę długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu z rysunku.
Rozwiązanie:
Suma długości krawędzi prostopadłościanu z rysunku wynosi:
Wyznaczymy wymiary prostopadłościanu, jeżeli krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy , a suma tych krawędzi wynosi .
Rozwiązanie:
Niech będą długościami krawędzi prostopadłościanu wychodzącymi z tego samego wierzchołka.
Wtedy
Zatem do wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie:
Wobec tego
, czyli .
Długości krawędzi tego prostopadłościanu wynoszą odpowiednio .
Obliczymy długości krawędzi prostopadłościanu, jeżeli krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka są kolejnymi liczbami nieparzystymi, a ich iloczyn wynosi .
Rozwiązanie:
Jeżeli długości krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są kolejnymi liczbami nieparzystymi, to wprowadźmy następujące oznaczenia długości tych krawędzi:
, gdzie i
Wtedy do wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie:
Rozwiązaniem równania jest liczba , zatem krawędzie tego prostopadłościanu mają długości odpowiednio: .
Słownik
zbiór punktów przestrzeni trójwymiarowej homeomorficzny z pewnym wielościanem
graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami