Przeczytaj

Przypomnijmy wiadomości dotyczące prostopadłościanu, poznane w szkole podstawowej.

Prostopadłościan to bryła przestrzennabryła geometrycznabryła przestrzenna (graniastosłup), która posiada dwie prostokątne podstawy oraz cztery prostokątne ściany boczne. Inna, równie trafna definicja prostopadłościanu to graniastosłup, którego każda ściana jest prostokątem, a dowolne dwie przeciwległe ściany są równoległe. Formalnie, definicję prostopadłościanu możemy zapisać jak poniżej.

prostopadłościan

Definicja: prostopadłościan

Prostopadłościanem nazywamy równoległościan, którego każda ściana jest prostokątem, a każde dowolne dwie ściany mające wspólną krawędź są prostopadłe.

Poniżej zaprezentujmy prostopadłościany, z którymi spotykamy się na co dzień:

RtAgtJKIZUvCT

Na ilustracji przedstawiono sklejkę trzech zdjęć. Zdjęcie pierwsze przedstawia oszklony, sześcienny biurowiec. Zdjęcie drugie przedstawia kolorowe, sześcienne, drewniane klocki. Trzecia fotografia przedstawia panoramę miasta z licznymi drapaczami chmur. — Źródło: dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Aby rozpocząć swoją przygodę z praktycznym wykorzystywaniem wiedzy o prostopadłościanach, najpierw omówimy ich budowę.

Do podstawowych elementów z których zbudowany jest prostopadłościanprostopadłościanprostopadłościan zalicza się:

podstawę,
krawędź podstawy,
ścianę boczną,
krawędź boczną,
wierzchołek,
przekątną.

Model prostopadłościanu został zaprezentowany na poniższej ilustracji:

R1ZimzpAFKswr

Każdy prostopadłościan jest zbudowany z:

$12$ krawędzi,
$8$ wierzchołków,
$6$ ścian.

Od każdego wierzchołka prostopadłościanu odchodzą $3$ krawędzie, które będziemy nazywać wymiarami prostopadłościanu i oznaczać jako:

$a$ - długość,
$b$ - szerokość
$c$ - wysokość.

Zauważmy, że krawędź boczna prostopadłościanu jest również jego wysokością.

R134aEqp9aT0k

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan. Krawędzie podstawy oznaczono małymi literami a, oraz b. Krawędź i wysokość oznaczono małą literą c.

Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu:

R1GZeImnFFU5p

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o dolnej podstawie A B C D oraz górnej E F G H. Odpowiednio nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek E, nad wierzchołkiem B wierzchołek F, nad wierzchołkiem C, wierzchołek G, oraz nad wierzchołkiem D wierzchołek H. Kolorem czerwonym oznaczono krawędzie o długości b, czyli krawędzie A D, B C, F G, E H. Kolorem zielonym oznaczono krawędzie o długości a, czyli krawędzie A B, C D, E F, G H. Kolorem niebieskim oznaczono krawędzie o długości c, czyli krawędzie A E, B F, C G, D H.

Ponieważ w prostopadłościanie możemy wyróżnić trzy rodzaje krawędzi o różnych długościach, zatem sumę długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu obliczamy za pomocą wyrażenia:

$4 \cdot a + 4 \cdot b + 4 \cdot c = 4 \cdot (a + b + c)$

Ważne!

Szczególnym przypadkiem prostopadłościanu jest sześcian, czyli bryła geometryczna, w której wszystkie ściany są przystającymi kwadratami.

Przykład 1

Na rysunku przedstawiono bryły geometryczne ponumerowane od $1$ do $11$ . Podamy numery brył, które przedstawiają prostopadłościany.

RqnXjPCRaQmKK

Na ilustracji przedstawiono 11 brył geometrycznych oznaczonych cyframi od 1 do jedenaście. Bryła numer jeden przedstawia prostopadłościan, bryła numer 2 ostrosłup, który w podstawie ma koło, bryła numer 3 graniastosłup pięciokątny, bryła numer 4 walec, bryła numer 5 ostrosłup pięciokątny, bryła numer 6 ostrosłup trójkątny, bryła numer 7 graniastosłup sześciokątny, bryła numer 8 prostopadłościan, bryła numer 9 graniastosłup trójkątny, bryła numer 10 ostrosłup sześciokątny, oraz bryła numer 11 ostrosłup czworokątny

Rozwiązanie:

Prostopadłościanami są bryły z numerami $1$ i $8$ .

Przykład 2

Na rysunku przedstawiono prostopadłościan $A B C D E F G H$ .

RQrV9iLfDsywK

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan o podstawie dolnej A B C D, oraz górnej E F G H. Odpowiednio nad wierzchołkiem A, znajduje się wierzchołek E, nad wierzchołkiem B wierzchołek F, nad wierzchołkiem C wierzchołek G, nad wierzchołkiem D wierzchołek H.

Opiszemy krawędzie, wierzchołki oraz ściany tego prostopadłościanu.

Rozwiązanie:

Wierzchołkami prostopadłościanu są punkty: $A, B, C, D, E, F, G, H$ .

Ścianami prostopadłościanu są prostokąty o wierzchołkach: $A B C D$ , $E F G H$ , $B C G F$ , $D C G H$ , $A D H E$ , $A B F E$ .

Krawędzie prostopadłościanu to: $A B$ , $B C$ , $C D$ , $A D$ , $E F$ , $F G$ , $G H$ , $E H$ , $A E$ , $B F$ , $C G$ , $D H$

Przykład 3

Z trzech jednakowych sześcianów o krawędzi $a$ zbudowano prostopadłościan. Obliczymy sumę długości krawędzi tego prostopadłościanu.

Rozwiązanie:

Jeżeli przez $c$ oznaczymy wysokość prostopadłościanu, to jego rysunek przedstawia się następująco:

R1CtUg63xlCQL

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan utworzony z trzech jednakowych sześcianów o krawędzi a. Małą literą c oznaczono wysokość powstałego prostopadłościanu.

Wobec tego $c = 3 a$ , a suma długości wszytkich krawędzi tego prostopadłościanu wynosi:

$4 \cdot a + 4 \cdot a + 4 \cdot 3 a = 20 a$

Przykład 4

Obliczymy sumę długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu z rysunku.

R65UWisKvkWTB

Na ilustracji przedstawiono prostopadłościan. Dłuższa krawędź podstawy jest równa 9,5, krótsza krawędź podstawy jest równa 4, natomiast wysokość bryły jest równa dwanaście i pół.

Rozwiązanie:

Suma długości krawędzi prostopadłościanu z rysunku wynosi:

$4 \cdot 9, 5 + 4 \cdot 4 + 4 \cdot 12, 5 = 38 + 16 + 50 = 104$

Przykład 5

Wyznaczymy wymiary prostopadłościanu, jeżeli krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy $3$ , a suma tych krawędzi wynosi $72$ .

Rozwiązanie:

Niech $a, b, c$ będą długościami krawędzi prostopadłościanu wychodzącymi z tego samego wierzchołka.

Wtedy

$b = a + 3$

$c = a + 6$

Zatem do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$a + b + c = 72$

Wobec tego

$a + a + 3 + a + 6 = 72$ , czyli $a = 21$ .

Długości krawędzi tego prostopadłościanu wynoszą odpowiednio $21, 24, 27$ .

Przykład 6

Obliczymy długości krawędzi prostopadłościanu, jeżeli krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka są kolejnymi liczbami nieparzystymi, a ich iloczyn wynosi $693$ .

Rozwiązanie:

Jeżeli długości krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są kolejnymi liczbami nieparzystymi, to wprowadźmy następujące oznaczenia długości tych krawędzi:

$n - 2, n, n + 2$ , gdzie $n > 2$ i $n \in ℕ$

Wtedy do wyznaczenia wartości $n$ rozwiązujemy równanie:

$(n - 2) \cdot n \cdot (n + 2) = 693$

$n^{3} - 4 n - 693 = 0$

$(n - 9) \cdot (n^{2} + 9 n + 77) = 0$

Rozwiązaniem równania jest liczba $n = 9$ , zatem krawędzie tego prostopadłościanu mają długości odpowiednio: $7, 9, 11$ .

Słownik

bryła geometryczna

zbiór punktów przestrzeni trójwymiarowej homeomorficzny z pewnym wielościanem

prostopadłościan

graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami

Wprowadzenie

Animacja 3D

Słownik