Matematyka jest w zasadzie bardzo precyzyjną dziedziną nauki. Zdarza się jednak, że w zadaniach praktycznych potrzebujemy zaokrąglenia lub przybliżenia pewnej liczby.

Przybliżanie to znajdowanie liczby, która jest „bliska” innej liczbie i zwykle obarczone jest pewnym błędem. Jeśli przybliżenie liczby jest od niej mniejsze, to mówimy o przybliżeniu z niedomiarem; jeśli jest od niej większe – mówimy, o przybliżeniu z nadmiarem.

Aby błąd powstały w trakcie przybliżania był jak najmniejszy, przyjmuje się „reguły zaokrąglania”. Przy zaokrąglaniu liczb przyglądamy się „pierwszej odrzuconej cyfrze” i jeśli:

  • jest to jedna z cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, to pozostawione cyfry przepisujemy bez zmian;

  • jest to jedna z cyfr 5, 6, 7, 8, 9, to zwiększamy ostatnią pozostawioną cyfrę o 1, przy czym - jeśli ostatnia pozostawiona cyfra jest równa 9, to zastępujemy ją przez 0 a o 1 zwiększamy cyfrę poprzednią.

Odrzucone cyfry zastępujemy cyfrą 0.

Przykład 1

Podamy przybliżenia i zaokrąglenia liczb 154,258 oraz 2582.

Rozwiązanie

Liczba a

Przybliżenia liczby a

Zaokrąglenie liczbyzaokrąglenie liczbyZaokrąglenie liczby a

154,258

(do rzędu części setnych)

154,25
154,26
154,30
154,20

(do rzędu części setnych)
154,26
(ostatnia cyfr została zwiększona o 1, ponieważ kolejna należy do zbioru 5, 6, 7, 8, 9)

2582

(do pełnych dziesiątek)

2580
2590

(do pełnych dziesiątek)
2580
(cyfra dziesiątek się nie zmieniła, ponieważ kolejna – cyfra jedności, należy do zbioru 0, 1, 2, 3, 4)

Możemy więc podać kilka liczb, które są przybliżeniamiprzybliżenie liczbyprzybliżeniami danej liczby, ale tylko jedna z nich jest zaokrągleniem liczby.

Zaokrągleniazaokrąglenie liczbyZaokrąglenia liczb często wykorzystujemy do obliczania przybliżonej wartości liczb niewymiernych. Przybliżając zastępujemy znak „=” znakiem „”. Przybliżamy do rzędu wielkości wskazanego w zadaniu. Podczas wykonywania działań korzystamy z dokładniejszych przybliżeń, a otrzymany wynik przybliżamy do wskazanego rzędu wielkości.

Przykład 2

Obliczymy wartości liczb przybliżone:

  1. do części setnych: 2+5

  2. do części tysięcznych: 3663

  3. do części setnych: 322

Rozwiązanie

Chcąc otrzymać wynik z zadaną dokładnością bezpiecznie jest wykonywać działania na dokładniejszych przybliżeniach:

  1. 2+51,414+2,236=3,650=3,65

  2. 366332,44941,8171=5,53115,53

  3. 3221,73222=0,2682=0,1340,13

Warto zauważyć, że wykonując działania na mniej dokładnych przybliżeniach możemy otrzymać inny wynik, np: 2+31,41+1,73=3,14, podczas gdy: 2+31,414+1,732=3,1463,15

Przykład 3

Obliczymy wartość liczby 7+11 w przybliżeniu do części setnych.

Rozwiązanie

Wykonując działanie na dokładniejszych przybliżeniach i przybliżając wynik do wskazanego rzędu wielkości otrzymujemy:

7+112,646+3,317=5,9635,96.

Przybliżając od razu do części setnych mamy natomiast:

7+112,65+3,32=5,97.

Przy zapisywaniu wyników różnych badań i eksperymentów lub wykonywaniu obliczeń opartych na wynikach pomiarów możemy się również spotkać z pojęciem cyfr znaczących. Cyfry te mówią nam o dokładności wykonanego pomiaru. Cyframi znaczącymi są wszystkie cyfry w zapisie dziesiętnym liczby oprócz zer na początku, np.

  • w liczbie 0,00203 są trzy cyfry znaczące: 2, 03 stojące na trzecim, czwartym i piątym miejscu po przecinku;

  • w liczbie 12,0090 jest 5 cyfr znaczących: 1, 2, 0, 0, 9.

Do cyfr znaczących zalicza się nadto te zera końcowe, które nie wynikły z zaokrąglenia, lecz z rachunku.

Przykład 4

Określimy liczbę cyfr znaczącychcyfry znaczącecyfr znaczących przybliżeń: 401,2; 0,023; 0,1000102,030.

Rozwiązanie

  • 401,2 – cztery cyfry znaczące,

  • 0,023 – dwie cyfry znaczące,

  • 0,1000 – jedna cyfra znacząca,

  • 102,030 – pięć cyfr znaczących.

Zera tuż po przecinku nie są cyframi znaczącymi, chyba że znajdują się między cyframi niezerowymi. Ale są nimi zera na końcu liczby.

Przybliżenia są także wykorzystywane w metrologii i geodezji. W tych dziedzinach nauki stosowane są zasady zaokrąglania liczb i działania na liczbach przybliżonych. Nazywane są one regułami Bradis - Kryłowa.

Przeanalizujmy reguły dotyczące wykonywania działań w kolejnych przykładach.

Przykład 5

Mnożenie i dzielenie.

Przybliżymy wyniki działań:

  • 2,75·0,15

  • 15,04·12,201

  • 75,020:2,04

zgodnie z regułami Bradis - Kryłowa.

Rozwiązanie

Wykonujemy działanie, a następnie przybliżamy wynik tak, aby zawierał tyle cyfr znaczących, ile jest ich w czynniku, który ma najmniej cyfr znaczących.

RvIGBwDxY9lAG
Przykład 6

Dodawanie i odejmowanie.

Przybliżymy wyniki działań:

  • 154,35+12,4

  • 167,658-15,61

zgodnie z regułami Bradis - Kryłowa.

Rozwiązanie

W tym przypadku istotne jest z jaką dokładnością podane są dodawane (odejmowane) liczby.

Wynik końcowy powinien mieć tyle cyfr po przecinku, ile ma ich liczba o najmniejszej dokładności.

R1BnBrEiPuMoo
Przykład 7

Potęgi i pierwiastki.

Przybliżymy liczby:

  • 10,43

  • 220,103

zgodnie z regułami Bradis - Kryłowa.

Rozwiązanie

Wynik powinien mieć tyle cyfr znaczących, ile ma liczba potęgowana/liczba podpierwiastkowa.

R1dvhQNx9EcQv

W regułach Bradis - Kryłowa ponadto:

  • Liczby będące wynikami pośrednimi zapisujemy, uwzględniając dodatkowo kolejną cyfrę, pomimo powyższych reguł. W końcowym rozwiązaniu dodatkową cyfrę opuszczamy lub zapisujemy mniejszą czcionką.

  • Jeśli niektóre dane zawierają więcej znaków dziesiętnych lub cyfr znaczących niż pozostałe dane w działaniach, wówczas zaokrąglamy je zachowując o jedną cyfrę więcej niż wynika z powyższych reguł.

  • Jeżeli chcemy uzyskać wynik końcowy o k cyfrach, to do obliczeń należy brać dane z taką liczbą cyfr, które, zgodnie z powyższymi regułami, w końcowym rozwiązaniu dadzą k+1 cyfr.

Słownik

przybliżenie liczby
przybliżenie liczby

podanie wartości liczby z pewną dokładnością

zaokrąglenie liczby
zaokrąglenie liczby

podanie wartości liczby z pewną dokładnością, zgodnie z ustalonymi zasadami

cyfry znaczące
cyfry znaczące

wszystkie cyfry przybliżonej liczby, z wyjątkiem zer położonych na lewo od pierwszej różnej od zera cyfry