Przeczytaj

Matematyka jest w zasadzie bardzo precyzyjną dziedziną nauki. Zdarza się jednak, że w zadaniach praktycznych potrzebujemy zaokrąglenia lub przybliżenia pewnej liczby.

Przybliżanie to znajdowanie liczby, która jest „bliska” innej liczbie i zwykle obarczone jest pewnym błędem. Jeśli przybliżenie liczby jest od niej mniejsze, to mówimy o przybliżeniu z niedomiarem; jeśli jest od niej większe – mówimy, o przybliżeniu z nadmiarem.

Aby błąd powstały w trakcie przybliżania był jak najmniejszy, przyjmuje się „reguły zaokrąglania”. Przy zaokrąglaniu liczb przyglądamy się „pierwszej odrzuconej cyfrze” i jeśli:

jest to jedna z cyfr: $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , to pozostawione cyfry przepisujemy bez zmian;
jest to jedna z cyfr $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ , to zwiększamy ostatnią pozostawioną cyfrę o $1$ , przy czym - jeśli ostatnia pozostawiona cyfra jest równa $9$ , to zastępujemy ją przez $0$ a o $1$ zwiększamy cyfrę poprzednią.

Odrzucone cyfry zastępujemy cyfrą $0$ .

Przykład 1

Podamy przybliżenia i zaokrąglenia liczb $154, 258$ oraz $2582$ .

Rozwiązanie

Liczba $a$	Przybliżenia liczby $a$	Zaokrąglenie liczbyzaokrąglenie liczbyZaokrąglenie liczby $a$
$154, 258$	(do rzędu części setnych) $154, 25$ $154, 26$ $154, 30$ $154, 20$	(do rzędu części setnych) $154, 26$ (ostatnia cyfr została zwiększona o $1$ , ponieważ kolejna należy do zbioru $\{5, 6, 7, 8, 9\}$ )
$2582$	(do pełnych dziesiątek) $2580$ $2590$	(do pełnych dziesiątek) $2580$ (cyfra dziesiątek się nie zmieniła, ponieważ kolejna – cyfra jedności, należy do zbioru $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ )

Możemy więc podać kilka liczb, które są przybliżeniamiprzybliżenie liczbyprzybliżeniami danej liczby, ale tylko jedna z nich jest zaokrągleniem liczby.

Zaokrągleniazaokrąglenie liczbyZaokrąglenia liczb często wykorzystujemy do obliczania przybliżonej wartości liczb niewymiernych. Przybliżając zastępujemy znak „ $=$ ” znakiem „ $\approx$ ”. Przybliżamy do rzędu wielkości wskazanego w zadaniu. Podczas wykonywania działań korzystamy z dokładniejszych przybliżeń, a otrzymany wynik przybliżamy do wskazanego rzędu wielkości.

Przykład 2

Obliczymy wartości liczb przybliżone:

do części setnych: $\sqrt{2} + \sqrt{5}$
do części tysięcznych: $3 \sqrt{6} - \sqrt[3]{6}$
do części setnych: $\frac{\sqrt{3} - 2}{2}$

Rozwiązanie

Chcąc otrzymać wynik z zadaną dokładnością bezpiecznie jest wykonywać działania na dokładniejszych przybliżeniach:

$\sqrt{2} + \sqrt{5} \approx 1, 414 + 2, 236 = 3, 650 = 3, 65$
$3 \sqrt{6} - \sqrt[3]{6} \approx 3 \cdot 2, 4494 - 1, 8171 = 5, 5311 \approx 5, 53$
$\frac{\sqrt{3} - 2}{2} \approx \frac{1, 732 - 2}{2} = \frac{- 0, 268}{2} = - 0, 134 \approx - 0, 13$

Warto zauważyć, że wykonując działania na mniej dokładnych przybliżeniach możemy otrzymać inny wynik, np: $\sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 1, 41 + 1, 73 = 3, 14$ , podczas gdy: $\sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 1, 414 + 1, 732 = 3, 146 \approx 3, 15$

Przykład 3

Obliczymy wartość liczby $\sqrt{7} + \sqrt{11}$ w przybliżeniu do części setnych.

Rozwiązanie

Wykonując działanie na dokładniejszych przybliżeniach i przybliżając wynik do wskazanego rzędu wielkości otrzymujemy:

$\sqrt{7} + \sqrt{11} \approx 2, 646 + 3, 317 = 5, 963 \approx 5, 96$ .

Przybliżając od razu do części setnych mamy natomiast:

$\sqrt{7} + \sqrt{11} \approx 2, 65 + 3, 32 = 5, 97$ .

Przy zapisywaniu wyników różnych badań i eksperymentów lub wykonywaniu obliczeń opartych na wynikach pomiarów możemy się również spotkać z pojęciem cyfr znaczących. Cyfry te mówią nam o dokładności wykonanego pomiaru. Cyframi znaczącymi są wszystkie cyfry w zapisie dziesiętnym liczby oprócz zer na początku, np.

w liczbie $0, 00203$ są trzy cyfry znaczące: $2$ , $0$ i $3$ stojące na trzecim, czwartym i piątym miejscu po przecinku;
w liczbie $12, 0090$ jest $5$ cyfr znaczących: $1$ , $2$ , $0$ , $0$ , $9$ .

Do cyfr znaczących zalicza się nadto te zera końcowe, które nie wynikły z zaokrąglenia, lecz z rachunku.

Przykład 4

Określimy liczbę cyfr znaczącychcyfry znaczącecyfr znaczących przybliżeń: $401, 2$ ; $0, 023$ ; $0, 1000$ i $102, 030$ .

Rozwiązanie

$401, 2$ – cztery cyfry znaczące,

$0, 023$ – dwie cyfry znaczące,

$0, 1000$ – jedna cyfra znacząca,

$102, 030$ – pięć cyfr znaczących.

Zera tuż po przecinku nie są cyframi znaczącymi, chyba że znajdują się między cyframi niezerowymi. Ale są nimi zera na końcu liczby.

Przybliżenia są także wykorzystywane w metrologii i geodezji. W tych dziedzinach nauki stosowane są zasady zaokrąglania liczb i działania na liczbach przybliżonych. Nazywane są one regułami Bradis - Kryłowa.

Przeanalizujmy reguły dotyczące wykonywania działań w kolejnych przykładach.

Przykład 5

Mnożenie i dzielenie.

Przybliżymy wyniki działań:

$2, 75 \cdot 0, 15$
$15, 04 \cdot 12, 201$
$75, 020 : 2, 04$

zgodnie z regułami Bradis - Kryłowa.

Rozwiązanie

Wykonujemy działanie, a następnie przybliżamy wynik tak, aby zawierał tyle cyfr znaczących, ile jest ich w czynniku, który ma najmniej cyfr znaczących.

RvIGBwDxY9lAG

Ilustracja przedstawia działania na liczbach i zaokrąglanie wyników. 2,75⋅0,15=0,4125≈0,41, dwie cyfry znaczące. 15,04⋅12,201=183,50304≈183,5, cztery cyfry znaczące. 75,020:2,04≈36,7745098≈36,8, trzy cyfry znaczące.

Przykład 6

Dodawanie i odejmowanie.

Przybliżymy wyniki działań:

$154, 35 + 12, 4$
$167, 658 - 15, 61$

zgodnie z regułami Bradis - Kryłowa.

Rozwiązanie

W tym przypadku istotne jest z jaką dokładnością podane są dodawane (odejmowane) liczby.

Wynik końcowy powinien mieć tyle cyfr po przecinku, ile ma ich liczba o najmniejszej dokładności.

R1BnBrEiPuMoo

Ilustracja przedstawia działania na liczbach i zaokrąglanie części dziesiętnych wyników. 154,35+12,4=166,75≈166,8, dokładność do części dziesiątych. 167,658−15,61=152,048≈152,05, dokładność do części setnych.

Przykład 7

Potęgi i pierwiastki.

Przybliżymy liczby:

$10, 4^{3}$
$\sqrt[3]{220, 10}$

zgodnie z regułami Bradis - Kryłowa.

Rozwiązanie

Wynik powinien mieć tyle cyfr znaczących, ile ma liczba potęgowana/liczba podpierwiastkowa.

R1dvhQNx9EcQv

Ilustracja przedstawia działania na liczbach i zaokrąglanie wyników. 10,43=1124,864≈1120, trzy cyfry znaczące. 220,103≈6,03772527≈6,0377, pięć cyfr znaczących.

W regułach Bradis - Kryłowa ponadto:

Liczby będące wynikami pośrednimi zapisujemy, uwzględniając dodatkowo kolejną cyfrę, pomimo powyższych reguł. W końcowym rozwiązaniu dodatkową cyfrę opuszczamy lub zapisujemy mniejszą czcionką.
Jeśli niektóre dane zawierają więcej znaków dziesiętnych lub cyfr znaczących niż pozostałe dane w działaniach, wówczas zaokrąglamy je zachowując o jedną cyfrę więcej niż wynika z powyższych reguł.
Jeżeli chcemy uzyskać wynik końcowy o $k$ cyfrach, to do obliczeń należy brać dane z taką liczbą cyfr, które, zgodnie z powyższymi regułami, w końcowym rozwiązaniu dadzą $k + 1$ cyfr.

Słownik

przybliżenie liczby

podanie wartości liczby z pewną dokładnością

zaokrąglenie liczby

podanie wartości liczby z pewną dokładnością, zgodnie z ustalonymi zasadami

cyfry znaczące

wszystkie cyfry przybliżonej liczby, z wyjątkiem zer położonych na lewo od pierwszej różnej od zera cyfry

Wprowadzenie

Gra edukacyjna

Słownik