Przeczytaj
Równania zawierające mianownik można z grubsza podzielić na dwie grupy – równania których mianownikami są tylko liczby i równania mające w mianowniku wyrażenie algebraiczne zawierające zmienne (lub parametry).
Pierwszy typ równań jest dość prosty do rozwiązania, bo cały problem polega najczęściej na jak najszybszym „pozbyciu” się mianownika. W tym celu mnożymy każdą ze stron równania przez wspólną wielokrotność (zwykle najmniejszą wspólną wielokrotność) liczb stojących w mianownikach i skracamy uzyskane ułamki.
W przypadku, gdy w mianowniku ułamka stoi wyrażenie algebraiczne zawierające „literę”, sprawa jest bardziej skomplikowana, gdyż należy w takim przypadku określić jeszcze dziedzinę równania. Można to zrobić, rozpoczynając przekształcanie równania, ale można dopiero po znalezieniu rozwiązania sprawdzić, czy dana liczba istotnie spełnia równanie.
W zadaniach z kontekstem realistycznym trzeba mieć na uwadze rzeczywiste odniesienia do znalezionych wielkości – zatem na przykład wysokość powinna wyrażać się liczbą nieujemną, a prędkość samochodu raczej liczbą mniejszą od .
Na początek proste zadanie tekstowe, prowadzące do rozwiązania równania zawierającego w mianowniku liczby.
Obliczymy, ile należy wziąć kilogramów srebra próby i ile kilogramów srebra próby , aby otrzymać kilogramy srebra próby .
Dla przypomnienia: próba srebra to sposób określenia zawartości srebra w stopie wyrażonej w promilach. Na przykład jeśli stop zawiera (czyli promili) czystego srebra, to jest próby .
Oznaczmy:
– ilość srebra próby (w )
– ilość srebra próby (w )
– ilość czystego srebra w stopie (w )
– próba otrzymanego stopu
Nim przystąpimy do ułożenia i rozwiązania zadania, zauważmy, że:
Czyli dziedzina równania to: .
Zapisujemy i rozwiązujemy równanie wynikające z treści zadania.
Aby „pozbyć się” mianownika, mnożymy obie strony równania przez i skracamy.
Wykonujemy działania w nawiasie i obie strony dzielimy przez .
Po lewej stronie równania wykonujemy wskazane działania i skracamy ułamki.
Ponieważ , zatem możemy wyznaczyć drugą, szukaną wielkość.
Odpowiedź:
Należy wziąć srebra próby i srebra próby .
W następnym przykładzie – klasyczne równanie groźnie wyglądające, ale w rzeczywistości prowadzące do dość banalnych przekształceń.
Rozwiążemy równanie , gdzie , , to pewne liczby rzeczywiste dodatnie, – niewiadoma.
Aby rozwiązać równanie – najpierw przyglądamy się mianownikom wyrażeń algebraicznych stojących po lewej stronie równania.
Każda z liczb , , jest dodatnia, zatem , , czyli do dziedziny równania należą wszystkie liczby rzeczywiste.
Przekształcamy równoważnie równanie tak, aby „pozbyć się” mianownika.
Czyli mnożymy obie strony równania przez .
Wykonujemy wskazane działania.
Redukujemy wyrazy podobne.
Przenosimy wyrazy bez niewiadomej na prawą stronę równania i wyłączamy przed nawias.
Rozkładamy prawa stronę równania na czynniki.
Dzielimy obie strony równania przez wyrażenie dodatnie i skracamy.
Odpowiedź:
Rozwiązaniem równia jest liczba .
Teraz zadanie „na dowodzenie”. Podobne nieco do poprzedniego zadania, ale teraz w mianowniku ułamków znajduje się niewiadoma.
Niech , będą liczbami rzeczywistymi takimi, że i .
Wykażemy, że równanie
z niewiadomą ma dwa rozwiązania.
Aby rozwiązać równanie
musimy założyć, że:
, , , .
Sprowadzamy lewą stronę równania do wspólnego mianownika.
Przekształcamy równoważnie równanie.
Ułamek jest równy , jeśli jego licznik jest równy . Wystarczy więc rozwiązać teraz równanie:
Mnożymy, odpowiednio grupujemy wyrazy i rozkładamy otrzymane wyrażenie na czynniki.
Zapisujemy równoważna alternatywę.
lub lub
– niezgodne z treścią zadania, bo
Rozwiązaniami równania są liczby i . Równanie ma dwa rozwiązania, co należało wykazać.
Równanie zawierające mianownik nie zawsze ma rozwiązanie – może być równaniem sprzecznym.
Równanie, które nie ma rozwiązań, nazywamy równaniem sprzecznym.
Do rozwiązania równania zawierającego mianownik, często prowadzi równanie wykładnicze.
Rozwiążemy równanie
.
Określamy dziedzinę równania:
i .
Sprowadzamy potęgi do tej samej podstawy i porównujemy wykładniki.
Korzystamy z własności proporcji i mnożymy wyrażenia stojące po obu stronach równania „na krzyż”.
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.
Równanie kwadratowe nie ma rozwiązania. Zatem i rozpatrywane równanie wykładnicze nie ma rozwiązania.
Odpowiedź:
Równanie jest sprzecznesprzeczne – nie ma rozwiązania.
W ostatnim zadaniu mamy do rozwiązania problem z kontekstem realistycznym. Wydaje się, że analogiczny, jak w Przykładzie 1, jednak, jak się przekonamy, trudniejszy. Istotne więc będzie dobre opisanie zależności wynikających z treści zadania.
W bańce znajduje się mieszanina soli z wodą w stosunku . W dzbanku znajduje się mieszanina soli z wodą w stosunku . Obliczymy, ile kubków mieszaniny należy wziąć z każdego naczynia, aby otrzymać kubków mieszaniny o stosunku soli do wody .
Oznaczmy:
– liczba kubków mieszaniny, którą należy pobrać z bańki
– liczba kubków mieszaniny, którą należy pobrać z dzbanka
– zawartości kubka zawierającego mieszaninę z bańki to sól
– zawartości kubka zawierającego mieszaninę z dzbanka to sól
Zatem
zawartości kubków mieszaniny z bańki i kubków mieszaniny z dzbanka to sól.
Jednocześnie
zawartości kubków mieszaniny z bańki i kubków mieszaniny z dzbanka to woda.
Budujemy równanie wynikające z treści zadania.
Sprowadzamy najpierw do najprostszej postaci licznik i mianownik ułamka stojącego po lewej stronie równania.
Teraz mnożymy „na krzyż” i rozwiązujemy proste równanie liniowe.
Wyznaczona liczba spełnia początkowe założenia: .
Musimy jeszcze sprawdzić, czy mianownik równania dla jest różny od zera (wcześniej nie określiliśmy w sposób jawny dziedziny równania).
Obliczmy, ile kubków mieszaniny należy wziąć z dzbanka.
Odpowiedź:
Z bańki należy wziąć kubków mieszaniny, a z dzbanka tylko .
Słownik
równanie, które nie ma rozwiązań, nazywamy równaniem sprzecznym