Przeczytaj

Równania zawierające mianownik można z grubsza podzielić na dwie grupy – równania których mianownikami są tylko liczby i równania mające w mianowniku wyrażenie algebraiczne zawierające zmienne (lub parametry).

Pierwszy typ równań jest dość prosty do rozwiązania, bo cały problem polega najczęściej na jak najszybszym „pozbyciu” się mianownika. W tym celu mnożymy każdą ze stron równania przez wspólną wielokrotność (zwykle najmniejszą wspólną wielokrotność) liczb stojących w mianownikach i skracamy uzyskane ułamki.

W przypadku, gdy w mianowniku ułamka stoi wyrażenie algebraiczne zawierające „literę”, sprawa jest bardziej skomplikowana, gdyż należy w takim przypadku określić jeszcze dziedzinę równania. Można to zrobić, rozpoczynając przekształcanie równania, ale można dopiero po znalezieniu rozwiązania sprawdzić, czy dana liczba istotnie spełnia równanie.

W zadaniach z kontekstem realistycznym trzeba mieć na uwadze rzeczywiste odniesienia do znalezionych wielkości – zatem na przykład wysokość powinna wyrażać się liczbą nieujemną, a prędkość samochodu raczej liczbą mniejszą od $2000$ .

Na początek proste zadanie tekstowe, prowadzące do rozwiązania równania zawierającego w mianowniku liczby.

Przykład 1

Obliczymy, ile należy wziąć kilogramów srebra próby $700$ i ile kilogramów srebra próby $900$ , aby otrzymać $4$ kilogramy srebra próby $850$ .

Dla przypomnienia: próba srebra to sposób określenia zawartości srebra w stopie wyrażonej w promilach. Na przykład jeśli stop zawiera $70 %$ (czyli $700$ promili) czystego srebra, to jest próby $700$ .

Oznaczmy:

$x$ – ilość srebra próby $700$ (w $kg$ )

$4 - x$ – ilość srebra próby $900$ (w $kg$ )

$\frac{7}{10} x + \frac{9}{10} (4 - x)$ – ilość czystego srebra w stopie (w $kg$ )

$\frac{\frac{7}{10} x + \frac{9}{10} (4 - x)}{4}$ – próba otrzymanego stopu

Nim przystąpimy do ułożenia i rozwiązania zadania, zauważmy, że:

$0 \leq x \leq 4$

Czyli dziedzina równania to: $D = ⟨0, 4⟩$ .

Zapisujemy i rozwiązujemy równanie wynikające z treści zadania.

$\frac{\frac{7}{10} x + \frac{9}{10} (4 - x)}{4} = \frac{85}{100}$

Aby „pozbyć się” mianownika, mnożymy obie strony równania przez $N W W (4, 100) = 100$ i skracamy.

$100 \cdot \frac{\frac{7}{10} x + \frac{9}{10} (4 - x)}{4} = \frac{85}{100} \cdot 100$

$25 \cdot (\frac{7}{10} x + \frac{36}{10} - \frac{9}{10} x) = 85$

Wykonujemy działania w nawiasie i obie strony dzielimy przez $5$ .

$5 (\frac{36}{10} - \frac{2}{10} x) = 17$

Po lewej stronie równania wykonujemy wskazane działania i skracamy ułamki.

$\frac{180}{10} - \frac{10}{10} x = 17$

$18 - x = 17$

$x = 1$

Ponieważ $1 \in D$ , zatem możemy wyznaczyć drugą, szukaną wielkość.

$4 - 1 = 3$

Odpowiedź:

Należy wziąć $1 kg$ srebra próby $700$ i $3 kg$ srebra próby $900$ .

W następnym przykładzie – klasyczne równanie groźnie wyglądające, ale w rzeczywistości prowadzące do dość banalnych przekształceń.

Przykład 2

Rozwiążemy równanie $\frac{x - a}{b + c} + \frac{x - b}{a + c} = 2$ , gdzie $a$ , $b$ , $c$ to pewne liczby rzeczywiste dodatnie, $x$ – niewiadoma.

Aby rozwiązać równanie – najpierw przyglądamy się mianownikom wyrażeń algebraicznych stojących po lewej stronie równania.

Każda z liczb $a$ , $b$ , $c$ jest dodatnia, zatem $b + c > 0$ , $a + c > 0$ , czyli do dziedziny równania należą wszystkie liczby rzeczywiste.

Przekształcamy równoważnie równanie tak, aby „pozbyć się” mianownika.

Czyli mnożymy obie strony równania przez $(b + c) (a + c)$ .

$\frac{x - a}{b + c} + \frac{x - b}{a + c} = 2$

$(x - a) (a + c) + (x - b) (b + c) = 2 (b + c) (a + c)$

Wykonujemy wskazane działania.

$x a + x c - a^{2} - a c + x b + x c - b^{2} - b c = 2 b a + 2 b c + 2 c a + 2 c^{2}$

Redukujemy wyrazy podobne.

$x a + 2 x c - a^{2} + x b - b^{2} = 2 b a + 3 b c + 3 c a + 2 c^{2}$

Przenosimy wyrazy bez niewiadomej na prawą stronę równania i wyłączamy $x$ przed nawias.

$x a + 2 x c - a^{2} + x b - b^{2} = 2 b a + 3 b c + 3 c a + 2 c^{2}$

$x a + 2 x c + x b = a^{2} + b^{2} + 2 b a + 3 b c + 3 c a + 2 c^{2}$

$x (a + b + 2 c) = a^{2} + b^{2} + 2 b a + 3 b c + 3 c a + 2 c^{2}$

Rozkładamy prawa stronę równania na czynniki.

$x (a + b + 2 c) = (a^{2} + a b + 2 a c) + (b^{2} + a b + 2 b c) + (2 c^{2} + a c + c b)$

$x (a + b + 2 c) = a (a + b + 2 c) + b (b + a + 2 c) + c (2 c + a + b)$

$x (a + b + 2 c) = (a + b + c) (a + b + 2 c)$

Dzielimy obie strony równania przez wyrażenie dodatnie $a + b + 2 c$ i skracamy.

$x = \frac{(a + b + c) (a + b + 2 c)}{a + b + 2 c}$

$x = a + b + c$

Odpowiedź:

Rozwiązaniem równia jest liczba $x = a + b + c$ .

Teraz zadanie „na dowodzenie”. Podobne nieco do poprzedniego zadania, ale teraz w mianowniku ułamków znajduje się niewiadoma.

Przykład 3

Niech $a$ , $b$ będą liczbami rzeczywistymi takimi, że $b \neq a$ i $b \neq - a$ .

Wykażemy, że równanie

$\frac{1}{x} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{x + a + b}$

z niewiadomą $x$ ma dwa rozwiązania.

Aby rozwiązać równanie

$\frac{1}{x} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{x + a + b}$

musimy założyć, że:

$x \neq 0$ , $x \neq - a - b$ , $a \neq 0$ , $b \neq 0$ .

Sprowadzamy lewą stronę równania do wspólnego mianownika.

$\frac{a b + x b + x a}{x a b} = \frac{1}{x + a + b}$

Przekształcamy równoważnie równanie.

$\frac{a b + x b + x a}{x a b} - \frac{1}{x + a + b} = 0$

$\frac{(a b + x b + x a) (x + a + b) - x a b}{x a b (x + a + b)} = 0$

Ułamek jest równy $0$ , jeśli jego licznik jest równy $0$ . Wystarczy więc rozwiązać teraz równanie:

$(a b + x b + x a) (x + a + b) - x a b = 0$

Mnożymy, odpowiednio grupujemy wyrazy i rozkładamy otrzymane wyrażenie na czynniki.

$a b x + a^{2} b + a b^{2} + x^{2} b + x a b + x b^{2} + x^{2} a + x a^{2} + x a b - x a b = 0$

$(x^{2} a + x^{2} b) + (x a b + x b^{2}) + (a^{2} b + a b^{2}) + (x a b + x a^{2}) = 0$

$x^{2} (a + b) + x b (a + b) + a b (a + b) + x a (a + b) = 0$

$(a + b) (x^{2} + x b + a b + x a) = 0$

$(a + b) \cdot [x (x + b) + a (x + b)] = 0$

$(a + b) (x + b) (x + a) = 0$

Zapisujemy równoważna alternatywę.

$a + b = 0$ lub $x + b = 0$ lub $x + a = 0$

$a + b = 0$ – niezgodne z treścią zadania, bo $b \neq - a$

$x + b = 0 \Rightarrow x = - b$

$x + a = 0 \Rightarrow x = - a$

Rozwiązaniami równania są liczby $(- a)$ i $(- b)$ . Równanie ma dwa rozwiązania, co należało wykazać.

Równanie zawierające mianownik nie zawsze ma rozwiązanie – może być równaniem sprzecznym.

Równanie sprzeczne

Definicja: Równanie sprzeczne

Równanie, które nie ma rozwiązań, nazywamy równaniem sprzecznym.

Do rozwiązania równania zawierającego mianownik, często prowadzi równanie wykładnicze.

Przykład 4

Rozwiążemy równanie

$3^{\frac{1}{x}} = 9^{\frac{x}{x - 1}}$ .

Określamy dziedzinę równania:

$x \neq 0$ i $x \neq 1$ .

Sprowadzamy potęgi do tej samej podstawy i porównujemy wykładniki.

$3^{\frac{1}{x}} = 3^{\frac{2 x}{x - 1}}$

$\frac{1}{x} = \frac{2 x}{x - 1}$

Korzystamy z własności proporcji i mnożymy wyrażenia stojące po obu stronach równania „na krzyż”.

$2 x^{2} = x - 1$

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

$2 x^{2} - x + 1 = 0$

$∆ = 1 - 8 = - 7 < 0$

Równanie kwadratowe nie ma rozwiązania. Zatem i rozpatrywane równanie wykładnicze nie ma rozwiązania.

Odpowiedź:

Równanie jest sprzecznerównanie sprzecznesprzeczne – nie ma rozwiązania.

W ostatnim zadaniu mamy do rozwiązania problem z kontekstem realistycznym. Wydaje się, że analogiczny, jak w Przykładzie 1, jednak, jak się przekonamy, trudniejszy. Istotne więc będzie dobre opisanie zależności wynikających z treści zadania.

Przykład 5

W bańce znajduje się mieszanina soli z wodą w stosunku $2 : 3$ . W dzbanku znajduje się mieszanina soli z wodą w stosunku $3 : 7$ . Obliczymy, ile kubków mieszaniny należy wziąć z każdego naczynia, aby otrzymać $12$ kubków mieszaniny o stosunku soli do wody $3 : 5$ .

Oznaczmy:

$x$ – liczba kubków mieszaniny, którą należy pobrać z bańki $(x \geq 0)$

$12 - x$ – liczba kubków mieszaniny, którą należy pobrać z dzbanka $(x \leq 12)$

$\frac{2}{5}$ – zawartości kubka zawierającego mieszaninę z bańki to sól

$\frac{3}{10}$ – zawartości kubka zawierającego mieszaninę z dzbanka to sól

Zatem

$\frac{2}{5} x + \frac{3}{10} (12 - x)$

zawartości $x$ kubków mieszaniny z bańki i $12 - x$ kubków mieszaniny z dzbanka to sól.

Jednocześnie

$12 - [\frac{2}{5} x + \frac{3}{10} (12 - x)]$

zawartości $x$ kubków mieszaniny z bańki i $12 - x$ kubków mieszaniny z dzbanka to woda.

Budujemy równanie wynikające z treści zadania.

$\frac{\frac{2}{5} x + \frac{3}{10} (12 - x)}{12 - [\frac{2}{5} x + \frac{3}{10} (12 - x)]} = \frac{3}{5}$

Sprowadzamy najpierw do najprostszej postaci licznik i mianownik ułamka stojącego po lewej stronie równania.

$\frac{\frac{2}{5} x + \frac{3}{10} (12 - x)}{12 - [\frac{2}{5} x + \frac{3}{10} (12 - x)]} = \frac{3}{5}$

$\frac{\frac{4}{10} x + \frac{36}{10} - \frac{3}{10} x}{12 - \frac{4}{10} x - \frac{36}{10} + \frac{3}{10} x} = \frac{3}{5}$

$\frac{x + 36}{84 - x} = \frac{3}{5}$

Teraz mnożymy „na krzyż” i rozwiązujemy proste równanie liniowe.

$5 x + 180 = 252 - 3 x$

$8 x = 72$

$x = 9$

Wyznaczona liczba spełnia początkowe założenia: $0 \leq 9 \leq 12$ .

Musimy jeszcze sprawdzić, czy mianownik równania dla $x = 9$ jest różny od zera (wcześniej nie określiliśmy w sposób jawny dziedziny równania).

$12 - [\frac{2}{5} \cdot 9 + \frac{3}{10} (12 - 9)] = 12 - \frac{18}{5} - \frac{36}{10} + \frac{27}{10} = 12 - \frac{45}{10} = \frac{75}{10} \neq 0$

Obliczmy, ile kubków mieszaniny należy wziąć z dzbanka.

$12 - 9 = 3$

Odpowiedź:

Z bańki należy wziąć $9$ kubków mieszaniny, a z dzbanka tylko $3$ .

Słownik

równanie sprzeczne

równanie, które nie ma rozwiązań, nazywamy równaniem sprzecznym

Wprowadzenie

Animacja

Słownik