Rozważmy na początek dowolny trójkąt równoboczny. Ścinając symetrycznie jego wierzchołki otrzymamy sześciokąt. Jeżeli odpowiednio dobierzemy długość cięcia, to powstanie sześciokąt foremny. Przesuwając linię cięcia do środka, otrzymamy trójkąt równoboczny.

Ru0jJndUtmmJ1

Ilustracja przedstawia cztery trójkąty równoboczne. Każdy z nich jest ścięty w inny sposób. Pierwszy nie został ścięty w żaden sposób. Drugi został ścięty w taki sposób, że linia cięcia dzieli boki trójkąta na trzy części, najdłuższa z nich ma długość sumy dwóch pozostałych krótszych odcinków. Trzeci został ścięty w taki sposób, że linia cięcia dzieli boki trójkąta na trzy równe części. Linia cięcia ostatniego trójkąta przechodzi przez środki boków trójkąta tworząc cztery mniejsze trójkąty równoboczne.

Przeprowadzimy analogiczną operację w przestrzeni dla czworościanu foremnego.

Bierzemy czworościan foremny, zaznaczamy na jego krawędziach punkty o ustalonej odległości od wierzchołka i przez te punkty prowadzimy płaszczyzny odcinające wierzchołki czworościanu. Po odcięciu wszystkich wierzchołków powstaną w ich miejsce ściany, które są trójkątami, a pozostałe ściany staną się sześciokątami.

Dobierając odpowiednio odległość od wierzchołków czworościanu otrzymamy bryłę, której $4$ ściany są trójkątami równobocznymi i $4$ ściany są sześciokątami foremnymi. Taką bryłę nazywamy czworościanem ściętym.

R11V0E9NalY3U

Aplet przedstawia obracający się czworościan zbudowany z czterech trójkątów równobocznych. Poniżej ilustracji znajduje się suwak, którym możemy zmieniać stopnień ścięcia wierzchołków. Zakres odcięcia zawiera się od braku ingerencji w bryłę do momentu osiągnięcia przez linię cięcia środków boku bryły. W przypadku osiągnięcia maksymalnego możliwego ścięcia wierzchołków otrzymujemy bryłę składającą się z ośmiu jednakowych trójkątów równobocznych. Bryłą można swobodnie manewrować i obracać.

Aplet przedstawia obracający się czworościan zbudowany z czterech trójkątów równobocznych. Poniżej ilustracji znajduje się suwak, którym możemy zmieniać stopnień ścięcia wierzchołków. Zakres odcięcia zawiera się od braku ingerencji w bryłę do momentu osiągnięcia przez linię cięcia środków boku bryły. W przypadku osiągnięcia maksymalnego możliwego ścięcia wierzchołków otrzymujemy bryłę składającą się z ośmiu jednakowych trójkątów równobocznych. Bryłą można swobodnie manewrować i obracać.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DC84GxTVO

Zauważmy, że pogłębiając cięcia możemy otrzymać ośmiościan foremny.

Z czworościanu foremnego o krawędzi $12\mathrm{cm}$ odcinamy narożniki będące czworościanami foremnymi o krawędzi długości $4\mathrm{cm}$. Obliczymy pole powierzchni całkowitej i objętość otrzymanej bryły.

Rozwiązanie

Skoro prowadzimy cięcia w odległości $4\mathrm{cm}$ od wierzchołków czworościanu, to każdą jego krawędź dzielimy na $3$ równe części. Powstaje zatem czworościan ścięty o krawędzi $4\mathrm{cm}$.

Ponieważ czworościan ścięty ma $4$ ściany będące trójkątami równobocznymi i $4$ ściany, które są sześciokątami foremnymi, to jego pole powierzchni obliczymy ze wzoru:

$P_c=4·\frac{4^2\sqrt{3}}{4}+4·6·\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=112\sqrt{3}$

Objętość czworościanu ściętego możemy obliczyć odejmując od objętości czworościanu foremnego obiętości odciętych narożników:

$V=\frac{{12}^3\sqrt{2}}{12}-4·\frac{4^3\sqrt{2}}{12}=\frac{368\sqrt{2}}{3}$

Zatem pole powierzchni czworościanu ściętego wynosi $112\sqrt{3}{\mathrm{cm}}^2$ zaś jego objętość: $\frac{368\sqrt{2}}{3}{\mathrm{cm}}^3$

Rozważmy dowolny sześcian. Zaznaczamy na jego krawędziach punkty o ustalonej odległości od wierzchołka i przez te punkty prowadzimy płaszczyzny odcinające wierzchołki sześcianu. Po odcięciu wszystkich wierzchołków powstaną w ich miejsce ściany, które są trójkątami, a pozostałe ściany staną się ośmiokątami. Dobierając odpowiednio odległości płaszczyzn od wierzchołków, otrzymamy wielościan o $14$ foremnych ścianach: $8$ trójkątach i $6$ ośmiokątach. Taką bryłę nazywamy sześcianem ściętym.

RVg0C8BzVYr2k

Aplet przedstawia obracający się sześcian zbudowany z sześciu kwadratów. Poniżej ilustracji znajduje się suwak, którym możemy zmieniać stopnień ścięcia wierzchołków. Zakres odcięcia zawiera się od braku ingerencji w bryłę do momentu osiągnięcia przez linię cięcia środków boku bryły. W przypadku osiągnięcia maksymalnego możliwego ścięcia wierzchołków powstaje sześcio-ośmiościan. Bryła ta składa się z sześciu kwadratów oraz ośmiu trójkątów równobocznych Bryłą można swobodnie manewrować i obracać.

Aplet przedstawia obracający się sześcian zbudowany z sześciu kwadratów. Poniżej ilustracji znajduje się suwak, którym możemy zmieniać stopnień ścięcia wierzchołków. Zakres odcięcia zawiera się od braku ingerencji w bryłę do momentu osiągnięcia przez linię cięcia środków boku bryły. W przypadku osiągnięcia maksymalnego możliwego ścięcia wierzchołków powstaje sześcio-ośmiościan. Bryła ta składa się z sześciu kwadratów oraz ośmiu trójkątów równobocznych Bryłą można swobodnie manewrować i obracać.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DC84GxTVO

Pogłębiając cięcia do środków krawędzi otrzymujemy wielościan archimedesowy, który nazywamy sześcio – ośmiościanem. Jest to bryła o $14$ ścianach, ale tym razem jest to $8$ trójkątów równobocznych i $6$ kwadratów.

Rozważmy dowolny ośmiościan foremny.

Ścinając naroża i dobierając odpowiednio odległości płaszczyzn od wierzchołków otrzymamy ośmiościan ścięty, który jest bryłą o $14$ ścianach: $8$ z nich to sześciokąty foremne a $6$ to kwadraty.

RtC5KIZad35Cm

Aplet przedstawia obracający się ośmiościan foremny zbudowany z ośmiu trójkątów równobocznych. Poniżej ilustracji znajduje się suwak, którym możemy zmieniać stopień ścięcia wierzchołków. Zakres odcięcia zawiera się od braku ingerencji w bryłę do momentu osiągnięcia przez linię cięcia środków boku bryły. W przypadku osiągnięcia maksymalnego możliwego ścięcia wierzchołków powstaje sześcio-ośmiościan. Bryła ta składa się z sześciu kwadratów oraz ośmiu trójkątów równobocznych Bryłą można swobodnie manewrować i obracać.

Aplet przedstawia obracający się ośmiościan foremny zbudowany z ośmiu trójkątów równobocznych. Poniżej ilustracji znajduje się suwak, którym możemy zmieniać stopień ścięcia wierzchołków. Zakres odcięcia zawiera się od braku ingerencji w bryłę do momentu osiągnięcia przez linię cięcia środków boku bryły. W przypadku osiągnięcia maksymalnego możliwego ścięcia wierzchołków powstaje sześcio-ośmiościan. Bryła ta składa się z sześciu kwadratów oraz ośmiu trójkątów równobocznych Bryłą można swobodnie manewrować i obracać.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DC84GxTVO

Prowadząc cięcia przez środki krawędzi nie otrzymamy nowej bryły archimedesowej a ponownie sześcio – ośmiościan.

Rozważmy dowolny dwunastościan foremny.

Ścinając odpowiednio naroża otrzymamy dwunastościan ścięty. Ma on $32$ ściany: $12$ dziesięciokątów foremnych i $20$ trójkątów równobocznych. Stosunek długości krawędzi dwunastościanu ściętego do długości krawędzi dwunastościanu przed ścięciem wynosi $\sqrt{5}:5$.

RTgnmhlVzgeDR

Aplet przedstawia obracający się dwunastościan foremny zbudowany z dwunastu sześciokątów foremnych. Poniżej ilustracji znajduje się suwak, którym możemy zmieniać stopień ścięcia wierzchołków. Zakres odcięcia zawiera się od braku ingerencji w bryłę do momentu osiągnięcia przez linię cięcia środków boku bryły. W przypadku osiągnięcia maksymalnego możliwego ścięcia wierzchołków powstaje dwunastościan ścięty. Bryła ta składa się z dwunastu sześciokątów foremnych i dwudziestu trójkątów równobocznych. Bryłą można swobodnie manewrować i obracać.

Aplet przedstawia obracający się dwunastościan foremny zbudowany z dwunastu sześciokątów foremnych. Poniżej ilustracji znajduje się suwak, którym możemy zmieniać stopień ścięcia wierzchołków. Zakres odcięcia zawiera się od braku ingerencji w bryłę do momentu osiągnięcia przez linię cięcia środków boku bryły. W przypadku osiągnięcia maksymalnego możliwego ścięcia wierzchołków powstaje dwunastościan ścięty. Bryła ta składa się z dwunastu sześciokątów foremnych i dwudziestu trójkątów równobocznych. Bryłą można swobodnie manewrować i obracać.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DC84GxTVO

Prowadząc cięcia przez środki krawędzi otrzymamy bryłę archimedesowąwielościany archimedesowebryłę archimedesową, którą nazywamy dwudziesto – dwunastościanem. Jego ścianami są trójkąty równoboczne i pięciokąty foremne.

Z dwunastościanu foremnego o krawędzi długości $15$ ścinamy naroża w kształcie czworościanu foremnego i otrzymujemy dwunastościan ścięty. Wyznaczymy długość krawędzi takiego czworościanu i obliczymy pole powierzchni otrzymanej bryły.

Rozwiązanie

Wyznaczymy najpierw długość krawędzi $a$ dwunastościanu ściętego:

$\frac{a}{15}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

Stąd $a=3\sqrt{5}$

Ściany dwunastościanu są dziesięciokątami foremnymi i trójkątami równobocznymi o boku $a=3\sqrt{5}$, więc jego pole obliczymy ze wzoru:

$P_c=12·\frac{5a^2}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}+20·\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Mamy zatem:

$P_c=12·\frac{5{\left(3\sqrt{5}\right)}^2}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}+20·\frac{{\left(3\sqrt{5}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=225\left(6\sqrt{5+2\sqrt{5}}+\sqrt{3}\right)$.

Rozważmy dowolny dwudziestościan foremny.

Ścinając odpowiednio naroża otrzymamy dwudziestościan ścięty. Ma on $32$ ściany w kształcie pięciokątów foremnych $\left(12\right)$ i sześciokątów foremnych $\left(20\right)$. Miłośnicy sportu mogą rozpoznać w tej bryle matematyczny model piłki nożnej.

R47kDDoOHWdVm

Aplet przedstawia obracający się dwudziestościan foremny zbudowany z dwudziestu sześciokątów foremnych. Poniżej ilustracji znajduje się suwak, którym możemy zmieniać stopień ścięcia wierzchołków. Zakres odcięcia zawiera się od braku ingerencji w bryłę do momentu osiągnięcia przez linię cięcia środków boku bryły. W przypadku osiągnięcia maksymalnego możliwego ścięcia wierzchołków powstaje dwunastościan ścięty. Bryła ta składa się z dwunastu sześciokątów foremnych i dwudziestu trójkątów równobocznych. Bryłą można swobodnie manewrować i obracać. Ścinając odpowiednio naroża można otrzymać bryłę składającą się z dwunastu pięciokątów foremnych i dwudziestu sześciokątów foremnych. Bryła ta przypomina piłkę nożną.

Aplet przedstawia obracający się dwudziestościan foremny zbudowany z dwudziestu sześciokątów foremnych. Poniżej ilustracji znajduje się suwak, którym możemy zmieniać stopień ścięcia wierzchołków. Zakres odcięcia zawiera się od braku ingerencji w bryłę do momentu osiągnięcia przez linię cięcia środków boku bryły. W przypadku osiągnięcia maksymalnego możliwego ścięcia wierzchołków powstaje dwunastościan ścięty. Bryła ta składa się z dwunastu sześciokątów foremnych i dwudziestu trójkątów równobocznych. Bryłą można swobodnie manewrować i obracać. Ścinając odpowiednio naroża można otrzymać bryłę składającą się z dwunastu pięciokątów foremnych i dwudziestu sześciokątów foremnych. Bryła ta przypomina piłkę nożną.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DC84GxTVO

R5MekIMbZOkvp

Ilustracja przedstawia piłkę nożną przypominającą dwudziestościan ścięty.

Zauważmy, że prowadząc cięcia przez środki krawędzi nie otrzymamy nowej bryły archimedesowej tylko dwudziesto – dwunastościan.

wielościany o przystających wierzchołkach i ścianach będących wielokątami foremnymi niekoniecznie jednego rodzaju

wielościan spełniający trzy warunki: ściany są przystającymi wielokątami foremnymi, w każdym wierzchołku zbiega się jednakowa liczba ścian, jest bryłą wypukłą.

czworościan, którego ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi.

wielościan foremny o $6$ ścianach w kształcie przystających kwadratów.

wielościan foremny o $8$ ścianach w kształcie przystających trójkątów równobocznych.

wielościan foremny o $12$ ścianach w kształcie przystających pięciokątów foremnych.

najbardziej złożony wielościan foremny o $20$ ścianach w kształcie przystających trójkątów równobocznych.