Przeczytaj

Od szkoły podstawowej wiemy, że dla niezerowej liczby $a$ oraz naturalnych liczb $k$ i $m$ prawdziwe są wzory:

a^{k} \cdot a^{m} = a^{k + m}

a^{k} : a^{m} = a^{k - m}

Przypomnijmy powód, dla którego powyższe równości zachodzą:

a^{k} \cdot a^{m} = \underset{k czynników}{\underset{⏟}{a \cdot \dots \cdot a}} \cdot \underset{m czynników}{\underset{⏟}{a \cdot \dots \cdot a \cdot a}} = \underset{k + m czynników}{\underset{⏟}{a \cdot \dots \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a \cdot a}} = a^{k + m}

a^{k} : a^{m} = \frac{a^{k}}{a^{m}} = \frac{\overset{k czynników}{\overset{⏞}{a \cdot \dots \cdot a \cdot a}}}{\underset{m czynników}{\underset{⏟}{a \cdot \dots \cdot a}}} = \frac{\overset{k - m czynników}{\overset{⏞}{a \cdot \dots \cdot a}}}{1} = a^{k - m}

Z powyższych własności wynika również równość ${(a^{k})}^{m} = a^{k \cdot m}$ prawdziwa dla niezerowego $a$ i dowolnych liczb naturalnych $k$ i $m$ :

{(a^{k})}^{m} = \underset{m czynników}{\underset{⏟}{a^{k} \cdot a^{k} \cdot \dots \cdot a^{k}}} = a \overset{m składników}{\overset{⏞}{^{k + k + \dots + k}}} = a^{k \cdot m}

Formalny dowód powyższych własności przeprowadza się zwykle metodą indukcji matematycznej, którą obrazowo można opisać przy pomocy kostek domina ustawionych jedna obok drugiej. Ponumerujmy kostki domina kolejnymi liczbami naturalnymi począwszy od jedynki, przewrócenie się kostki oznacza, że badana własność zachodzi dla liczby naturalnej o numerze znajdującym się na kostce. Własność jest prawdziwa dla wszystkich liczb naturalnych, gdy przewrócą się wszystkie kostki, zaś to stanie się, gdy $(1)$ przewróci się pierwsza kostka oraz $(2)$ każda kostka będzie w stanie przewrócić następną. Stosując metodę indukcji matematycznejindukcja matematycznaindukcji matematycznej postępujemy analogicznie: $(1)$ sprawdzamy, czy rozważana własność jest prawdziwa dla liczby $1$ oraz $(2)$ badamy, czy z faktu, że własność jest prawdziwa dla liczby naturalnej $n$ wynika prawdziwość tej własności dla liczby $n + 1$ . Jeśli oba warunki zachodzą, twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych. Metodą indukcji matematycznej dowodzi się wielu twierdzeń dotyczących liczb naturalnych – zwykle tam, gdzie w dowodzie “szkolnym” pojawiają się trzy kropki “ $\dots$ ” oznaczające mniej więcej “domyślamy się, co tu ma być”.

RpimoGMJGhFUW

Ilustracja przedstawia przewracajace się klocki domino ułozone w długim rzędzie. — Źródło: dostępny w internecie: pixabay.com, domena publiczna.

Dla wykładników należących do zbiorów innych niż zbiór liczb naturalnych, definicje potęg konstruujemy tak, aby powyższe równości były prawdziwe.

Zatem dla dodatniej liczby $a$ i dowolnych liczb rzeczywistych $x$ i $y$ zachodzi:

a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}

a^{x} : a^{y} = a^{x - y}

{(a^{x})}^{y} = a^{x \cdot y}

Przykład 1

Stosując powyższe własności uprościmy wyrażenie $[(b^{2} \cdot b^{7}) : b^{- 10}] : [b^{- 8} : (b^{3} \cdot b^{2})]$ .

$[(b^{2} \cdot b^{7}) : b^{- 10}] : [b^{- 8} : (b^{3} \cdot b^{2})] =$

$= [b^{9} : b^{- 10}] : [b^{- 8} : b^{5}] =$

$= b^{19} : b^{- 13} =$

$= b^{32}$

Przykład 2

Przedstawimy podane wyrażenia w postaci jednej potęgi:

$2 \cdot 5^{1,5} + 3 \cdot 5^{1,5} = 5^{1,5} (2 + 3) = 5^{1,5} \cdot 5 = 5^{1,5} \cdot 5^{1} = 5^{1,5 + 1} = 5^{2,5}$
$5 \cdot 3^{0,3} - 2 \cdot 3^{0,3} = 3^{0,3} (5 - 2) = 3^{0,3} \cdot 3 = 3^{0,3} \cdot 3^{1} = 3^{0,3 + 1} = 3^{1,3}$
$2^{4,5} - 12 \cdot 2^{0,5} = 2^{2 + 2,5} - 3 \cdot 2^{2} \cdot 2^{0,5} = 2^{2} \cdot 2^{2,5} - 3 \cdot 2^{2 + 0,5} =$
$= 4 \cdot 2^{2,5} - 3 \cdot 2^{2,5} = 2^{2,5} (4 - 3) = 2^{2,5}$

Przykład 3

Zapiszemy wyrażenie $\frac{15 \cdot 5^{\frac{7}{6}} + 50 \cdot \sqrt[6]{0, 2^{- 1}}}{625^{- \frac{1}{6}} \cdot 5^{- \frac{4}{3}} : 25^{- \frac{3}{2}}}$ w postaci potęgi liczby $5$ :

$\frac{15 \cdot 5^{\frac{7}{6}} + 50 \cdot \sqrt[6]{0, 2^{- 1}}}{625^{- \frac{1}{6}} \cdot 5^{- \frac{4}{3}} : 25^{- \frac{3}{2}}} =$

$= \frac{3 \cdot 5^{1} \cdot 5^{\frac{7}{6}} + 2 \cdot 5^{2} \cdot \sqrt[6]{5}}{{(5^{4})}^{- \frac{1}{6}} \cdot 5^{- \frac{4}{3}} : {(5^{2})}^{- \frac{3}{2}}} =$

$= \frac{3 \cdot 5^{1} \cdot 5^{\frac{7}{6}} + 2 \cdot 5^{2} \cdot 5^{\frac{1}{6}}}{5^{- \frac{4}{6}} \cdot 5^{- \frac{4}{3}} : 5^{- 3}} =$

$= \frac{3 \cdot 5^{\frac{13}{6}} + 2 \cdot 5^{\frac{13}{6}}}{5^{- \frac{2}{3}} \cdot 5^{- \frac{4}{3}} : 5^{- 3}} =$

$= \frac{5^{\frac{13}{6}} \cdot (3 + 2)}{5^{- 2} : 5^{- 3}} =$

$= \frac{5^{\frac{13}{6}} \cdot 5}{5^{- 2 - (- 3)}} =$

$= \frac{5^{\frac{13}{6}} \cdot 5}{5^{1}} =$

$= 5^{\frac{13}{6}}$

Przykład 4

Wyznaczymy liczbę dzielników liczby $2^{7} + 2^{8} + 2^{9}$ .

Zauważmy, że $2^{7} + 2^{8} + 2^{9} = 2^{7} + 2 \cdot 2^{7} + 2^{2} \cdot 2^{7} = 2^{7} \cdot (1 + 2 + 2^{2}) = 7 \cdot 2^{7}$ .

Zatem dzielnikiem tej liczby jest każda potęga liczby $2$ o wykładniku będącym liczbą naturalną od $0$ do $7$ oraz każda liczba będąca iloczynem takiej potęgi przez $7$ . Jest dokładnie osiem potęg liczby $2$ o wykładnikach naturalnych od $0$ do $7$

$(2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, 2^{3}, 2^{4}, 2^{5}, 2^{6}, 2^{7})$ oraz osiem iloczynów takich potęg przez liczbę $7$

$(7 \cdot 2^{0}, 7 \cdot 2^{1}, 7 \cdot 2^{2}, 7 \cdot 2^{3}, 7 \cdot 2^{4}, 7 \cdot 2^{5}, 7 \cdot 2^{6}, 7 \cdot 2^{7})$

Wszystkich dzielników liczby $2^{7} + 2^{8} + 2^{9}$ jest więc $16$ .

Przykład 5

Obliczymy wartość liczbową wyrażenia ${(0, 2^{- 1} \cdot 5^{\sqrt{3}})}^{\sqrt{3}} : (125^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\sqrt{3}})$ .

${(0, 2^{- 1} \cdot 5^{\sqrt{3}})}^{\sqrt{3}} : (125^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\sqrt{3}}) =$

$= {(5 \cdot 5^{\sqrt{3}})}^{\sqrt{3}} : (5 \cdot 5^{\sqrt{3}}) =$

$= {(5^{1 + \sqrt{3}})}^{\sqrt{3}} : (5^{1 + \sqrt{3}}) =$

$= (5^{\sqrt{3} + 3}) : (5^{1 + \sqrt{3}}) =$

$= 5^{\sqrt{3} + 3 - 1 - \sqrt{3}} =$

$= 5^{2} =$

$= 25$

Przykład 6

Wykonamy działania:

a) $(3^{- 1,5} + 81^{- 0,5}) (3^{- 1,5} - 3^{- 2}) = (3^{- 1,5} + {(3^{4})}^{- 0,5}) (3^{- 1,5} - 3^{- 2}) =$

$= (3^{- 1,5} + 3^{- 2}) (3^{- 1,5} - 3^{- 2}) = 3^{- 1,5} \cdot (3^{- 1,5} - 3^{- 2}) + 3^{- 2} \cdot (3^{- 1,5} - 3^{- 2}) =$

$= 3^{- 3} - 3^{- 3,5} + 3^{- 3,5} - 3^{- 4} = 3^{- 3} - 3^{- 4} = \frac{1}{27} - \frac{1}{81} = \frac{2}{81}$

b) $(3^{1,5} + 2^{1,5}) (3^{1,5} - 2^{1,5}) = 3^{1,5} \cdot (3^{1,5} - 2^{1,5}) + 2^{1,5} \cdot (3^{1,5} - 2^{1,5}) =$

$= 3^{3} - 3^{1,5} \cdot 2^{1,5} + 2^{1,5} \cdot 3^{1,5} - 2^{3} = 3^{3} - 2^{3} = 27 - 8 = 21$

Słownik

indukcja matematyczna

metoda dowodzenia twierdzeń o prawdziwości nieskończonej liczby stwierdzeń oraz definiowania rekurencyjnego; w najbardziej typowych przypadkach dotyczą one liczb naturalnych; najstarszy znany dowód indukcyjny, dotyczący sumy początkowych liczb nieparzystych, podał Francesco Maurolico ( $1494$ – $1575$ ) w pracy Arithmeticorum libri duo („Dwie księgi o arytmetyce”) z $1575$ roku

Wprowadzenie

Animacja

Słownik