Warto przeczytać

Kiedy będziemy regularnie poruszać końcem gumowego węża, powstanie na nim fala (Rys. 1.). Zaburzenie to przypomina fragment sinusoidy, który przesuwa się wzdłuż węża ze stałą prędkością. Schematycznie ukazane jest to na Rys. 1.

R11shvGapbDcp

Rys. 1. Na ilustracji po prawej stronie widoczna jest czarna postać trzymająca w ręku sznurek narysowany w postaci czarnej linii. Z lewej strony na podłożu widać leżący, nieruchomy czarny klocek narysowany jako prostokąt. Jeden z końców sznurka przymocowany jest do klocka a drugi trzymany jest przez postać. Czarna postać próbuje wprawić sznurek w ruch, w taki sposób, że porusza nim w górę i w dół. Sznurek faluje, wskutek czego linia, która go obrazuje nie jest prosta lecz pofalowana. Jej kształt nie jest regularny, wobec czego na ilustracji zaprezentowana jest próba wzbudzenia fali a nie efekt końcowy w postaci fali sinusoidalnej.

R1EGMgTFJzLqM

Rys. 2. Na ilustracji widoczny jest kartezjański, trójwymiarowy układ współrzędnych narysowany czarnymi strzałkami. Płaszczyzna YZ widoczna jest w lewym‑górnym rogu rysunku, jednak osie OY oraz OZ nie są oznaczone. Jedna z osi wskazuje kierunek ku górze, natomiast druga skierowana jest w lewą stronę i nieco w dół. Oś OX narysowana również w postaci czarnej strzałki i skierowana jest tak, że zwrot strzałki (grot) wskazuje prawy dolny róg rysunku. Wzdłuż osi OX narysowana jest funkcja obrazująca falę w postaci czerwonej linii. Funkcja ta w punkcie oznaczającym początek układu współrzędnych ma wartość zero a następnie cyklicznie rośnie i maleje wzdłuż osi pionowej, wraz z propagacją w kierunku osi OX, tak samo jak funkcja sinus X. Pomiędzy osią OX a funkcją sinusoidalną narysowane są czarne strzałki, których początek znajduje się na osi OX a grot wskazuje wartość czerwonej funkcji. Strzałki te mają różne długości ponieważ wskazują wartości funkcji sinus X. Strzałki pomiędzy osią OX a czerwoną funkcją są skierowane początkowo w górę a później w dół. Ponieważ funkcja sinus przybiera wartości z przedziału od minus jeden do jeden. Rysunek ten schematycznie przedstawia np. wychylenie liny od osi OX gdy wzbudzona jest w niej fala sinusoidalna.

Naszym zadaniem jest opisać matematycznym wzorem falę o pewnej długości falidługość falidługości fali $\lambda$, poruszającą się wzdłuż osi współrzędnych $x$ w prawo z prędkością o wartości $v$. Funkcja, o której mówimy, musi „jednocześnie” zależeć od dwóch zmiennych: położenia $x$ i czasu $t$.

Zależność od położenia

Zacznijmy od funkcji opisującej dla różnych położeń $x$ wychylenia elementów węża w ustalonej chwili. Zajmiemy się najpierw początkowym kształtem tej funkcji, czyli w chwili $t=0$ . Będziemy chcieli zapisać wzór dla sinusoidy, odpowiadającej wybranej długości falidługość falidługości fali. Dla ułatwienia przyjmijmy, że chcemy opisać falę o długości falidługość falidługości fali $\lambda =4\mathrm{m}$ .

Narysujmy na początku (Rys. 3.) wykres funkcji

RuruPu7Pizb4I

Rys. 3. Na rysunku przedstawiony jest prostokątny układ współrzędnych XY, w postaci czarnych strzałek, w którym oś OY skierowana jest ku górze, natomiast oś OX w prawą stronę. Na obu osiach zaznaczone są jednostki wyrażone w metrach. W polu wykresu narysowana jest szarymi, cienkimi liniami prostokątna siatka. Szara siatka narysowana jest w taki sposób, że linie są równoległe od obu osi i przechodzą przez zaznaczone na nich wartości co jeden metr. Na wykresie w układzie współrzędnych XY widoczna jest także funkcja sinus x narysowana zielonym kolorem. , która w początku układu współrzędnych przybiera wartość zero. Kolejny wartość na osi OX, dla której funkcja jest równa zero znajduje się odrobinę za punktem oznaczonym na osi OX jako trzy. Można zauważyć, że najprawdopodobniej na osi OX jest to wartość 3,14 czyli pi. Z punktu na osi OX znajdującym się nieco za liczbą sześć z prawej strony, wychodzi czarna, pionowa linia. Na osi OX nie jest oznaczony przy pomocy cyfry punkt, z którego wychodzi czarna linia ale jeśli wykres przedstawia funkcję sinus x to można wywnioskować, że jest to punkt x równa się około (6,28) sześć i dwadzieścia osiem setnych czyli dwa razy pi. Pomiędzy czarną, pionową linią a osią OY, nad funkcją sinus x narysowana jest podwójna, pozioma strzałka zakończona z obu stron grotami. Obrazuje ona odległość pomiędzy osią OY a czarną linią i jest opisana od góry grecką literą lambda. Tą grecką literą oznaczana jest długość fali, czyli odległość pomiędzy co drugim punktem, w którym wartość funkcji sinus przybiera wartość zero. Dla funkcji sinus x okres jest równy dwa razy pi.

Długość falidługość faliDługość fali $\lambda$ równa jest okresowi funkcji sinus. Jest to odległość pomiędzy co drugimi miejscami zerowymi naszej funkcji. Długość tej fali wynosi $\lambda =2\pi \mathrm{m}\approx 6,28\mathrm{m}$ . Ale nasza fala miała mieć długość 4 m! Aby zmienić długość falidługość falidługość fali w funkcji na wykresie, musimy argument sinusa pomnożyć przez odpowiednią liczbę, taką, żeby dla $x$ = 4 m argument sinusa wyniósł $2\pi$. W naszym przypadku wzór opisujący funkcję powinien więc mieć postać (Rys. 4.):

RwYquT34WfK35

Rys. 4. Na rysunku przedstawiony jest prostokątny układ współrzędnych XY, w postaci czarnych strzałek, w którym oś OY skierowana jest ku górze, natomiast oś OX w prawą stronę. Na obu osiach zaznaczone są jednostki wyrażone w metrach. W polu wykresu narysowana jest szarymi, cienkimi liniami prostokątna siatka. Szara siatka narysowana jest w taki sposób, że linie są równoległe od obu osi i przechodzą przez zaznaczone na nich wartości co jeden metr. Na wykresie w układzie współrzędnych XY narysowana jest również w postaci zielonej, pofalowanej linii funkcja sinusoidalna, która przyjmuje wartości na osi Y od minus jeden do plus jeden. Okres narysowanej funkcji sinusoidalnej jest równy cztery. Możemy zatem wywnioskować, że równanie funkcji opisującej falę ma postać: sinus od podwojonej wartości pi, pomnożony przez wartość na osi x i podzielony przez cztery metry. Z punktu w którym na osi OX zaznaczona jest wartość cztery wychodzi ku górze czarna, pionowa linia. Pomiędzy tą linią a osią OY, nad funkcją sinus narysowana jest podwójna, pozioma strzałka zakończona z obu stron grotami. Obrazuje ona odległość pomiędzy osią OY a czarną linią i jest opisana od góry grecką literą lambda. Tą grecką literą oznaczana jest długość fali, czyli odległość pomiędzy co drugim punktem, w którym wartość funkcji sinus przybiera wartość zero. W tym przypadku długość fali jest równa cztery. Z rysunku można również wywnioskować, że jeśli funkcja sinus jest funkcją harmoniczną, to długość fali można także zaznaczyć jako odległość pomiędzy dwoma sąsiednimi punktami w których funkcja osiąga maksimum, lub dwoma sąsiednimi minimami.

Ta funkcja odpowiada fali o długości 4 m, czyli takiej, jakiej szukamy - czwórka  i metr w mianowniku nie pojawiły się bez powodu! Chcąc zatem uogólnić nasz wzór, musimy współrzędną $x$ podzielić przez długość falidługość falidługość fali,

Zależność od czasu

Wszystkie dotychczas rozważane funkcje zależały tylko od położenia $x$, a zatem przedstawiały „nieruchome” w czasie wykresy. My jednak chcemy, żeby w funkcji czasu sinusoida przesuwała się ze stałą prędkością $v$. Na Rys. 4. w położeniu $x=0$ znajduje się miejsce zerowe naszej funkcji. Będzie się ono przesuwało w prawo w kierunku większych wartości współrzędnej położenia. Chwilę później dla argumentu $x=0$ przypisane zostanie nowe wychylenie, pochodzące z jego lewej strony. Oznacza to, że wraz z upływem czasu t, w miejscu o położeniu $x$ będzie pojawiać się wychylenie, które było wcześniej w innym punkcie, oddalonym o $vt$ w lewo (ponieważ fala porusza się ze stałą prędkością $v$ w prawo). W takim razie w punkcie $x$ znajdzie się wychylenie, które było wcześniej w miejscu o współrzędnej $x-vt$, czego uwzględnienie we wzorze daje nam następujące wyrażenie:

przy czym w ostatnim kroku skorzystaliśmy z faktu, że w ciągu jednego okresuokres faliokresu $T$ fala poruszająca się z prędkością $v$ przesuwa się o jedną długość fali $\lambda$, co można wyrazić wzorem

Amplituda

To już prawie wszystko. Funkcja $f\left(x,t\right)$ odpowiada jednak fali z amplitudąamplituda faliamplitudą równą jedności - funkcja sinus zmienia się od -1 do +1. Jeżeli chcemy, aby amplitudaamplituda faliamplituda $A$ była dowolna, trzeba po prostu pomnożyć $f\left(x,t\right)$ przez $A$. Dostaniemy wtedy ostatecznie dla zależności wychylenia $y$ od położenia $x$ i czasu $t$ wyrażenie

Ten właśnie wzór nazywamy równaniem falirównanie falirównaniem fali. Odwrotność okresu faliokres faliokresu fali nazywamy jej częstotliwością. Jest to częstotliwość drgań punktu ośrodka - można sprawdzić, że ustalenie położenia w ostatnim wzorze opisuje drgania harmoniczne.

Słowniczek